三角関数の2倍角・3倍角の公式

2倍角・3倍角の公式は、角度を2倍や3倍にしたときの三角関数の値を求める公式です。加法定理で $α = β$ とおくことで導けます。

2倍角の公式

$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$

$cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 1 - 2 sin^{2} θ$

$tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ}$

$cos 2 θ$ には3つの表し方があります。 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ を使って変形しているだけなので、本質的には同じ式です。問題によって使いやすい形を選びましょう。

$sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$

$cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$

3倍角の公式は、加法定理で $sin 3 θ = sin (2 θ + θ)$ として展開し、さらに2倍角の公式を代入することで得られます。

2倍角の公式 $cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1$ と $cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$ を変形すると、半角の公式が得られます。

$sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2}$

$cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2}$

$tan^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{1 + cos θ}$

2倍角の公式の用途

$sin θ cos θ$ を $\frac{1}{2} sin 2 θ$ に変換したり、 $cos^{2} θ$ を $\frac{1 + c o s 2 θ}{2}$ に変換したりと、次数を下げるのに使います。

半角の公式の用途

積分 $\int cos^{2} x d x$ を計算するとき、 $cos^{2} x = \frac{1 + c o s 2 x}{2}$ と変形すると積分しやすくなります。

これらの公式は、加法定理を出発点としてすべてつながっています。関係を理解しておくと、忘れても導き直すことができます。