波の高さと繰り返しの幅〜サインとコサインのグラフ

$y = sin x$ のグラフは、単位円を回る点の高さを、そのまま横へ書き出したものです。

円の上では高さが上下するだけ。横軸に角を置くと、上下の動きが波の形に伸びます^[1]。

円が一周する幅がそのまま周期、円の半径がそのまま振幅になる。

単位円をほどく

角 $x$ に対する点の座標は $(cos x, sin x)$ 。縦の値だけを追いかける。

$x = 0$ で高さ $0$ 、 $x = \frac{π}{2}$ で $1$ 、 $x = π$ で $0$ 、 $x = \frac{3 π}{2}$ で $- 1$ 。

この 4 点を通る滑らかな曲線が $y = sin x$ です。 $x = 2 π$ でまた $0$ に戻り、以後は同じ形の繰り返し。

$cos x$ は横の値を追った曲線になります。 $x = 0$ で $1$ から始まる点だけが違う。

周期は 2π

円を一周すると同じ位置に戻ります。角でいえば $2 π$ 増えたところ。

$sin (x + 2 π) = sin x, cos (x + 2 π) = cos x$

この $2 π$ を周期と呼びます^[2]。グラフは $2 π$ ごとに同じ形をくり返す。

$sin$ と $cos$ はどちらも周期 $2 π$ 。 $tan$ だけ違って、周期は $π$ になります。

$tan (x + π) = tan x$ が成り立つため。半周すると符号が両方とも反転し、比の値は変わりません^[2]。

振幅は波の高さ

$y = sin x$ の値は $- 1$ から $1$ までしか動きません。この $1$ が振幅。

$y = 3 sin x$ なら値は $- 3$ から $3$ まで。振幅が $3$ になります^[1]。

一般に $y = a sin x$ の振幅は $∣ a ∣$ 。 $a$ が負なら上下がひっくり返りますが、高さそのものは $∣ a ∣$ 。

$y = - 2 sin x$ のグラフは $y = 2 sin x$ を $x$ 軸で折り返した形。振幅はどちらも $2$ 。

振幅は縦の情報、周期は横の情報。 $y = a sin b x$ では $a$ が縦、 $b$ が横を受け持ちます。

$y = sin x$	振幅 $1$ 、周期 $2 π$
$y = 3 sin x$	振幅 $3$ 、周期 $2 π$
$y = sin 2 x$	振幅 $1$ 、周期 $π$
$y = 3 sin 2 x$	振幅 $3$ 、周期 $π$
$y = tan x$	振幅なし、周期 $π$

$y = sin b x$ の周期は $\frac{2 π}{∣ b ∣}$ です^[1]。 $b$ が大きいほど波が詰まる。

$b = 2$ なら $x$ が半分進んだところで一周ぶん動くので、周期は半分の $π$ 。

sin と cos は π/2 ずれただけ

2 つのグラフは形がまったく同じです。左右にずれているだけ。

$cos x = sin (x + \frac{π}{2})$

$sin$ のグラフを左へ $\frac{π}{2}$ 動かすと $cos$ に重なります^[2]。

単位円で見ると理由が分かります。横の座標は、 $9 0^{\circ}$ 進んだ点の縦の座標と同じになる。

だから $cos$ のグラフを別に覚える必要はありません。 $sin$ を $\frac{π}{2}$ ずらせば済む。

tan のグラフは切れている

$tan x = \frac{sin x}{cos x}$ なので、 $cos x = 0$ になる点では値がありません。

$x = \frac{π}{2}$ 、 $\frac{3 π}{2}$ などがそれ。この位置に縦の漸近線が立ちます^[2]。

グラフは $- \frac{π}{2}$ から $\frac{π}{2}$ までで $- \infty$ から $\infty$ まで駆け上がり、そこで切れて次の区間へ移る。

