標本を 4 倍にしても信頼区間の幅は半分にしかならない

標本 16 個で作った 95% 信頼区間の半幅が 3.41 でした。標本を 4 倍の 64 個にすると 1.60 になります。

手間は 4 倍、狭まる幅はおよそ半分。$\sqrt{n}$ が分母にいるので、この交換条件からは逃げられません。

区間推定の計算を、この関係を軸に通していきます。

区間が動き、母数は動かない

95% 信頼区間について、「母平均がこの区間にある確率が 95%」という読み方は正しくありません。

母平均は決まった数で、動きません。動くのは標本のほうで、標本が変わるたびに区間の位置も幅も変わります^[1]。

同じ手順を何度も繰り返せば、作った区間のうち 95% が母平均を含む。確率は手順についての話で、目の前の 1 本についての話ではない^[1]。

目の前の区間は、含んでいるか含んでいないかのどちらかです。どちらかは分かりません。

母分散が分かっている場合

標本平均の標準偏差は $\sigma /\sqrt{n}$ です。標準化した量が標準正規分布に従うので、そこから区間を作ります。

$$\bar{x}\pm z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

95% なら $z=1.960$、99% なら 2.576、90% なら 1.645 です。

母分散が分からない場合

$\sigma$ を標本標準偏差 $s$ で置きかえ、比べる相手を t 分布にします。

$$\bar{x}\pm t_{\alpha /2}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}$$

自由度は $n-1$。$t$ は $z$ より大きいので、区間はそのぶん広くなります。

例 1：16 個の測定から

表示 500 g の袋を 16 個はかり、平均 496.2 g、標本標準偏差 6.4 g でした。

標準誤差は $6.4/\sqrt{16}=1.6$。自由度 15 の $t$ は 2.1314 です。

$$496.2\pm 2.1314\times 1.6=496.2\pm 3.41$$

区間は $[492.79,499.61]$。$500$ を含んでいないので、表示どおりとは言いにくい。

母分散が 6.4 だと分かっていれば $1.960\times 1.6=3.14$ となり、区間は $[493.06,499.34]$ です。$0.27$ ぶんだけ狭い。

幅を決めるのは 3 つ

半幅は $t\times s/\sqrt{n}$ という積です。動かせるものが 3 つあります。

$s$ は測り方の問題で、統計の外側にあります。測定の精度を上げるか、条件をそろえるか。

信頼係数と $n$ は、こちらで選べる数です。

例 2：信頼係数を変える

同じ 16 個のデータで、信頼係数だけを動かします。

99% にすると幅が 1.7 倍になりました。確実さを買うには、幅を払うことになります。

100% の区間を作ることもできますが、それは全実数になって何も言っていません。

例 3：標本を増やす

信頼係数 95%、$s=6.4$ のまま $n$ だけを変えます。

$n$ を 4 倍にするたびに、半幅がおよそ半分になっています。$\sqrt{n}$ が分母にあるためです。

小さい $n$ では $t$ の値も大きいので、二重に効きます。$n=4$ では $t=3.18$ もあり、半幅が 10 を超える。

半幅を 10 分の 1 にしたいなら、$n$ は 100 倍。精度を上げる費用は、思ったより急に増えます。

比率の区間推定

比率の場合、標準誤差は $\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$ です。$n$ が大きければ正規近似が使えます。

$$\hat{p}\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

$\hat{p}(1-\hat{p})$ は $\hat{p}=0.5$ で最大の 0.25 になります。だから 0.5 に近いほど区間が広い。

例 4：1000 人の調査

1000 人に聞いて 52% が賛成だったとします。標準誤差は $\sqrt{0.52\times 0.48/1000}=0.0158$。

半幅は $1.960\times 0.0158=0.0310$ で、区間は $[0.489,0.551]$ です。

$0.5$ を含んでいます。52% という数字が出ても、実は半数を割っている可能性は消えません。

400 人だと半幅が 0.049 まで広がり、区間は $[0.471,0.569]$。人数が半分以下になると、幅は 1.6 倍になります。

必要な人数を逆算する

半幅を $d$ 以下にしたいなら、$z\sqrt{0.25/n}\le d$ を $n$ について解きます。

$$n\ge \frac{z^2\times 0.25}{d^2}$$

95% で $d=0.03$ なら $n\ge 1068$。$d=0.01$ にすると $n\ge 9604$ です。

$d$ を 3 分の 1 にすると $n$ は 9 倍。世論調査の人数が 1000 前後で止まりがちなのは、この曲がり方のためです。

区間の幅は $t$ と $s$ と $\sqrt{n}$ の積で決まる。どれを動かすといくら縮むかを先に見積もれば、調査の設計はそこで決まります。

参考文献