2 倍角と 3 倍角の公式は加法定理から導ける

加法定理の $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ で、$\beta$ を $\alpha$ に替えます。

右辺は $\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha$ となり、同じ項が 2 つ並ぶ。

$$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$$

$\cos$ でも同じことをすると $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$ になります。加法定理に $\beta =\alpha$ を入れれば、その場で書き直せる。

$\cos 2\theta$ の 3 つの書き方

$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$ に ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ を代入します。

${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ を入れると ${\cos }^2\theta -(1-{\cos }^2\theta )=2{\cos }^2\theta -1$。

${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ のほうを入れれば $1-2{\sin }^2\theta$ になる。

$$\begin{array}{rl}\cos 2\theta & ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta \\ & =2{\cos }^2\theta -1\\ & =1-2{\sin }^2\theta \end{array}$$

3 つとも同じ値です。違うのは、どの関数だけで書かれているか。

$\sin \theta =\frac{1}{3}$ しか分かっていない場面で ${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$ を選ぶと、$\cos \theta$ を先に求める手間が増える。

$1-2{\sin }^2\theta$ を選べば $1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$ と 1 行で終わる。3 つある意味はここにあります。

$\tan$ の 2 倍角

$\tan (\alpha +\beta )$ に $\beta =\alpha$ を入れる。

$$\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$$

分母が $0$ になる $\tan \theta =\pm 1$ のときは使えません。$\theta =45^{\circ }$ なら $2\theta =90^{\circ }$ で、$\tan$ を定義できない。

$\tan \theta =\frac{1}{2}$ なら $\frac{2\times \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3/4}=\frac{4}{3}$。

3 倍角は $2\theta +\theta$ に割る

$3\theta$ を $2\theta +\theta$ と見て、加法定理をあてます。

$$\sin 3\theta =\sin 2\theta \cos \theta +\cos 2\theta \sin \theta$$

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ と $\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ を入れる。

$2\sin \theta {\cos }^2\theta +\sin \theta -2{\sin }^3\theta$ となり、${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ でさらに $\sin$ だけにします。

$$2\sin \theta -2{\sin }^3\theta +\sin \theta -2{\sin }^3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$$

$$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta ,\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$$

係数の $3$ と $4$ がいれかわり、符号も逆になる。$\sin$ は $3,-4$、$\cos$ は $4,-3$。

$\theta =\frac{\pi }{2}$ で確かめます。左辺は $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$、右辺は $3\times 1-4\times 1=-1$ で、両辺が合う。

例 1：$\sin \theta =\frac{1}{3}$ の鋭角

$\theta$ を鋭角とします。まず $\cos \theta =\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ を求める。

$$\sin 2\theta =2\times \frac{1}{3}\times \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$$

$\cos 2\theta$ は $\sin$ だけの形を使います。

$$\cos 2\theta =1-2\times \frac{1}{9}=\frac{7}{9}$$

$\sin 3\theta$ は $3\times \frac{1}{3}-4\times \frac{1}{27}=1-\frac{4}{27}=\frac{23}{27}$。

検算します。

$${\left(\frac{4\sqrt{2}}{9}\right)}^2+{\left(\frac{7}{9}\right)}^2=\frac{32+49}{81}=1$$

$2\theta$ の $\sin$ と $\cos$ が単位円に乗っているため、値は正しい。

次数を下げる向きにも使う

$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$ を ${\cos }^2\theta$ について解きます。

$${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2},{\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$$

左辺は 2 次、右辺は 1 次。角は 2 倍になりますが、次数は下がりました。

$y={\sin }^2\theta$ のグラフもこの形で読めます。$\frac{1-\cos 2\theta }{2}$ なので、周期は $\cos 2\theta$ と同じ $\pi$。

$\frac{1}{2}$ を中心に、振れ幅 $\frac{1}{2}$ で上下する。$\sin \theta$ の周期 $2\pi$ が、2 乗すると半分になる。

3 倍角も同じ向きに使える。$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$ を ${\sin }^3\theta$ について解く。

$${\sin }^3\theta =\frac{3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}$$

3 次が 1 次の和になりました。

数値を入れて形を分ける

$\sin 2\theta$ と $2\sin \theta$ は別のものです。$\theta =30^{\circ }$ で試すと、$\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ に対して $2\sin 30^{\circ }=1$。

$2{\cos }^2\theta -1$ と $1-2{\sin }^2\theta$ は、$\theta =0$ で分けられます。$\cos 0=1$、$\sin 0=0$ を入れる。

前者は $2\times 1-1=1$、後者は $1-2\times 0=1$。どちらも $\cos 0=1$ と合います。

符号を逆にした $1-2{\cos }^2\theta$ を試すと $-1$ になり、ここで外れる。$\theta =0$ で符号の向きが分かります。

同じ角を入れれば 2 倍角、$2\theta +\theta$ に割れば 3 倍角。どちらも加法定理まで戻れば導けます。