三角不等式は単位円のどこを塗るか？向きが変わる場所

$\sin \theta >\frac{1}{2}$ の答えは、点ではなく区間です。$0\le \theta <2\pi$ なら $\frac{\pi }{6}<\theta <\frac{5}{6}\pi$。

方程式の解が境目になり、そのあいだが答えになります。境目を出したら、次はどちら側かを決める。

単位円で見ると、答えは円周の一部の弧です。塗られた弧に対応する角の範囲を読む^[1]。

境目は等号の解

まず $\sin \theta =\frac{1}{2}$ を解きます。$\theta =\frac{\pi }{6}$ と $\frac{5}{6}\pi$。

この 2 点が円周を 2 つの弧に分けます。上側の弧と下側の弧です。

$\sin \theta$ は縦の座標なので、$\frac{1}{2}$ より大きいのは上側。$y=\frac{1}{2}$ の横線より上の部分です。

上側の弧は $\frac{\pi }{6}$ から $\frac{5}{6}\pi$ までなので、答えは $\frac{\pi }{6}<\theta <\frac{5}{6}\pi$。

不等号に等号が付いていないので、境目そのものは含みません。$\ge$ なら両端も入ります。

例：cosθ ≤ -1/2

$0\le \theta <2\pi$ とします。$\cos$ は横の座標なので、今度は縦線で切ります。

境目は $\cos \theta =-\frac{1}{2}$ の解、つまり $\theta =\frac{2}{3}\pi$ と $\frac{4}{3}\pi$。

$x=-\frac{1}{2}$ の縦線より左側が $\cos \theta \le -\frac{1}{2}$ の部分です。

左側の弧は $\frac{2}{3}\pi$ から $\frac{4}{3}\pi$。等号が付いているので両端も含めます。

$$\frac{2}{3}\pi \le \theta \le \frac{4}{3}\pi$$

$\sin$ は横線、$\cos$ は縦線。どちらで切るかを最初に決めると、あとは弧を読むだけです。

tan の不等式は漸近線で切れる

$\tan \theta \ge 1$ を $0\le \theta <2\pi$ で解きます。$\tan$ は周期 $\pi$ なので区間が 2 つ出ます。

境目は $\tan \theta =1$ の解で $\frac{\pi }{4}$ と $\frac{5}{4}\pi$。

$\tan$ は各区間で増え続け、$\frac{\pi }{2}$ の手前で限りなく大きくなります。

だから $\frac{\pi }{4}$ から $\frac{\pi }{2}$ の手前までが答えの 1 つ目。$\frac{\pi }{2}$ 自体は $\tan$ が定義されず、含みません。

$$\frac{\pi }{4}\le \theta <\frac{\pi }{2},\frac{5}{4}\pi \le \theta <\frac{3}{2}\pi$$

$\frac{\pi }{2}$ を越えると $\tan$ は大きな負の値に飛びます^[2]。連続していないので、区間をまたげません。

2θ が入るときも範囲を伸ばす

$\sin 2\theta >\frac{\sqrt{3}}{2}$ を $0\le \theta <2\pi$ で解きます。

まず $0\le 2\theta <4\pi$ と範囲を伸ばします。$2$ 周ぶんになりました。

$\sin t>\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $\frac{\pi }{3}<t<\frac{2}{3}\pi$、およびそこに $2\pi$ を足した区間。

$\frac{\pi }{3}<2\theta <\frac{2}{3}\pi$ と $\frac{7}{3}\pi <2\theta <\frac{8}{3}\pi$ の 2 つが範囲に入ります。

$2$ で割って $\frac{\pi }{6}<\theta <\frac{\pi }{3}$ と $\frac{7}{6}\pi <\theta <\frac{4}{3}\pi$。

区間が 2 つに増えました。範囲を伸ばさないと、後ろの区間がまるごと消えます。

2 次不等式になる形

$2{\sin }^2\theta -\sin \theta -1<0$ を $0\le \theta <2\pi$ で解きます。

因数分解すると $(2\sin \theta +1)(\sin \theta -1)<0$。

ここで $\sin \theta -1$ はつねに $0$ 以下です。$\sin$ の最大が $1$ なので、正になりません。

積が負になるには、$\sin \theta -1$ が負で $2\sin \theta +1$ が正である必要があります。

$\sin \theta -1<0$ は $\theta \ne \frac{\pi }{2}$ ということ。$2\sin \theta +1>0$ は $\sin \theta >-\frac{1}{2}$ です。

$\sin \theta >-\frac{1}{2}$ を解くと $0\le \theta <\frac{7}{6}\pi$ または $\frac{11}{6}\pi <\theta <2\pi$。

ここから $\theta =\frac{\pi }{2}$ を除きます。答えは $0\le \theta <\frac{\pi }{2}$、$\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{7}{6}\pi$、$\frac{11}{6}\pi <\theta <2\pi$。

因子の一方が符号を変えられない形では、こうした穴あきの答えになります。

合成してから解く

$\sin \theta +\cos \theta >1$ を $0\le \theta <2\pi$ で解きます。

合成すると $\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)>1$、つまり $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)>\frac{\sqrt{2}}{2}$。

範囲を動かします。$\frac{\pi }{4}\le \theta +\frac{\pi }{4}<2\pi +\frac{\pi }{4}$。

$\sin t>\frac{\sqrt{2}}{2}$ は $\frac{\pi }{4}<t<\frac{3}{4}\pi$ です。範囲の左端がちょうど $\frac{\pi }{4}$ なので、そこは含みません。

$\frac{\pi }{4}$ を引くと $0<\theta <\frac{\pi }{2}$。

検算します。$\theta =\frac{\pi }{4}$ なら $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}>1$。$\theta =0$ なら $0+1=1$ で、等号なので範囲の外。

まちがえやすい点

不等号の向きを、境目の角の大小と混同する誤りが多い。$\sin \theta >k$ の答えが $\theta >\alpha$ とは限りません。

$\sin$ は $\frac{\pi }{2}$ を過ぎると減るので、大きい角ほど値が大きいわけではない。弧で考えれば迷いません。

$\cos \theta >k$ の答えが 2 つの区間に分かれることも見落としやすい。$0$ をまたぐためです。

$0\le \theta <2\pi$ で $\cos \theta >\frac{1}{2}$ なら $0\le \theta <\frac{\pi }{3}$ と $\frac{5}{3}\pi <\theta <2\pi$ の 2 つ。

両辺を $\cos \theta$ で割る操作も危険です。$\cos \theta$ の符号が分からないので、不等号の向きが決まりません。

$\cos$ の場合も確かめます。

境目を出し、弧のどちら側かを決め、置きかえたら範囲も置きかえる。三角不等式はこの順で解けます。

参考文献