かけ算をたし算に変える、三角関数の積和と和積の公式

$sin 7 5^{\circ} cos 1 5^{\circ}$ を電卓なしで計算します。かけ算のままでは進みませんが、足し算に直せば片づく。

$sin α cos β = \frac{1}{2} {sin (α + β) + sin (α - β)}$

$α = 7 5^{\circ}$ 、 $β = 1 5^{\circ}$ を入れると $\frac{1}{2} (sin 9 0^{\circ} + sin 6 0^{\circ}) = \frac{1}{2} (1 + \frac{3}{2}) = \frac{2 + 3}{4}$ 。

これが積和の公式^[1]。逆向きに、和を積へ直す和積の公式もある。

加法定理を足すか引くかだけ

新しい定理ではありません。加法定理を 2 つ並べて、足すか引くかした形^[2]。

$sin (α + β) sin (α - β) = sin α cos β + cos α sin β = sin α cos β - cos α sin β$

辺々を足すと右辺の第 2 項が消えます。 $sin (α + β) + sin (α - β) = 2 sin α cos β$ 。

両辺を $2$ で割れば、冒頭の式そのもの。引けば $cos α sin β$ の式になります。

$cos$ の加法定理でも同じことをする。足せば $cos α cos β$ 、引けば $sin α sin β$ が残る。

積和の 4 つ

$sin α cos β$	$\frac{1}{2} {sin (α + β) + sin (α - β)}$
$cos α sin β$	$\frac{1}{2} {sin (α + β) - sin (α - β)}$
$cos α cos β$	$\frac{1}{2} {cos (α + β) + cos (α - β)}$
$sin α sin β$	$- \frac{1}{2} {cos (α + β) - cos (α - β)}$

最後の 1 つだけ先頭にマイナスがつきます。 $cos$ の加法定理で $sin α sin β$ の項に $-$ がついているため^[1]。

覚えるかわりに、その場で作り直せます。加法定理を 2 行書いて、足すか引くかを選ぶ。

$sin$ どうしの積からは $cos$ が、 $cos$ どうしの積からも $cos$ が残ります。 $sin$ が残るのは混ざった積のとき。

積和は、かけ算を足し算へ落とす操作です。

かけ算のままでは積分もできず、 $0$ になる条件も読めません。足し算にすると、項ごとにばらして扱えます。

和積の 4 つ

積和を逆向きに読みます。 $α + β = A$ 、 $α - β = B$ と置き換える。

このとき $α = \frac{A + B}{2}$ 、 $β = \frac{A - B}{2}$ になる。

$sin A + sin B sin A - sin B cos A + cos B cos A - cos B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2} = 2 cos \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2} = 2 cos \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2} = - 2 sin \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$

$\frac{A + B}{2}$ は $2$ つの角の平均、 $\frac{A - B}{2}$ は差の半分^[1]。

$cos$ の引き算だけ先頭が $- 2$ になります。ここも積和のマイナスが引き継がれた形。

例：cos75° + cos15°

平均は $\frac{75 + 15}{2} = 4 5^{\circ}$ 、差の半分は $\frac{75 - 15}{2} = 3 0^{\circ}$ 。

$cos 7 5^{\circ} + cos 1 5^{\circ} = 2 cos 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} = 2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{2}$

加法定理からも確かめられます。 $cos 7 5^{\circ} = \frac{6 - 2}{4}$ 、 $cos 1 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}$ なので、足すと $2$ が消えて $\frac{2 6}{4} = \frac{6}{2}$ になる。

$7 5^{\circ}$ も $1 5^{\circ}$ も単独では根号が 2 つ並ぶ値ですが、足すと 1 つにまとまる。これが和積の効き目です。

因数分解の道具として使う

和積のいちばんの使い道は、方程式の因数分解。

$sin 3 θ + sin θ = 0$ を解きます。左辺のままでは、共通因数が見えません。

和積を当てる。平均は $2 θ$ 、差の半分は $θ$ です。

$sin 3 θ + sin θ = 2 sin 2 θ cos θ = 0$

積が $0$ になったので、 $sin 2 θ = 0$ または $cos θ = 0$ に分かれます。

$0 \leq θ < 2 π$ なら、前者から $θ = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}$ 、後者から $θ = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$ 。

