t 検定の計算手順と例題

t 検定は母分散が未知のときに母平均を検定する方法です。一標本と二標本の両方について、計算手順を例題で確認します。

例題 1：一標本 t 検定

あるダイエット法の効果を調べるため、8 人に 1 か月間実施してもらいました。体重の変化量（kg）は次の通りです（減少が正）。

$$2.1,1.5,3.2,0.8,2.4,1.9,2.7,1.6$$

このダイエット法は有意水準 5% で効果があるといえるでしょうか。

帰無仮説は $H_0$: $\mu =0$（効果なし）、対立仮説は $H_1$: $\mu >0$（体重が減少）の片側検定です。

標本平均は

$$\bar{x}=\frac{2.1+1.5+3.2+0.8+2.4+1.9+2.7+1.6}{8}=\frac{16.2}{8}=2.025$$

偏差二乗和は各値から 2.025 を引いて二乗し、合計すると約 3.855 です。標本標準偏差は

$$s=\sqrt{\frac{3.855}{7}}\approx \sqrt{0.551}\approx 0.742$$

検定統計量は

$$t=\frac{\bar{x}-0}{s/\sqrt{n}}=\frac{2.025}{0.742/\sqrt{8}}=\frac{2.025}{0.262}\approx 7.73$$

自由度 7 の t 分布で $t_{0.05}(7)\approx 1.895$ です。$t=7.73>1.895$ なので帰無仮説を棄却し、ダイエット法には有意な効果があると結論します。

例題 2：対応のある二標本 t 検定

5 人の被験者に対して、トレーニング前後の記録を測定しました。

トレーニングの効果は有意水準 5% で認められるでしょうか。

差の平均と標準偏差を計算します。

$$\bar{d}=\frac{7+4+6+4+5}{5}=\frac{26}{5}=5.2$$

偏差二乗和は $(7-5.2{)}^2+(4-5.2{)}^2+(6-5.2{)}^2+(4-5.2{)}^2+(5-5.2{)}^2=3.24+1.44+0.64+1.44+0.04=6.8$

$$s_d=\sqrt{\frac{6.8}{4}}=\sqrt{1.7}\approx 1.304$$

検定統計量は

$$t=\frac{5.2-0}{1.304/\sqrt{5}}=\frac{5.2}{0.583}\approx 8.92$$

自由度 4 で $t_{0.025}(4)\approx 2.776$（両側検定）です。$|t|=8.92>2.776$ なので帰無仮説を棄却し、トレーニングには有意な効果があると結論します。

検定の注意点

t 検定を適用するには、データが正規分布に従うことが前提です。標本サイズが小さい場合は正規性の確認が重要になります。また、p 値を計算して報告することで、結果の解釈がより明確になります。