三角関数のグラフと周期・振幅

三角関数のグラフを理解することは、方程式や不等式を解くうえで欠かせません。周期や振幅といった特徴を押さえておきましょう。

$y=\sin x$ のグラフ

$\sin x$ は $x=0$ で $0$、$x=\frac{\pi }{2}$ で $1$、$x=\pi$ で $0$、$x=\frac{3\pi }{2}$ で $-1$ となり、$x=2\pi$ でまた $0$ に戻ります。この波形が繰り返されるのが正弦曲線です。

$y=\cos x$ のグラフ

$\cos x$ は $x=0$ で $1$、$x=\frac{\pi }{2}$ で $0$、$x=\pi$ で $-1$ となります。$\sin x$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{\pi }{2}$ だけ左にずらした形です。

$y=\tan x$ のグラフ

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ なので、$\cos x=0$ となる $x=\frac{\pi }{2}+n\pi$ で定義されません。この点が漸近線になります。

一般形 $y=A\sin (Bx+C)+D$

グラフの変形は次のように対応します。

たとえば $y=2\sin (3x-\frac{\pi }{2})$ は、振幅 $2$、周期 $\frac{2\pi }{3}$、$x$ 軸方向に $\frac{\pi }{6}$ だけ右に移動したグラフになります。