60 回中 14 回出た目があっても偶然〜カイ二乗検定の計算例題

さいころを 60 回振って、ある目が 14 回出ました。期待される 10 回より 4 回多い。

偏っているように見えますが、カイ二乗検定にかけると ${\chi }^2=3.40$、p 値は 0.639 です。まったく珍しくありません。

見た目の偏りと、統計としての偏り。この 2 つの距離を測るのがこの検定です。

適合度の検定

観測された度数が、想定した確率と合っているかを調べます^[1]。

$${\chi }^2=\sum _{i=1}^k\frac{(O_i-E_i{)}^2}{E_i}$$

$O_i$ が観測度数、$E_i$ が期待度数です。差を 2 乗して、期待度数で割ってから足します。

期待度数で割るところが要点になります。100 に対する $\pm 5$ と、10 に対する $\pm 5$ では、意味の重さが違うためです。

$n$ を大きくすると、この量は自由度 $k-1$ のカイ二乗分布に近づきます^[1]。

例 1：さいころ 60 回

観測が 8、12、9、14、7、10 で、期待はどの目も $60/6=10$ です。

合計は 3.40。自由度は $6-1=5$ で、上側 5% 点は 11.0705 です。

まったく届きません。p 値は 0.639 で、この程度のばらつきは 6 割の確率で起きます。

自由度が $k$ でなく $k-1$ なのは、6 つの度数の合計が 60 に決まっているためです。5 つ決まれば残り 1 つも決まる。

独立性の検定

2 つの分類が関係しているかを調べる場合も、同じ統計量を使います^[2]。

行と列に分けた表を作り、独立だと仮定したときの期待度数を出します。

$$E_{ij}=\frac{r_i\times c_j}{n}$$

$r_i$ が行の合計、$c_j$ が列の合計、$n$ が総数です。独立なら、行の割合が列によらないはず、という考え方から出ます。

自由度は $(r-1)(c-1)$ になります^[2]。行と列の合計が決まっているぶん、自由に動ける枡が減る。

例 2：2 行 2 列の表

薬を使った 70 人のうち 45 人が改善、使わなかった 70 人のうち 30 人が改善したとします。

改善した人は合計 75 人、しなかった人は 65 人。総数は 140 です。

期待度数は $70\times 75/140=37.5$ と $70\times 65/140=32.5$。どちらの行も同じ値になります。

差はどの枡も $\pm 7.5$ です。2 乗して期待度数で割ると $1.5$、$1.7308$、$1.5$、$1.7308$。

合計は 6.4615 になります。自由度は $(2-1)(2-1)=1$ で、上側 5% 点は 3.8415。p 値は 0.0110 です。

イェーツの補正

自由度 1 の場合、離散的な度数を連続分布で近似しているぶん、値が大きく出やすくなります。

差の絶対値から $0.5$ を引いてから 2 乗する形が使われます。

$${\chi }^2=\sum \frac{(|O-E|-0.5{)}^2}{E}$$

さきほどの表に当てると $6.4615$ が $5.6287$ に下がり、p 値は 0.0110 から 0.0177 へ。

どちらでも 5% は割りますが、値は 6 割ほど動きました。$n$ が小さいほど差が大きくなります。

例 3：3 行 2 列の表

3 つの学年で、ある選択肢を選んだ人数が 30、25、15、選ばなかった人数が 20、25、35 だったとします。

各行の合計はどれも 50、列の合計は 70 と 80、総数は 150 です。

期待度数は 1 行目が $50\times 70/150=23.33$ と $50\times 80/150=26.67$。どの行も同じになります。

${\chi }^2=9.3750$、自由度は $(3-1)(2-1)=2$ で、上側 5% 点は 5.9915。p 値は 0.0092 です。

学年が上がるほど選ぶ人が減っている、という傾向が数字にも出ました。

どの枡が効いているか

${\chi }^2$ は合計なので、どの枡が押し上げたかは値そのものからは読めません。枡ごとの寄与を見ます。

さきほどの 2 行 2 列では、寄与が $1.5$、$1.7308$、$1.5$、$1.7308$ でした。4 つがほぼ均等で、特定の枡が突出してはいません。

期待度数の小さい枡ほど寄与が大きくなりやすい。分母が小さいためで、同じ人数のずれでも重く効きます。

関連の強さを測る

${\chi }^2$ の値は $n$ に比例して大きくなります。同じ割合の偏りでも、人数を 10 倍にすれば値も 10 倍。

強さを見るには $n$ で割った量を使います。行と列のうち小さいほうから 1 を引いた数で、さらに割る。

$$V=\sqrt{\frac{{\chi }^2}{n\times \min (r-1,c-1)}}$$

2 行 2 列の例では $\sqrt{6.4615/140}=0.215$。3 行 2 列の例では $\sqrt{9.375/150}=0.250$ です。

$p$ 値は前者が 0.0110、後者が 0.0092 とほぼ同じですが、関連の強さは後者のほうが上でした。$p$ と強さは別の量です。

期待度数が小さいとき

近似が成り立つのは $n$ を大きくした極限です^[1]。期待度数が小さい枡があると、この近似が怪しくなります。

目安として、期待度数が 5 を下回る枡があれば注意します。カテゴリをまとめるか、正確確率の方法へ切りかえる。

観測が 2、3、15 で期待が 4、4、12 という場合、${\chi }^2=2.00$ が出ますが、この値をカイ二乗分布と比べる根拠は弱くなります。

手順のまとめ

自由度の数え方だけが型ごとに違います。適合度なら $k-1$、独立性なら $(r-1)(c-1)$、母数を推定していればさらに減ります^[1]。

差の大きさをそのまま見るのではなく、期待度数で割ってから足す。この一手で、大きい枡と小さい枡を同じ物差しに乗せています。

参考文献