加法定理でしか出せない角度がある（15 度と 75 度の値）

$sin (3 0^{\circ} + 6 0^{\circ})$ は $sin 3 0^{\circ} + sin 6 0^{\circ}$ ではありません。

左は $sin 9 0^{\circ} = 1$ 。右は $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1.366 \dots$ 。 $0.366$ もずれる。

角の足し算は、そのままでは中へ入れません。正しく入るための式が加法定理^[1]。

$sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β$

$cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β$

$β$ を $- β$ に替えれば引き算の形も作れます。 $sin$ は奇関数、 $cos$ は偶関数なので符号だけが変わる。

6 つまとめて

$sin (α \pm β) cos (α \pm β) tan (α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β = cos α cos β \mp sin α sin β = \frac{tan α \pm tan β}{1 \mp tan α tan β}$

$sin$ は符号がそのまま、 $cos$ と $tan$ は逆になります^[2]。

$cos$ の符号が逆になる理由は、 $cos 0 = 1$ で確かめられます。 $α = β$ と置いて $cos (α - α) = cos^{2} α + sin^{2} α = 1$ 。

もし符号が逆だったら $cos^{2} α - sin^{2} α$ になり、 $1$ になりません。符号を忘れたらこの検算で決まる。

$sin$ のほうも同じ手が使える。 $sin (α - α) = sin α cos α - cos α sin α = 0$ で、こちらも合う。

15 度の値を出す

$1 5^{\circ}$ は三角定規にありません。単位円にも $3 0^{\circ}$ 、 $4 5^{\circ}$ 、 $6 0^{\circ}$ しか刻まれていない。

ところが $1 5^{\circ} = 4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}$ 。知っている 2 つの差で書けます。

$sin 1 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} - cos 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ} = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2}$

計算すると $\frac{6}{4} - \frac{2}{4} = \frac{6 - 2}{4}$ 。

$cos$ のほうは符号が逆になるので足し算になる。 $cos 1 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}$ 。

数値で確かめます。 $6 ≒ 2.449$ 、 $2 ≒ 1.414$ なので $sin 1 5^{\circ} ≒ 0.259$ 。

電卓の $sin 1 5^{\circ}$ も $0.2588$ で、同じ値になりました。

75 度と 105 度

$7 5^{\circ} = 4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}$ 。今度は足し算の形を使います。

$sin 7 5^{\circ} = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 + 2}{4}$ 。

$sin 7 5^{\circ}$ と $cos 1 5^{\circ}$ が同じ値になりました。 $7 5^{\circ} + 1 5^{\circ} = 9 0^{\circ}$ なので、 $sin$ と $cos$ がいれかわった形。

$10 5^{\circ} = 6 0^{\circ} + 4 5^{\circ}$ でも作れる。 $sin 10 5^{\circ} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{6 + 2}{4}$ 。

$sin 10 5^{\circ} = sin 7 5^{\circ}$ になりました。 $10 5^{\circ} = 18 0^{\circ} - 7 5^{\circ}$ なので、 $sin$ の値が一致する。

$1 5^{\circ}$ 刻みの角は、この $2$ つの組み合わせですべて作れます。 $3 0^{\circ}$ と $4 5^{\circ}$ が種になっている。

$sin 1 5^{\circ}$	$\frac{6 - 2}{4}$
$cos 1 5^{\circ}$	$\frac{6 + 2}{4}$
$tan 1 5^{\circ}$	$2 - 3$
$sin 7 5^{\circ}$	$\frac{6 + 2}{4}$
$cos 7 5^{\circ}$	$\frac{6 - 2}{4}$
$tan 7 5^{\circ}$	$2 + 3$

$tan 1 5^{\circ}$ と $tan 7 5^{\circ}$ は積が $(2 - 3) (2 + 3) = 1$ 。互いに逆数。

tan の加法定理

$tan$ は分数なので、形が少し違う。

$tan (α + β) = \frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β}$

導き方は割り算。 $\frac{sin ( α + β )}{cos ( α + β )}$ の分母分子を $cos α cos β$ で割ります^[2]。

分子は $\frac{sin α cos β + cos α sin β}{cos α cos β} = tan α + tan β$ 。

分母は $\frac{cos α cos β - sin α sin β}{cos α cos β} = 1 - tan α tan β$ になる。

$tan 1 5^{\circ}$ を計算してみます。 $tan 4 5^{\circ} = 1$ 、 $tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}$ で引き算の形。

$\frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{2} = \frac{4 - 2 3}{2} = 2 - 3$ 。

