三角関数の2倍角・3倍角の公式

2倍角・3倍角の公式は、角度を2倍や3倍にしたときの三角関数の値を求める公式です。加法定理で $\alpha =\beta$ とおくことで導けます。

2倍角の公式

$$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$$

$$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =2{\cos }^2\theta -1=1-2{\sin }^2\theta$$

$$\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$$

$\cos 2\theta$ には3つの表し方があります。${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ を使って変形しているだけなので、本質的には同じ式です。問題によって使いやすい形を選びましょう。

3倍角の公式

$$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$$

$$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$$

3倍角の公式は、加法定理で $\sin 3\theta =\sin (2\theta +\theta )$ として展開し、さらに2倍角の公式を代入することで得られます。

半角の公式

2倍角の公式 $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$ と $\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ を変形すると、半角の公式が得られます。

$${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}$$

$${\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1+\cos \theta }{2}$$

$${\tan }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }$$

これらの公式は、加法定理を出発点としてすべてつながっています。関係を理解しておくと、忘れても導き直すことができます。