正弦定理と余弦定理は、三角形の辺と角の関係を表す定理です。どちらを使うかは、与えられた情報によって決まります。
正弦定理
三角形 の外接円の半径を とすると、次が成り立ちます。
ここで , , は角 , , の対辺の長さです。
正弦定理は「角と対辺の比が一定」であることを示しています。外接円の直径 に等しいというのがポイントです。
余弦定理
余弦定理は三平方の定理の一般化です。 のとき となり、 という見慣れた形になります。
使い分けの基準
正弦定理を使う場面
角と対辺のペアが関係する問題で使います。たとえば「2角と1辺がわかっているとき」や「外接円の半径を求めるとき」です。
余弦定理を使う場面
3辺の長さや、2辺とその間の角がわかっているときに使います。辺の長さを直接求めたいときや、角度を求めるときに便利です。
具体例
三角形で , , のとき、 を求めます。2辺とその間の角がわかっているので余弦定理を使います。
したがって です。
次に、, , のとき、 を求めます。角と対辺の関係なので正弦定理を使います。
、 より、 となります。
