2 乗してから平均するか平均してから 2 乗するか、確率変数の変換と期待値

さいころの目を 2 乗してから平均すると 15.167 になります。先に平均をとってから 2 乗すると 12.25。

順番を入れかえただけで、答えが変わりました。1 次式ならこの入れかえができるのに、2 乗ではできません。

変換のかたちごとに、計算の手順を通していきます。

手順は 3 つ

変換後の期待値は、定義どおりに計算できます^[3]。

$E [g (X)] = x \sum g (x) P (X = x)$

やることは 3 段階です。

もとの値に $g$ を当てて、変換後の値を並べる

それぞれに、もとの確率をそのまま割りあてる

値と確率を掛けて全部足す

確率は動かしません。 $X = 3$ の確率が $1/6$ なら、 $g (3)$ の確率も $1/6$ です。値だけが移ります。

同じ $g (x)$ の値が複数出るときは、そこで確率を足しあわせます。

例 1：1 次式

さいころ 1 個で $Y = 3 X - 2$ を考えます。 $X$ の期待値は 3.5、分散は $35/12 = 2.9167$ です。

定義どおりに並べると、 $Y$ は 1、4、7、10、13、16 を等確率でとります。

$E [Y] = \frac{1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16}{6} = \frac{51}{6} = 8.5$

公式を使えば $3 \times 3.5 - 2 = 8.5$ で、同じ値です。分散は $3^{2} \times 2.9167 = 26.25$ 。

1 次式なら、並べ直さなくても公式で済みます。

例 2：2 乗

$Y = X^{2}$ とすると、値は 1、4、9、16、25、36 です。

$E [X^{2}] = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} = 15.1667$

$(E [X])^{2} = 3. 5^{2} = 12.25$ なので、一致しません。差の 2.9167 は分散そのものです。

$E [X^{2}] = (E [X])^{2} + V [X]$ という関係が、そのまま数字で出ました^[2]。

例 3：逆数

$Y = 1/ X$ では、値が 1、0.5、0.3333、0.25、0.2、0.1667 になります。

$E [\frac{1}{X}] = \frac{1}{6} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}) = \frac{49}{120} = 0.4083$

一方 $1/ E [X] = 1/3.5 = 0.2857$ です。こちらも一致しません。

$1/ x$ は下に凸なので、 $E [1/ X] \geq 1/ E [X]$ が成り立ちます^[1]。実際 0.4083 のほうが大きい。

入れかえてよいのは1 次式のときだけです。 $g$ が曲がっていれば、必ずどちらかの向きにずれます。

上に凸なら小さく、下に凸なら大きく出る。ずれの向きは曲がりの向きで決まります。

大きい目のほうが強く引きのばされます。 $5$ と $6$ の間隔は $1$ でしたが、 $25$ と $36$ では $11$ に広がっている。

右側が重くなるので、平均も右へ動きます。これが 15.17 と 12.25 の差の正体です。

例 4：さいころ 2 個の和

$S = X_{1} + X_{2}$ の分布を書き出します。値は 2 から 12 まで。

$S$	場合の数	確率
2 と 12	各 1	各 $1/36$
3 と 11	各 2	各 $2/36$
4 と 10	各 3	各 $3/36$
5 と 9	各 4	各 $4/36$
6 と 8	各 5	各 $5/36$
7	6	$6/36$

期待値は対称性から 7 です。公式でも $3.5 + 3.5 = 7$ 。

分散は、偏差の 2 乗に場合の数を掛けて足すと 210 になり、 $210/36 = 5.8333$ 。公式では $2.9167 \times 2 = 5.8333$ で一致します。

標準偏差は 2.415 です。1 個のときの 1.708 の $2$ 倍になっています。

例 5：コインを 3 回投げる

表の回数を $X$ とします。 $0, 1, 2, 3$ をそれぞれ確率 $1/8, 3/8, 3/8, 1/8$ でとる。

$E [X] = \frac{0 + 3 + 6 + 3}{8} = 1.5$

分散は $E [X^{2}] - (E [X])^{2}$ で出します。 $E [X^{2}] = (0 + 3 + 12 + 9) /8 = 3$ なので、 $3 - 2.25 = 0.75$ 。

