確率変数の変換と期待値の計算

確率変数を定数倍したり定数を加えたりしたとき、期待値や分散がどう変化するかを計算で確認します。変換の公式を正しく使えるようになることが目標です。

例題 1：線形変換と期待値

確率変数 $X$ の期待値が $E[X]=10$、分散が $V[X]=4$ のとき、$Y=3X+5$ の期待値と分散を求めてください。

期待値の線形性より

$$E[Y]=E[3X+5]=3E[X]+5=3\times 10+5=35$$

分散については、定数を加えても変化せず、定数倍すると二乗が係数になります。

$$V[Y]=V[3X+5]=3^{2}V[X]=9\times 4=36$$

標準偏差は $\sqrt{36}=6$ です。元の標準偏差 $\sqrt{4}=2$ の 3 倍になっていることが確認できます。

例題 2：標準化

$X$ の期待値が $\mu =50$、標準偏差が $\sigma =10$ のとき、標準化した変数

$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }=\frac{X-50}{10}$$

の期待値と分散を求めてください。

$Z=\frac{1}{10}X-5$ と書き直すと、

$$E[Z]=\frac{1}{10}E[X]-5=\frac{1}{10}\times 50-5=5-5=0$$

$$V[Z]={\left(\frac{1}{10}\right)}^{2}V[X]=\frac{1}{100}\times 100=1$$

標準化により期待値 0、分散 1 の変数が得られることが確認できました。

例題 3：独立な確率変数の和

$X$ と $Y$ が独立で、$E[X]=3$, $V[X]=2$, $E[Y]=5$, $V[Y]=3$ のとき、$W=2X-Y+4$ の期待値と分散を求めてください。

期待値は

$$E[W]=2E[X]-E[Y]+4=2\times 3-5+4=6-5+4=5$$

分散については、独立な確率変数の和（差）の分散は、各変数の分散の和（係数は二乗）になります。

$$V[W]=2^{2}V[X]+(-1{)}^{2}V[Y]=4\times 2+1\times 3=8+3=11$$

$Y$ の係数が負でも、分散の計算では二乗するので正になることに注意してください。

例題 4：離散確率変数の期待値

サイコロを 1 回投げて出た目を $X$ とします。$Y=X^2$ の期待値を求めてください。

$X$ の確率分布は各目が $1/6$ の確率で出ます。$E[X^2]$ は

$$E[X^2]=\sum _{k=1}^6{k}^2\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6}(1+4+9+16+25+36)=\frac{91}{6}\approx 15.17$$

なお $E[X]=3.5$ ですが、$E[X^2]\ne (E[X]{)}^2=12.25$ であることに注意してください。一般に $E[g(X)]\ne g(E[X])$ です。