θ の範囲を最後まで見る - 三角方程式の解き方

$\sin \theta =\frac{1}{2}$ の解は $30^{\circ }$ だけではありません。$0\le \theta <2\pi$ なら $\frac{\pi }{6}$ と $\frac{5}{6}\pi$ の 2 つです。

範囲を外すと無限個になります。$\frac{\pi }{6}+2n\pi$ と $\frac{5}{6}\pi +2n\pi$ が、すべて解になる。

三角方程式でいちばん多い失点は、計算まちがいではなく解の拾い落としです^[1]。

単位円に横線を引く

$\sin \theta =\frac{1}{2}$ は「縦の座標が $\frac{1}{2}$ になる点はどこか」という問いです。

単位円に $y=\frac{1}{2}$ の横線を引きます。円と交わる点が 2 つ出る。

右上の点が $\frac{\pi }{6}$、左上の点が $\frac{5}{6}\pi$ です。$y$ 軸について対称な位置にあります。

$\cos$ なら縦線を引きます。$\cos \theta =k$ は「横の座標が $k$ になる点」なので、$x$ 軸対称の 2 点が出る。

対称の軸が違うところが要です。$\sin$ は $y$ 軸で折り返し、$\cos$ は $x$ 軸で折り返します。

範囲がなければ一般解で答える

範囲の指定がない場合は、$n$ を整数として次の形にまとめます^[1]。

$\cos$ が $\pm$ ひとつで書けるのは、$x$ 軸対称の 2 点が $\alpha$ と $-\alpha$ だからです。

$\tan$ の周期は $\pi$ なので、$2n\pi$ ではなく $n\pi$ になります。半周ごとに同じ値をとる。

例：cosθ = -√3/2

$0\le \theta <2\pi$ とします。$\cos$ が負なので、解は第 2 象限と第 3 象限。

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\alpha$ は $\frac{\pi }{6}$ です。これを基準にします。

第 2 象限の解は $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5}{6}\pi$、第 3 象限は $\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{7}{6}\pi$。

$\theta =\frac{5}{6}\pi ,\frac{7}{6}\pi$ です。$x$ 軸について対称な位置にあります。

負の値でも、まず絶対値で基準の角を出してから符号で象限を決める。手順は変わりません。

例：tanθ = 1

$\tan$ は周期が $\pi$ なので、$0\le \theta <2\pi$ には解が 2 つ入ります。

$\tan \frac{\pi }{4}=1$ が基準です。もう 1 つは $\frac{\pi }{4}+\pi =\frac{5}{4}\pi$。

$\sin$ や $\cos$ と違い、$\tan$ の 2 解は原点対称の位置にあります。$180^{\circ }$ 離れている。

$\tan \theta =k$ は、$k$ がどんな実数でも必ず解を持ちます。$\tan$ の値域に上限も下限もないため。

$\sin \theta =2$ が解なしになるのとは対照的です。

2θ が入るときは範囲を先に伸ばす

$\sin 2\theta =\frac{1}{2}$ を $0\le \theta <2\pi$ で解きます。

いきなり $\theta$ を求めにいくと落とします。まず $2\theta$ の範囲を書き出す。

$0\le \theta <2\pi$ の両辺を 2 倍して $0\le 2\theta <4\pi$。範囲が倍に伸びました。

この範囲で $\sin (2\theta )=\frac{1}{2}$ となる $2\theta$ は 4 つあります。$\frac{\pi }{6}$、$\frac{5}{6}\pi$、$\frac{13}{6}\pi$、$\frac{17}{6}\pi$。

後ろ 2 つは、前 2 つに $2\pi$ を足したものです。範囲が $4\pi$ まであるので入ってきます^[2]。

最後に 2 で割ります。$\theta =\frac{\pi }{12},\frac{5}{12}\pi ,\frac{13}{12}\pi ,\frac{17}{12}\pi$。

解が 4 つになりました。$\theta$ の範囲のまま考えると、はじめの 2 つしか見つかりません^[1]。

2 次式になる形

$2{\sin }^2\theta -\sin \theta -1=0$ を $0\le \theta <2\pi$ で解きます。

$\sin \theta$ をひとかたまりと見れば、ただの 2 次方程式です^[1]。

因数分解して $(2\sin \theta +1)(\sin \theta -1)=0$。

$\sin \theta =-\frac{1}{2}$ または $\sin \theta =1$ に分かれます。

前者からは $\theta =\frac{7}{6}\pi ,\frac{11}{6}\pi$、後者からは $\theta =\frac{\pi }{2}$。

合わせて 3 つです。$\sin \theta =1$ のように端の値だと、解が 1 つしか出ない点も見どころ。

$\sin$ と $\cos$ が混ざっている場合は、${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ でどちらかにそろえてから因数分解します。

合成してから解く

$\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =1$ を $0\le \theta <2\pi$ で解きます。2 つの関数が混ざったままでは進みません。

合成すると $2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=1$、つまり $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$。

ここでも範囲を先に動かします。$\frac{\pi }{3}\le \theta +\frac{\pi }{3}<2\pi +\frac{\pi }{3}$。

この範囲で $\sin$ が $\frac{1}{2}$ になるのは $\frac{5}{6}\pi$ と $\frac{13}{6}\pi$ です。$\frac{\pi }{6}$ は範囲の手前で外れます。

$\frac{\pi }{3}$ を引いて $\theta =\frac{\pi }{2},\frac{11}{6}\pi$。

検算します。$\theta =\frac{\pi }{2}$ なら $1+\sqrt{3}\times 0=1$。$\theta =\frac{11}{6}\pi$ なら $-\frac{1}{2}+\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=1$。

まちがえやすい点

いちばん多いのは、解を 1 つで止めることです。$\sin \theta =\frac{1}{2}$ の答えを $\frac{\pi }{6}$ だけにしてしまう形。

単位円を描けば交点が 2 つ見えます。式だけで進めると、この 2 つ目が視界から消えます。

$2\theta$ や $\theta +\frac{\pi }{3}$ が入る問題で、範囲を動かし忘れる誤りも同じくらい多い。

範囲を動かすのは、置きかえた文字のほうです。$2\theta =t$ と置くなら、$t$ の範囲を書いてから解きます。

両辺を $\sin \theta$ で割る操作も危ない。$\sin \theta =0$ の場合を捨ててしまいます。移項して因数分解します。

因数分解の形も確かめます。

単位円で交点を数え、置きかえたら範囲も置きかえる。三角方程式はこの 2 つで守れます。

参考