正弦定理と余弦定理、どっちを使うか迷ったら

図の値を見て、向かい合う辺と角のペアがあったら正弦定理、なかったら余弦定理、と考えてもいいかもしれない。

$$\begin{array}{rl}\frac{a}{\sin A}& =\frac{b}{\sin B}\\ & =\frac{c}{\sin C}\\ & =2R\end{array}$$

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

$R$ は外接円の半径。

向かい合う組が要るのはどちらか

正弦定理は $\frac{a}{\sin A}$ という分数を使う。この分数を 2 個つくれないと等式ができないため、向かい合う組が 2 ペア必要。

余弦定理は違います。$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ には、辺が 3 つと角が 1 つ。

だから 2 辺と挟む角、あるいは 3 辺という並びに向いています。正弦定理のほうは分数が 1 つしかつくれないので、この並びでは立式できません。

2 角が分かれば 3 つ目の角は引き算で求まる。$C=180^{\circ }-A-B$ なので、実質は 3 角と 1 辺。

例：2 角と 1 辺

$A=45^{\circ }$、$B=60^{\circ }$、$a=6$ の三角形で $b$ を求めます。

$a$ と $A$ が向かい合っていて、$B$ も分かっているので、正弦定理が使えます。

$$\frac{6}{\sin 45^{\circ }}=\frac{b}{\sin 60^{\circ }}$$

$$\begin{array}{rl}b& =6\times \frac{\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}\\ & =6\times \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{2}/2}\\ & =6\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\ & =3\sqrt{6}\end{array}$$

$3\sqrt{6}\fallingdotseq 7.35$。$B$ のほうが $A$ より大きいので $b>a$ になるはずで、実際そうなっています。

例：2 辺と挟む角

$b=3$、$c=5$、$A=60^{\circ }$ で $a$ を求めます。

向かい合う組は $a$ と $A$ だけで、その $a$ が未知。正弦定理では立式できません。

$$\begin{array}{rl}{a}^2& =3^2+5^2-2\times 3\times 5\times \cos 60^{\circ }\\ & =9+25-30\times \frac{1}{2}\\ & =19\end{array}$$

$a=\sqrt{19}\fallingdotseq 4.36$。$3$ と $5$ のあいだに収まりました。

三角形の成立条件は $2<a<8$ なので、範囲にも入っている。

例：3 辺から角を出す

$a=7$、$b=5$、$c=3$ で $A$ を求めます。角が 1 つも分かっていないので余弦定理。

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ を $\cos A$ について解くと、3 辺から角が求まる形になります。

$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

値を入れる。

$$\begin{array}{rl}\cos A& =\frac{5^2+3^2-7^2}{2\times 5\times 3}\\ & =\frac{25+9-49}{30}\\ & =\frac{-15}{30}\\ & =-\frac{1}{2}\end{array}$$

$\cos A$ が負なので $A$ は鈍角で、$A=120^{\circ }$ になる。

最も長い辺の向かいが最も大きい角になる。$a=7$ が最長なので、$A$ が鈍角なのは自然。

2 辺と対角では形が 2 つ決まることがある

$a=6$、$b=8$、$A=30^{\circ }$ とします。向かい合う組が $a$ と $A$ なので正弦定理が使える。

$\frac{6}{\sin 30^{\circ }}=\frac{8}{\sin B}$ から $\sin B=\frac{8\times 0.5}{6}=\frac{2}{3}$。

ここで $B$ が 2 つ現れます。$\sin B=\frac{2}{3}$ を満たすのは $90^{\circ }$ より小さい角と大きい角で、$\sin$ の表を引くとおよそ $41.8^{\circ }$ と $138.2^{\circ }$。

どちらも $A+B<180^{\circ }$ を満たすので、三角形が 2 つできてしまいます。

2 辺と、挟まない角が与えられた形では、こうした食い違いが起きる。両方を答えるか、追加の条件で絞る。

$\sin B>1$ なら三角形は存在しません。$\sin B=1$ なら直角三角形が 1 つ。$\sin B<1$ のときは、鈍角の候補が $A+B<180^{\circ }$ を満たすかどうかで、2 つになったり 1 つになったりします。

面積は挟む角で決まる

三角形の面積は、2 辺とその挟む角で決まる。

$$S=\frac{1}{2}ab\sin C$$

底辺 $a$、高さ $b\sin C$ と読めば、小学校で習った式そのもの。

3 辺しか分かっていないなら、ヘロンの公式が使える。$s=\frac{a+b+c}{2}$ として次の形。

$$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

$a=7$、$b=5$、$c=3$ なら $s=\frac{15}{2}$ で、$S=\sqrt{\frac{15}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{9}{2}}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$。

余弦定理で $A=120^{\circ }$ と求めたので、$\frac{1}{2}\times 5\times 3\times \sin 120^{\circ }=\frac{15}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$ で、ヘロンの公式と同じ値になりました。

まちがえやすい点

余弦定理で、辺と角の対応をずらす誤りが多い。$a^2$ の式に現れる角は、$a$ の向かいの $A$。

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ のように、添字を 1 つずつずらして書く。

正弦定理を $\frac{\sin A}{a}$ の向きで書くこともありますが、比の値が逆数になるだけで内容は同じ。

ただし $2R$ と等しくなるのは $\frac{a}{\sin A}$ のほう。逆向きに書いたら $\frac{1}{2R}$ になる。

$\sin$ から角を求めるときに、鈍角の候補を落とす誤りもよく起きます。$\sin$ は $0^{\circ }$ と $180^{\circ }$ のあいだで同じ値を 2 回とるので、候補は 2 つになる。

使い分けのほうも確かめます。

向かい合うペアが 2 つあれば正弦定理、なければ余弦定理。ただし 2 辺と対角のときは、正弦定理を使ったあとに候補が 2 つ残ることがあります。