ポアソン分布の期待値・分散の計算例

ポアソン分布は、単位時間や単位面積あたりに発生するイベント数をモデル化する分布です。平均発生率 $\lambda$ を使った確率計算と、二項分布からの近似について例題で学びます。

例題 1：ポアソン分布の確率計算

あるコールセンターには 1 時間あたり平均 4 件の電話がかかってきます。1 時間にちょうど 6 件の電話がかかってくる確率を求めてください。

$X\sim \mathrm{Po}(4)$ とすると、

$$P(X=6)=\frac{4^6{e}^{-4}}{6!}=\frac{4096\times e^{-4}}{720}$$

$e^{-4}\approx 0.0183$ より

$$P(X=6)\approx \frac{4096\times 0.0183}{720}\approx \frac{74.96}{720}\approx 0.104$$

約 10.4% の確率で 1 時間に 6 件の電話がかかってきます。

例題 2：累積確率の計算

同じ条件で、1 時間に 2 件以下の電話しかかかってこない確率を求めてください。

$$P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$$

各項を計算すると

$$P(X=0)=\frac{4^0{e}^{-4}}{0!}=e^{-4}\approx 0.0183$$

$$P(X=1)=\frac{4^1{e}^{-4}}{1!}=4e^{-4}\approx 0.0733$$

$$P(X=2)=\frac{4^2{e}^{-4}}{2!}=\frac{16e^{-4}}{2}=8e^{-4}\approx 0.1465$$

$$P(X\le 2)\approx 0.0183+0.0733+0.1465=0.2381$$

約 23.8% の確率で 2 件以下です。

例題 3：期待値と分散

ポアソン分布では期待値と分散がともに $\lambda$ に等しいという特徴があります。

$$E[X]=\lambda ,V[X]=\lambda$$

上の例では $\lambda =4$ なので、期待値は 4 件、分散も 4、標準偏差は $\sqrt{4}=2$ 件です。

この性質は、データがポアソン分布に従うかどうかを判断する手がかりにもなります。標本平均と標本分散がほぼ等しければ、ポアソン分布が適切かもしれません。

例題 4：二項分布のポアソン近似

ある病気の発症率は 0.1% です。10000 人の中で 15 人以上が発症する確率を求めてください。

厳密には $X\sim B(10000,0.001)$ ですが、$n$ が大きく $p$ が小さいのでポアソン近似を使います。$\lambda =np=10000\times 0.001=10$ として $X\sim \mathrm{Po}(10)$ で近似します。

$$P(X\ge 15)=1-P(X\le 14)=1-\sum _{k=0}^{14}\frac{10^k{e}^{-10}}{k!}$$

数表や計算機を使うと $P(X\le 14)\approx 0.9165$ なので

$$P(X\ge 15)\approx 1-0.9165=0.0835$$

約 8.4% の確率で 15 人以上が発症します。ポアソン近似は $n\ge 100$ かつ $np\le 10$ 程度のときによく機能します。