表が出たら 2 円もらい、出なければ 1 円払う賭けを考えます。もうけは $Y = 2 X - (3 - X) = 3 X - 3$ 。

$E [Y] = 3 \times 1.5 - 3 = 1.5$ 、 $V [Y] = 9 \times 0.75 = 6.75$ 。期待値が正なので、この賭けは有利です。

例 6：連続の場合

$X$ が $0$ から $1$ の一様分布のとき、 $Y = X^{2}$ の期待値を出します。和が積分に変わるだけです^[3]。

$E [X^{2}] = \int_{0}^{1} x^{2} \cdot 1 d x = \frac{1}{3}$

$E [X] = 1/2$ なので $(E [X])^{2} = 1/4$ 。差の $1/3 - 1/4 = 1/12$ が $X$ の分散です。

一様分布の分散が $1/12$ になることは、この計算から確かめられます。

例 7：期待値が存在しない場合

計算しても値が定まらない例もあります。表が出るまでコインを投げ、 $k$ 回目で初めて表が出たら $2^{k}$ 円もらう賭けです。

$k$ 回目に初めて表が出る確率は $1/ 2^{k}$ なので、賞金と確率を掛けるとどの項も $1$ になります。

$E [X] = k = 1 \sum \infty 2^{k} \cdot \frac{1}{2 ^{k}} = 1 + 1 + 1 + \dots$

和が発散するので、期待値は存在しません。参加料をいくらに設定しても、期待値の上では割に合う計算になる。

実際には、10 回続けて裏が出る確率が $1/1024$ しかありません。ほとんどの回は小さい賞金で終わり、まれな大当たりが期待値を押し上げています。

期待値は平均であって、起こりやすい値ではない。この 2 つを分けて考える必要があります。

変換後の分布を書き出す場合

値が重なる変換では、確率を足しあわせます。 $Y = (X - 3.5)^{2}$ をさいころに当ててみます。

$X = 3$ と $X = 4$ ではどちらも $0.25$ 、 $X = 2$ と $5$ では $2.25$ 、 $X = 1$ と $6$ では $6.25$ 。

$Y$ の値	もとの目	確率
0.25	3 と 4	$2/6$
2.25	2 と 5	$2/6$
6.25	1 と 6	$2/6$

$E [Y] = (0.25 + 2.25 + 6.25) /3 = 2.9167$ です。これは $V [X]$ そのもので、定義に戻っただけの計算になっています。

$E [X] = 4$ 、 $V [X] = 5$ のとき、 $E [X^{2}]$ はいくつですか。

__RESULT__

$V [X] = E [X^{2}] - (E [X])^{2}$ を移項すると $E [X^{2}] = 5 + 16 = 21$ です。16 は $(E [X])^{2}$ そのもの、9 は差ではなく引き算の向きをまちがえた値になります。

1 次式なら公式で飛ばし、それ以外は値を並べて定義に戻る。この使い分けだけで、変換の計算はだいたい片づきます。

参考文献

Mathematical expectation. Encyclopedia of Mathematics.

Dispersion. Encyclopedia of Mathematics.

Expectation Value. MathWorld.

さいころの目を 2 乗してから平均すると 15.167、平均を 2 乗すると 12.25。差の 2.9167 はちょうど分散です。$Y = 3X - 2$ なら並べ直さず公式で済みますが、$Y = X^2$ や $Y = 1/X$ では値を並べて定義に戻る必要があります。$E[1/X] = 49/120 = 0.4083$ に対して $1/E[X] = 0.2857$。$g$ が曲がっていれば必ずどちらかへずれ、向きは凸性で決まります。2 個の和の分布を書き出して分散 5.8333 を確かめ、コイン 3 回の賭け、$0$ から $1$ の一様分布での積分、賞金 $2^k$ で期待値が発散する賭けまで、7 通りの例で手順を通します。