三角方程式の解き方

三角方程式とは、$\sin x=\frac{1}{2}$ や $\cos 2x=\cos x$ のように三角関数を含む方程式のことです。単位円やグラフを使って解の範囲を考えることがポイントになります。

基本形の解き方

$\sin x=a$（$|a|\le 1$）の形の方程式を考えます。$\sin x=\frac{1}{2}$ を $0\le x<2\pi$ の範囲で解いてみましょう。

単位円上で $y$ 座標が $\frac{1}{2}$ となる点を探すと、$x=\frac{\pi }{6}$ と $x=\frac{5\pi }{6}$ の2つが見つかります。

一般解は周期性を考慮して

$$x=\frac{\pi }{6}+2n\pi ,x=\frac{5\pi }{6}+2n\pi (n\text{は整数})$$

となります。

置き換えを使う方法

$\cos 2x=\cos x$ のような方程式では、2倍角の公式を使って次数を揃えます。

$$2{\cos }^{2}x-1=\cos x$$

$\cos x=t$ とおくと $2t^2-t-1=0$ となり、因数分解して $(2t+1)(t-1)=0$、つまり $t=-\frac{1}{2}$ または $t=1$ です。

$\cos x=-\frac{1}{2}$ より $x=\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$、$\cos x=1$ より $x=0$ が得られます。

因数分解を使う方法

$\sin x\cos x=0$ のような積の形は、それぞれが $0$ になる場合を考えます。$\sin x=0$ または $\cos x=0$ なので、$x=0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}$（$0\le x<2\pi$ の範囲）です。