確率変数の変換と期待値の計算

確率変数を定数倍したり定数を加えたりしたとき、期待値や分散がどう変化するかを計算で確認します。変換の公式を正しく使えるようになることが目標です。

例題 1：線形変換と期待値

確率変数 $X$ の期待値が $E [X] = 10$ 、分散が $V [X] = 4$ のとき、 $Y = 3 X + 5$ の期待値と分散を求めてください。

期待値の線形性より

$E [Y] = E [3 X + 5] = 3 E [X] + 5 = 3 \times 10 + 5 = 35$

分散については、定数を加えても変化せず、定数倍すると二乗が係数になります。

$V [Y] = V [3 X + 5] = 3^{2} V [X] = 9 \times 4 = 36$

標準偏差は $36 = 6$ です。元の標準偏差 $4 = 2$ の 3 倍になっていることが確認できます。

$X$ の期待値が $μ = 50$ 、標準偏差が $σ = 10$ のとき、標準化した変数

$Z = \frac{X - μ}{σ} = \frac{X - 50}{10}$

の期待値と分散を求めてください。

$Z = \frac{1}{10} X - 5$ と書き直すと、

$E [Z] = \frac{1}{10} E [X] - 5 = \frac{1}{10} \times 50 - 5 = 5 - 5 = 0$

$V [Z] = (\frac{1}{10})^{2} V [X] = \frac{1}{100} \times 100 = 1$

標準化により期待値 0、分散 1 の変数が得られることが確認できました。

$X$ と $Y$ が独立で、 $E [X] = 3$ , $V [X] = 2$ , $E [Y] = 5$ , $V [Y] = 3$ のとき、 $W = 2 X - Y + 4$ の期待値と分散を求めてください。

期待値は

$E [W] = 2 E [X] - E [Y] + 4 = 2 \times 3 - 5 + 4 = 6 - 5 + 4 = 5$

分散については、独立な確率変数の和（差）の分散は、各変数の分散の和（係数は二乗）になります。

$V [W] = 2^{2} V [X] + (- 1)^{2} V [Y] = 4 \times 2 + 1 \times 3 = 8 + 3 = 11$

$Y$ の係数が負でも、分散の計算では二乗するので正になることに注意してください。

サイコロを 1 回投げて出た目を $X$ とします。 $Y = X^{2}$ の期待値を求めてください。

$X$ の確率分布は各目が $1/6$ の確率で出ます。 $E [X^{2}]$ は

$E [X^{2}] = k = 1 \sum 6 k^{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6} (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = \frac{91}{6} \approx 15.17$

なお $E [X] = 3.5$ ですが、 $E [X^{2}] \neq = (E [X])^{2} = 12.25$ であることに注意してください。一般に $E [g (X)] \neq = g (E [X])$ です。