三角不等式の解法

三角不等式とは、 $sin x > \frac{1}{2}$ や $cos x \leq 0$ のように三角関数を含む不等式のことです。グラフや単位円を使って、条件を満たす角度の範囲を求めます。

基本形の解き方

$sin x > \frac{1}{2}$ を $0 \leq x < 2 π$ の範囲で解いてみます。

まず等号が成り立つ点を求めると、 $sin x = \frac{1}{2}$ より $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$ です。

単位円で考えると、 $sin x > \frac{1}{2}$ は $y$ 座標が $\frac{1}{2}$ より大きい部分に対応します。これは $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ の範囲です。

$y = sin x$ のグラフで考えても同じ結果が得られます。 $y = \frac{1}{2}$ の直線より上にある部分が解です。

$cos x \leq 0$ を解いてみましょう。 $cos x = 0$ となるのは $x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$ です。

単位円で $cos x \leq 0$ は $x$ 座標が $0$ 以下の部分、つまり左半分に対応します。よって $\frac{π}{2} \leq x \leq \frac{3 π}{2}$ が解です。

$tan x > 1$ を $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ の範囲で解きます。 $tan x = 1$ となるのは $x = \frac{π}{4}$ です。

$tan x$ は $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ で単調増加なので、 $tan x > 1$ となるのは $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ です。

単位円とグラフの使い分け

単純な不等式は単位円で視覚的に解くのが早いです。複雑な式や周期を変えた関数は、グラフを描いて交点を見つける方法が確実です。

端点の処理

不等号が $\leq$ や $\geq$ のときは端点を含み、 $<$ や $>$ のときは含みません。答えを書くときに注意しましょう。

$sin x + cos x > 1$ のような不等式は、三角関数の合成を使って $2 sin (x + \frac{π}{4}) > 1$ と変形してから解きます。