標本サイズの決定問題

研究や調査を計画する際、必要な標本サイズを事前に決定することが重要です。目標とする精度や検出力から逆算して標本サイズを求める方法を例題で学びます。

例題 1：信頼区間の幅から決定

母平均の 95% 信頼区間の幅を 4 以内にしたいとします。過去のデータから母標準偏差は $\sigma =10$ と推定されています。必要な標本サイズを求めてください。

信頼区間の幅は $2\times z_{\alpha /2}\times \sigma /\sqrt{n}$ です。これが 4 以下になる条件は

$$2\times 1.96\times \frac{10}{\sqrt{n}}\le 4$$

$$\frac{39.2}{\sqrt{n}}\le 4$$

$$\sqrt{n}\ge 9.8$$

$$n\ge 96.04$$

標本サイズは少なくとも 97 必要です。

例題 2：母平均の検定における標本サイズ

母平均が 100 であるかを検定します。真の平均が 105 のとき、有意水準 5%、検出力 80% を達成するには何人必要でしょうか。母標準偏差は $\sigma =15$ と仮定します。

両側検定の場合、必要な標本サイズの公式は

$$n\ge {\left(\frac{(z_{\alpha /2}+z_{\beta })\sigma }{\mu -{\mu }_0}\right)}^2$$

$z_{0.025}=1.96$、$z_{0.20}=0.84$（検出力 80% なので $\beta =0.20$）より

$$n\ge {\left(\frac{(1.96+0.84)\times 15}{105-100}\right)}^2={\left(\frac{2.80\times 15}{5}\right)}^2={\left(\frac{42}{5}\right)}^2=8.4^2=70.56$$

標本サイズは少なくとも 71 必要です。

例題 3：二群の平均差の検定

二つの群の平均差を検定します。差が 3 のとき検出力 90% を達成したいとします。両群とも標準偏差は 6 と仮定し、有意水準は 5% とします。各群に必要な標本サイズを求めてください。

等しい標本サイズ $n$ を各群に割り当てる場合、

$$n\ge 2{\left(\frac{(z_{\alpha /2}+z_{\beta })\sigma }{\delta }\right)}^2$$

$z_{0.025}=1.96$、$z_{0.10}=1.28$（検出力 90% なので $\beta =0.10$）より

$$n\ge 2{\left(\frac{(1.96+1.28)\times 6}{3}\right)}^2=2{\left(\frac{3.24\times 6}{3}\right)}^2=2\times 6.48^2=2\times 42.0=84.0$$

各群に少なくとも 84 人、合計 168 人必要です。

例題 4：比率の推定

支持率を推定する世論調査を計画します。95% 信頼区間の幅を ±3% 以内にするには何人に調査すればよいでしょうか。

比率 $p$ の信頼区間の幅は約 $2\times z_{\alpha /2}\sqrt{p(1-p)/n}$ です。$p$ が未知の場合、最悪ケース $p=0.5$ で計算します。

$$2\times 1.96\times \sqrt{\frac{0.25}{n}}\le 0.06$$

$$\sqrt{\frac{0.25}{n}}\le \frac{0.06}{3.92}\approx 0.0153$$

$$\frac{0.25}{n}\le 0.000234$$

$$n\ge \frac{0.25}{0.000234}\approx 1068$$

少なくとも 1068 人に調査する必要があります。世論調査で 1000 人規模が標準的なのはこのためです。