カイ二乗検定の計算例題

カイ二乗検定は、分散の検定や適合度検定、独立性の検定など幅広い場面で使われます。代表的な応用について計算手順を確認します。

例題 1：母分散の検定

ある機械で生産される部品の長さの標準偏差が 0.5mm 以下であることが品質基準です。12 個の部品を測定したところ、標本標準偏差は $s=0.62$mm でした。有意水準 5% で基準を満たしているか検定してください。

帰無仮説は $H_0$: ${\sigma }^2\le 0.25$、対立仮説は $H_1$: ${\sigma }^2>0.25$ の片側検定です。

検定統計量は

$${\chi }^2=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}=\frac{11\times 0.62^2}{0.5^2}=\frac{11\times 0.3844}{0.25}=\frac{4.228}{0.25}=16.91$$

自由度 11 のカイ二乗分布で ${\chi }_{0.05}^2(11)\approx 19.68$ です。${\chi }^2=16.91<19.68$ なので帰無仮説を棄却できず、品質基準を満たしていないとは言えません。

例題 2：適合度検定

サイコロを 60 回投げた結果が次の通りでした。このサイコロは公正といえるでしょうか。

帰無仮説は「各目が出る確率は 1/6 で等しい」です。期待度数は各目とも $60\times 1/6=10$ です。

カイ二乗統計量は

$${\chi }^2=\sum \frac{(O_i-E_i{)}^2}{E_i}=\frac{(8-10{)}^2}{10}+\frac{(12-10{)}^2}{10}+\frac{(7-10{)}^2}{10}+\frac{(15-10{)}^2}{10}+\frac{(9-10{)}^2}{10}+\frac{(9-10{)}^2}{10}$$

$$=\frac{4+4+9+25+1+1}{10}=\frac{44}{10}=4.4$$

自由度は $6-1=5$ で、${\chi }_{0.05}^2(5)\approx 11.07$ です。${\chi }^2=4.4<11.07$ なので帰無仮説を棄却できず、サイコロが公正でないとは言えません。

例題 3：独立性の検定

性別と商品の好みの関係を調べるため、100 人にアンケートを取りました。

性別と好みは独立といえるでしょうか。

期待度数を計算します。例えば男性で商品 A を好む期待度数は $50\times 55/100=27.5$ です。

カイ二乗統計量は

$${\chi }^2=\frac{(30-27.5{)}^2}{27.5}+\frac{(20-22.5{)}^2}{22.5}+\frac{(25-27.5{)}^2}{27.5}+\frac{(25-22.5{)}^2}{22.5}$$

$$=\frac{6.25}{27.5}+\frac{6.25}{22.5}+\frac{6.25}{27.5}+\frac{6.25}{22.5}=0.227+0.278+0.227+0.278=1.01$$

自由度は $(2-1)(2-1)=1$ で、${\chi }_{0.05}^2(1)\approx 3.84$ です。${\chi }^2=1.01<3.84$ なので帰無仮説を棄却できず、性別と好みは独立でないとは言えません。