母平均の区間推定の計算例

区間推定は、母数が含まれる範囲を確率的に示す方法です。母平均の区間推定について、母分散が既知の場合と未知の場合の両方を計算で確認します。

例題 1：母分散既知の場合

ある製品の重量は標準偏差 $\sigma =5$g（既知）の正規分布に従います。16 個の製品を測定したところ、標本平均は $\bar{x}=102$g でした。母平均 $\mu$ の 95% 信頼区間を求めてください。

$\sigma$ が既知なので z 分布を使います。95% 信頼区間の公式は

$$\bar{x}\pm z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

$z_{0.025}=1.96$ より

$$102\pm 1.96\times \frac{5}{\sqrt{16}}=102\pm 1.96\times 1.25=102\pm 2.45$$

95% 信頼区間は $(99.55,104.45)$ です。母平均は 99.55g から 104.45g の間にあると 95% の信頼度で言えます。

例題 2：母分散未知の場合

10 人の学生のテスト成績が次の通りでした。

$$72,85,68,91,74,80,77,88,69,76$$

母平均の 95% 信頼区間を求めてください。

まず標本平均と標本標準偏差を計算します。

$$\bar{x}=\frac{72+85+68+91+74+80+77+88+69+76}{10}=\frac{780}{10}=78$$

偏差二乗和は

$$(-6{)}^2+7^2+(-10{)}^2+13^2+(-4{)}^2+2^2+(-1{)}^2+10^2+(-9{)}^2+(-2{)}^2=520$$

標本分散と標本標準偏差は

$$s^2=\frac{520}{9}\approx 57.78,s\approx 7.60$$

自由度 $n-1=9$ の t 分布で $t_{0.025}(9)\approx 2.262$ より

$$78\pm 2.262\times \frac{7.60}{\sqrt{10}}=78\pm 2.262\times 2.40=78\pm 5.43$$

95% 信頼区間は $(72.57,83.43)$ です。

例題 3：信頼度を変えた場合

同じデータで 99% 信頼区間を求めてください。

$t_{0.005}(9)\approx 3.250$ より

$$78\pm 3.250\times 2.40=78\pm 7.80$$

99% 信頼区間は $(70.20,85.80)$ です。信頼度を上げると区間は広くなります。

区間の幅と標本サイズ

信頼区間の幅は $2\times t_{\alpha /2}\times s/\sqrt{n}$ に比例します。標本サイズ $n$ を 4 倍にすると幅は半分になります。

例えば、例題 2 で幅を半分にしたい（約 2.7 以内に収めたい）場合、$n$ を 40 程度に増やす必要があります。このように必要な精度から逆算して標本サイズを決定することもできます。