重なりを除いて $θ = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}$ が答え。

$cos 3 θ - cos θ = 0$ なら $- 2 sin 2 θ sin θ = 0$ 。同じ手順で分かれます。

和のままでは因数分解できない

和積で積に直す

それぞれを 0 と置いて解く

例：積分で次数を落とす

$\int sin 3 x cos x d x$ は、積のままでは原始関数が見えません。

積和で開く。 $sin 3 x cos x = \frac{1}{2} (sin 4 x + sin 2 x)$ 。

足し算になれば、項ごとに積分できます。

$\int sin 3 x cos x d x = - \frac{1}{8} cos 4 x - \frac{1}{4} cos 2 x + C$

$sin^{2} x$ や $cos^{2} x$ の積分も同じ発想。 $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ と直してから積分します^[1]。

かけ算は積分と相性が悪く、足し算は相性がよい。積和はその橋渡しをしています。

まちがえやすい点

$sin α sin β$ の先頭のマイナスを落とす誤りが多い。 $cos (α - β)$ から $cos (α + β)$ を引く形。

$\frac{1}{2}$ を忘れる誤りも同じくらい多い。加法定理を足した時点で右辺が $2$ 倍になっているため。

和積では、平均と差の半分をとり違えやすい。 $sin$ の前にくるのは $\frac{A + B}{2}$ 、 $cos$ の前は $\frac{A - B}{2}$ 。

ただし $sin A - sin B$ だけは順序がいれかわります。 $cos$ が平均、 $sin$ が差の半分。

確かめ方は $A = B$ です。 $sin A - sin A = 0$ になるはずで、右辺は $sin 0 = 0$ を含む形でなければならない。

$cos 5 θ cos 3 θ$ を和の形に直すとどれですか。

$\frac{1}{2} (cos 8 θ + cos 2 θ)$
$\frac{1}{2} (cos 8 θ - cos 2 θ)$
$cos 8 θ + cos 2 θ$

__RESULT__

$cos α cos β = \frac{1}{2} {cos (α + β) + cos (α - β)}$ を使います。 $α = 5 θ$ 、 $β = 3 θ$ なので $\frac{1}{2} (cos 8 θ + cos 2 θ)$ です。引き算になるのは $sin α sin β$ のほうで、そちらは先頭にマイナスもつきます。

和積のほうも確かめます。

$sin 5 0^{\circ} + sin 1 0^{\circ}$ を積の形に直すとどれですか。

$2 sin 2 0^{\circ} cos 3 0^{\circ}$
$2 sin 3 0^{\circ} cos 2 0^{\circ}$
$2 cos 3 0^{\circ} sin 2 0^{\circ}$

__RESULT__

平均は $\frac{50 + 10}{2} = 3 0^{\circ}$ 、差の半分は $\frac{50 - 10}{2} = 2 0^{\circ}$ です。足し算では $sin$ の前に平均がくるので $2 sin 3 0^{\circ} cos 2 0^{\circ}$ になります。 $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ なので、値は $cos 2 0^{\circ}$ そのもの。 $2 cos 3 0^{\circ} sin 2 0^{\circ}$ は $sin 5 0^{\circ} - sin 1 0^{\circ}$ のほうの答えです。

加法定理を 2 行書き、足すか引くか。積和も和積も、そこから毎回作り直せます。

出典

Sum-to-Product and Product-to-Sum Formulas. Algebra and Trigonometry 2e, OpenStax.

É. Bouchet. Trigonométrie, Cours de PCSI, Proposition 1.8 の注（積和の 3 本と、

cos t + cos 2 t

を因数分解する例）.

$\sin 75^\circ\cos 15^\circ$ は掛け算のままでは進みませんが、$\dfrac{1}{2}(\sin 90^\circ + \sin 60^\circ)$ に開けば $\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}$ と出ます。積和も和積も新しい定理ではなく、加法定理を 2 行並べて足すか引くかしただけ。8 本を覚えるより、その場で作り直すほうが速い。$\sin 3\theta + \sin\theta = 2\sin 2\theta\cos\theta$ と直せば方程式が因数分解でき、$\int \sin 3x\cos x\,dx$ は和に開いてから積めます。$\sin\alpha\sin\beta$ だけ先頭にマイナスが付く理由も扱いました。