$sin$ や $cos$ のような上下の限界はありません。振幅という言葉も $tan$ には使わない。

周期は $π$ 。区間 1 つぶんの幅が、そのまま繰り返しの単位になっています。

偶関数と奇関数

$sin (- x) = - sin x$ 。原点を中心に $18 0^{\circ}$ 回すと自分に重なる。これが奇関数^[2]。

$cos (- x) = cos x$ で、 $y$ 軸で折り返すと重なります。こちらは偶関数。

グラフを描いたあと、この対称性で検算できます。 $sin$ が $y$ 軸対称に見えたら、どこかで描きまちがえている。

$tan (- x) = - tan x$ なので、 $tan$ も奇関数です。 $sin$ と同じ形の対称性を持つ。

sin と tan

奇関数。原点対称で、 $f (- x) = - f (x)$ が成り立つ

cos

偶関数。 $y$ 軸対称で、 $f (- x) = f (x)$ が成り立つ

グラフで解の個数を読む

$sin x = \frac{1}{2}$ の解が $0 \leq x < 2 π$ にいくつあるかを、グラフで数えます。

$y = sin x$ と横線 $y = \frac{1}{2}$ の交点を見る。山を昇るときに 1 つ、降りるときに 1 つで 2 個。

$y = 1$ なら、頂点でちょうど触れるだけなので 1 個。 $y = 1.2$ なら交点なしで 0 個。

$y = sin 2 x$ に替えると波が 2 つぶん入るので、交点は 4 個に増えます。

方程式を解く前に個数を知っておくと、解き落としに気づけます。

まちがえやすい点

$y = sin 2 x$ の周期を $4 π$ とする誤りが多い。 $b$ で割るので $\frac{2 π}{2} = π$ と縮みます。

$y = sin \frac{x}{2}$ なら $\frac{2 π}{1/2} = 4 π$ と伸びる。 $b$ が $1$ より小さいときに伸びます。

$y = 2 sin x$ と $y = sin 2 x$ の区別も曖昧になりやすい。前者は縦に伸び、後者は横に縮む。

$tan$ に振幅を当てはめる誤りもあります。値の上限がないので、振幅という量が定義できない。

$y = 4 sin 3 x$ の振幅と周期はどれですか。

振幅 $4$ 、周期 $\frac{2 π}{3}$
振幅 $3$ 、周期 $\frac{2 π}{4}$
振幅 $4$ 、周期 $6 π$

__RESULT__

$y = a sin b x$ の振幅は $∣ a ∣$ 、周期は $\frac{2 π}{∣ b ∣}$ です。 $a = 4$ 、 $b = 3$ なので振幅 $4$ 、周期 $\frac{2 π}{3}$ になります。 $6 π$ は $2 π$ に $3$ をかけた値で、割るところをかけた形です。

対称性も確かめます。

$cos (- \frac{π}{3})$ の値はどれですか。

$\frac{1}{2}$
$- \frac{1}{2}$
$- \frac{3}{2}$

__RESULT__

$cos$ は偶関数なので $cos (- x) = cos x$ です。したがって $cos (- \frac{π}{3}) = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ になります。符号が変わるのは $sin$ と $tan$ のほうで、そちらは奇関数です。

円を横にほどけばグラフになる。 $tan$ だけは切れ目が入るので、漸近線の位置を先に置いてから描きます。

出典

Graphs of the Sine and Cosine Functions. Algebra and Trigonometry 2e, OpenStax.

É. Bouchet. Trigonométrie, Cours de PCSI, Proposition 2.1 と 2.2（周期、偶奇、

tan

の漸近線）.

$y = \sin x$ のグラフは、単位円を回る点の高さを横へ書き出したものです。この見方をつかむと、円が一周する幅が周期、円の半径が振幅だと直接読める。$y = a\sin bx$ では $a$ が縦、$b$ が横を受け持ち、周期は $\dfrac{2\pi}{|b|}$ と割り算になります。$\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$ なので、$\cos$ のグラフを別に覚える必要はありません。$\tan$ に振幅がない理由、$\cos x = 0$ の位置に漸近線が立つ理由、偶関数と奇関数を検算に使う手も扱いました。