例：値だけが与えられたとき

$α$ と $β$ はどちらも鋭角で、 $sin α = \frac{3}{5}$ 、 $cos β = \frac{5}{13}$ とします。

角そのものは有名角ではない。それでも $sin (α + β)$ は計算できます。

まず足りない値を補います。鋭角なので符号はすべて正。 $cos α = \frac{4}{5}$ 、 $sin β = \frac{12}{13}$ 。

$sin (α + β) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{15 + 48}{65} = \frac{63}{65}$

$cos$ も計算します。 $\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{20 - 36}{65} = - \frac{16}{65}$ 。

$sin$ が正で $cos$ が負なので、 $α + β$ は第 2 象限。鋭角 $2$ つの和が鈍角になったと分かる。

検算も効きます。 $(\frac{63}{65})^{2} + (\frac{16}{65})^{2} = \frac{3969 + 256}{4225} = 1$ 。

2 倍角はここから作れる

$β$ に $α$ を入れるだけで 2 倍角の公式になります。

$sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α$ 。

$cos (α + α) = cos^{2} α - sin^{2} α$ 。別に覚える式ではありません^[3]。

$3$ 倍角も同じ。 $3 α = 2 α + α$ と分ければ、2 倍角と加法定理の組み合わせで作れます。

加法定理は、三角関数の公式群のいちばん上流にあります。ここから下へ流れていく形。

加法定理

角の足し算を中へ入れる。上流にある 1 本で、ここから 2 倍角も半角も積和も作れる

2 倍角や半角

加法定理に特定の値を入れた結果。忘れても、上流に戻れば作り直せる

まちがえやすい点

$cos$ の符号がいちばん多い誤りです。足し算のとき $cos$ は引き算、引き算のとき $cos$ は足し算。

「コスモス、サインコサイン」のような語呂もありますが、 $α = β$ を入れる検算のほうが確実に決まります。

$tan$ の分母の符号も逆になる。 $tan (α + β)$ の分母は $1 - tan α tan β$ 。

$tan α tan β = 1$ のときは分母が $0$ 。このとき $α + β = 9 0^{\circ}$ で、 $tan$ が定義できません。

角をばらす分け方もまちがえやすい。 $1 5^{\circ}$ は $4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}$ であって $3 0^{\circ} - 1 5^{\circ}$ ではありません。知っている角どうしに分ける。

$cos 10 5^{\circ}$ の値はどれですか。

$\frac{6 + 2}{4}$
$\frac{2 - 6}{4}$
$\frac{6 - 2}{4}$

__RESULT__

$10 5^{\circ} = 6 0^{\circ} + 4 5^{\circ}$ と分けます。 $cos$ は引き算なので $cos 6 0^{\circ} cos 4 5^{\circ} - sin 6 0^{\circ} sin 4 5^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2 - 6}{4}$ です。 $10 5^{\circ}$ は鈍角なので $cos$ が負になる点でも確かめられます。

$tan$ の形も確かめます。

$tan α = 3$ 、 $tan β = \frac{1}{2}$ のとき、 $tan (α + β)$ はどれですか。

$\frac{7}{2}$
$- 7$
$7$

__RESULT__

分子は $3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ 、分母は $1 - 3 \times \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}$ です。割ると $\frac{7/2}{- 1/2} = - 7$ になります。分母を $1 + tan α tan β$ とすると $\frac{7}{5}$ になってしまうので、符号の向きで答えが変わります。

角を知っている 2 つに割り、公式に入れて、符号を確かめる。

参考

Sum and Difference Identities. Algebra and Trigonometry 2e, OpenStax.

É. Bouchet. Trigonométrie, Cours de PCSI, Proposition 1.8 と 1.11.

S. Ober-Blöbaum. Trigonometrische und hyperbolische Funktionen, Mathematik für Chemiker, Universität Paderborn（Additionstheoreme とその帰結）.

$\sin(30^\circ + 60^\circ)$ は $1$ ですが、$\sin 30^\circ + \sin 60^\circ$ は $1.366\cdots$ です。角の足し算はそのままでは中へ入れません。$15^\circ$ を $45^\circ - 30^\circ$ に割れば $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ が出て、三角定規にない角の値まで手が届く。$\cos$ と $\tan$ だけ符号が逆になる理由は、$\alpha = \beta$ を入れて $\cos 0 = 1$ になるかを見れば決まります。$\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$、$\cos\beta = \dfrac{5}{13}$ のように値だけ与えられた場合の解き方と、2 倍角がここから流れ出る仕組みまで。