連続修正を入れないと 2 割ずれる - 二項分布の計算問題

コインを 100 回投げて表が 60 回以上出る確率は 0.02844 です。正規分布で近似すると 0.02275 になります。

2 割ほど低い。境目を 59.5 にずらして計算すると 0.02872 で、こんどはほぼ一致します。

この 0.5 がどこから来るのかを含めて、二項分布の計算を通していきます。

確率の式

$n$ 回の独立な試行で、各回の成功確率が $p$ のとき、成功回数 $X$ の分布は次で与えられます^[1]。

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$

$(k n)$ は $k$ 回の成功をどの回に割りあてるかの通り数、残りが確率の積です。

期待値と分散も式で出ます^[1]^[2]。

$E [X] = n p, V [X] = n p (1 - p)$

分散は $p = 0.5$ で最大になります。当たるか外れるか五分五分のときが、いちばん予測しにくい。

例 1：10 回で 6 回

$n = 10$ 、 $p = 0.5$ で $P (X = 6)$ を求めます。

$P (X = 6) = (6 10) (\frac{1}{2})^{10} = \frac{210}{1024} = 0.20508$

$p = 0.5$ なので確率の積が $k$ によらず $1/1024$ になり、組み合わせの数だけで決まります。

期待値は $10 \times 0.5 = 5$ 、分散は $10 \times 0.5 \times 0.5 = 2.5$ 、標準偏差は 1.581 です。

6 回は平均から 1 だけ上で、標準偏差の 0.63 個ぶんにあたります。ごくふつうに起きる値。

例 2：分数のまま

$n = 6$ 、 $p = 1/3$ で $P (X = 2)$ を出します。

$P (X = 2) = (2 6) (\frac{1}{3})^{2} (\frac{2}{3})^{4} = 15 \times \frac{1}{9} \times \frac{16}{81} = \frac{240}{729}$

$0.32922$ です。分母をそろえて $729 = 3^{6}$ にしておくと、途中で小数にせずに済みます。

期待値は $6 \times 1/3 = 2$ 、分散は $6 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ 。

累積確率

「 $k$ 回以上」を求めるときは、1 つずつ足します。 $n = 10$ 、 $p = 0.5$ で $P (X \geq 7)$ なら 7、8、9、10 の 4 つ。

$\frac{120 + 45 + 10 + 1}{1024} = \frac{176}{1024} = 0.17188$

足す個数が少ないほうを選びます。 $P (X \geq 3)$ なら、 $1 - P (X \leq 2)$ として 3 個で済ませるほうが速い。

例 3：不良品の個数

不良率 2% の工程から 100 個をとります。不良品の個数を $X$ とすると $n = 100$ 、 $p = 0.02$ 。

$P (X = 0) = 0.9 8^{100} = 0.13262$ 。 $P (X \leq 2)$ まで足すと 0.67669 になります。

したがって $P (X \geq 3) = 1 - 0.67669 = 0.32331$ 。3 個以上出ることは、3 回に 1 回起きます。

期待値は 2 個です。「平均 2 個なら 3 個以上はめずらしい」と考えると外れます。

ポアソン近似

$n$ が大きく $p$ が小さいとき、 $λ = n p$ を使った次の形で近似できます^[2]。

$P (X = k) \approx \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ}$

さきほどの例では $λ = 2$ です。 $P (X \leq 2)$ の近似値は $e^{- 2} (1 + 2 + 2) = 0.67668$ 。

正確な 0.67669 とほぼ一致しました。個別の $P (X = 0)$ では 0.13534 と 0.13262 で少しずれますが、累積では打ち消し合います。

$n$ が 3 桁で $p$ が 1% 前後なら、階乗を含む式より軽く済みます。

正規近似と 0.5

$n$ が大きく $p$ が極端でないときは、正規分布で近似できます。ただし棒グラフを曲線で置きかえるので、境目の扱いが要ります^[2]。

$P (X \leq y) \approx Φ (\frac{y - n p + 0.5}{n p ( 1 - p )})$

式の中の $+ 0.5$ が連続修正です。 $X = 60$ という棒は 59.5 から 60.5 までの幅を持つ、と見なす。

修正なし

$60$ を境目にする。棒の左半分が数え落とされる

連続修正あり

$59.5$ を境目にする。 $X = 60$ の棒がまるごと入る

例 4：3 通りの答えを並べる

$n = 100$ 、 $p = 0.5$ で $P (X \geq 60)$ を 3 通りに出します。

求め方	値	正確な値とのずれ
1 つずつ足す	0.02844	—
正規近似（修正なし）	0.02275	20.0% 低い
正規近似（連続修正）	0.02872	1.0% 高い

修正なしでは 2 割ずれました。 $X = 60$ の棒の左半分が数え落とされているためです。

$n$ が大きくなるほど 1 本の棒が細くなるので、ずれは小さくなります。それでも入れておくほうが安全です。

例 5：まとめて計算する

$n = 20$ 、 $p = 0.3$ の場合を通します。期待値 6、分散 4.2、標準偏差 2.049。

$P (X = 6) = 0.19164$ で、これが最も高い確率です。最頻値は $⌊(n + 1) p ⌋ = 6$ にあたります。

$P (X \leq 4) = 0.23751$ 、 $P (X \geq 9) = 0.11333$ 。平均から $\pm 3$ 離れた外側が、合わせて 35% ほど。

標準偏差が 2.05 なので、 $\pm 3$ は 1.5 個ぶんです。正規分布なら 13% 程度の位置ですが、こちらは 35%。 $n$ が小さいうちは形が違います。

$n = 50$ 、 $p = 0.4$ の二項分布で、標準偏差はいくつですか。

約 3.46
20
12

__RESULT__

分散は $n p (1 - p) = 50 \times 0.4 \times 0.6 = 12$ なので、標準偏差はその平方根で 3.464 です。20 は期待値 $n p$ 、12 は分散そのものになります。

小さい $n$ なら定義どおりに足し、 $p$ が小さければポアソン、 $n$ が大きければ正規に 0.5 を添えて。使い分けの境目は、棒の細さで決まります。

出典

Binomial Distribution. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods.

Binomial distribution. Encyclopedia of Mathematics.

Abraham de Moivre, *Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (a+b)^n in Seriem expansi*, 1733. Helen M. Walker 編訳.

コインを 100 回投げて表が 60 回以上出る確率は 0.02844。正規分布でそのまま近似すると 0.02275 で 2 割低く、境目を 59.5 にずらすと 0.02872 でほぼ一致します。$X = 60$ の棒が幅 1 を持っているためです。10 回で 6 回なら $210/1024$、$n = 6$、$p = 1/3$ なら $240/729$ と、分数のまま進める計算も通します。不良率 2% で 100 個とると 3 個以上出る確率が 0.32331 で、平均 2 個という数字から受ける印象とは違う。$\lambda = np$ のポアソン近似が累積で 0.67668 と 0.67669 まで合うこと、$n = 20$、$p = 0.3$ の裾が正規分布とどれだけ違うかまで。