三角関数の積和・和積公式

積和公式と和積公式は、三角関数の積を和に変換したり、和を積に変換したりする公式です。積分計算や方程式を解くときに役立ちます。

積和公式

三角関数の積を和や差に変換します。

$sin α cos β = \frac{1}{2} {sin (α + β) + sin (α - β)}$

$cos α sin β = \frac{1}{2} {sin (α + β) - sin (α - β)}$

$cos α cos β = \frac{1}{2} {cos (α + β) + cos (α - β)}$

$sin α sin β = - \frac{1}{2} {cos (α + β) - cos (α - β)}$

これらは加法定理の式を足したり引いたりすることで導けます。たとえば $sin (α + β)$ と $sin (α - β)$ を足すと、 $2 sin α cos β$ になります。

三角関数の和や差を積に変換します。 $A = α + β$ 、 $B = α - β$ とおくと $α = \frac{A + B}{2}$ 、 $β = \frac{A - B}{2}$ となることを使います。

$sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$

$sin A - sin B = 2 cos \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$

$cos A + cos B = 2 cos \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$

$cos A - cos B = - 2 sin \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$

積和公式

$sin x cos x$ のような積の形を和に変換したいときに使います。積分 $\int sin 3 x cos 2 x d x$ などで活躍します。

和積公式

$sin 3 x + sin x = 0$ のような方程式を解くときに使います。和を積に変換すると因数分解できるようになります。

どちらの公式も、覚えるよりも加法定理から導けるようにしておくのが確実です。