二項分布の計算問題

二項分布は「成功か失敗か」の試行を繰り返したときの成功回数の分布です。確率の計算方法と、正規近似の使い方を例題で確認します。

例題 1：二項分布の確率計算

あるサイコロで 1 の目が出る確率が $1/6$ です。このサイコロを 5 回投げたとき、1 の目がちょうど 2 回出る確率を求めてください。

$X \sim B (5, 1/6)$ とすると、

$P (X = 2) = (2 5) (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{3}$

$= 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} \approx 0.161$

約 16.1% の確率で 1 の目がちょうど 2 回出ます。

同じ条件で、1 の目が 1 回以下しか出ない確率を求めてください。

$P (X \leq 1) = P (X = 0) + P (X = 1)$

$P (X = 0) = (0 5) (\frac{1}{6})^{0} (\frac{5}{6})^{5} = 1 \times 1 \times \frac{3125}{7776} \approx 0.402$

$P (X = 1) = (1 5) (\frac{1}{6})^{1} (\frac{5}{6})^{4} = 5 \times \frac{1}{6} \times \frac{625}{1296} = \frac{3125}{7776} \approx 0.402$

$P (X \leq 1) \approx 0.402 + 0.402 = 0.804$

約 80.4% の確率で 1 の目は 1 回以下です。

合格率 70% の試験を 20 人が受けます。合格者数の期待値と標準偏差を求めてください。

$X \sim B (20, 0.7)$ です。二項分布の期待値と分散の公式より

$E [X] = n p = 20 \times 0.7 = 14$

$V [X] = n p (1 - p) = 20 \times 0.7 \times 0.3 = 4.2$

標準偏差は $4.2 \approx 2.05$ です。平均して 14 人が合格し、そこから約 2 人程度のばらつきがあると解釈できます。

製品の不良率が 5% のとき、1000 個の製品の中に不良品が 60 個以上含まれる確率を求めてください。

$X \sim B (1000, 0.05)$ です。 $n$ が大きいので正規近似を使います。

$E [X] = 1000 \times 0.05 = 50, V [X] = 1000 \times 0.05 \times 0.95 = 47.5$

連続性補正を適用して

$P (X \geq 60) \approx P (Z \geq \frac{59.5 - 50}{47.5}) = P (Z \geq \frac{9.5}{6.89}) = P (Z \geq 1.38)$

$\approx 1 - Φ (1.38) \approx 1 - 0.9162 = 0.0838$

約 8.4% の確率で不良品が 60 個以上になります。連続性補正では、離散値 60 を区間 $[59.5, 60.5)$ として扱うため、「60 以上」は 59.5 以上と考えます。