三角関数の加法定理の証明と使い方

加法定理は、2つの角の和や差の三角関数を、それぞれの角の三角関数で表す公式です。三角関数の公式の中でも特に重要で、2倍角や半角の公式もすべて加法定理から導かれます。

加法定理の公式

$sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β$

$sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β$

$cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β$

$cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β$

$tan (α + β) = \frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β}$

$tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β}$

単位円上に2点 $A (cos α, sin α)$ と $B (cos β, sin β)$ をとります。2点間の距離を2通りの方法で計算することで証明できます。

線分 $A B$ の長さの2乗を座標から求めると

$A B^{2} = (cos α - cos β)^{2} + (sin α - sin β)^{2}$

これを展開すると

$A B^{2} = 2 - 2 (cos α cos β + sin α sin β)$

一方、余弦定理を使うと $A B^{2} = 2 - 2 cos (α - β)$ となります。両者を比較すれば $cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β$ が得られます。

$sin 75°$ の値を求めてみます。 $75° = 45° + 30°$ と分解して加法定理を使います。

$sin 75° = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 + 2}{4}$

このように、15° や 75° など直接求めにくい角度も、加法定理を使えば計算できます。