逆三角関数（arcsin, arccos, arctan）の基礎

逆三角関数は、三角関数の逆関数です。たとえば $\sin x=\frac{1}{2}$ を満たす $x$ を求める操作が $\arcsin \frac{1}{2}$ に対応します。

三角関数はそのままでは逆関数をもちません。周期関数なので、1つの $y$ の値に対して $x$ が無数にあるからです。定義域を制限することで、逆関数を定義できるようになります。

$\arcsin$（アークサイン）

$\sin x$ の定義域を $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$ に制限すると、この範囲で $\sin$ は単調増加になり、逆関数が定義できます。

$$y=\arcsin x⟺x=\sin y\left(-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}\right)$$

$\arccos$（アークコサイン）

$\cos x$ の定義域を $0\le x\le \pi$ に制限します。

$$y=\arccos x⟺x=\cos y(0\le y\le \pi )$$

$\arctan$（アークタンジェント）

$\tan x$ の定義域を $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$ に制限します。

$$y=\arctan x⟺x=\tan y\left(-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}\right)$$

逆三角関数の関係

$\arcsin$ と $\arccos$ には次の関係があります。

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$$

これは、$\sin \theta =\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$ という関係から導かれます。

逆三角関数は微分積分でも登場します。たとえば $\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$ は重要な公式です。