arcsin と arccos と arctan の入口 - 角度を答えにする関数

$sin θ = \frac{1}{2}$ を $θ = \dots$ の形に書き直したい。そう思って作られたのが逆三角関数です。

書き方は $θ = arcsin \frac{1}{2}$ 。値は $\frac{π}{6}$ です。

ところが $sin θ = \frac{1}{2}$ の解は $\frac{π}{6}$ だけではありません。 $\frac{5}{6} π$ も、 $\frac{13}{6} π$ も解です。

無限にある解のうち 1 つだけを選ぶ。その選び方を決めるところが、逆三角関数のいちばんの中身になります。

関数にするには 1 つに絞るしかない

関数は、入れた値 1 つに対して出る値が 1 つでなければなりません。

$sin$ のグラフに横線を引くと、交点が無限に並びます。逆向きに読むと、答えが定まらない。

そこで $sin$ の定義域を狭めます。1 回だけ上がって 1 回だけ下がる、その一部分だけを使う。

選ばれたのは $- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}$ の区間です^[1]。ここでは $sin$ は $- 1$ から $1$ まで単調に増えます。

横線と 1 回しか交わらないので、逆向きに読んでも答えが 1 つに決まる。この値を主値と呼びます。

3 つの値域

切る区間は関数ごとに違います。単調になり、値をすべてカバーする区間が選ばれます^[1]。

関数	入れられる値	出てくる角
$arcsin x$	$- 1 \leq x \leq 1$	$- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$
$arccos x$	$- 1 \leq x \leq 1$	$0 \leq θ \leq π$
$arctan x$	すべての実数	$- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$

$arccos$ だけ $0$ から $π$ です。 $cos$ はこの区間で $1$ から $- 1$ へ単調に減ります。

$- \frac{π}{2}$ から $\frac{π}{2}$ で切ると、 $cos$ は $0$ を中心に対称になり単調にならない。だから区間をずらしています。

$arctan$ の両端は $<$ です。 $tan$ が $\pm \frac{π}{2}$ で定義されないので、端点が入りません。

$arcsin x$ と $arccos x$ には、足すと $\frac{π}{2}$ になるという関係があります。

$arcsin x + arccos x = \frac{π}{2}$

$θ = arcsin x$ と置くと $cos (\frac{π}{2} - θ) = sin θ = x$ です。 $\frac{π}{2} - θ$ は $0$ から $π$ に収まるので、これが $arccos x$ 。

例：値を求める

$arcsin \frac{3}{2}$ を求めます。 $sin$ が $\frac{3}{2}$ になる角のうち、 $- \frac{π}{2}$ から $\frac{π}{2}$ にあるもの。

候補は $\frac{π}{3}$ と $\frac{2}{3} π$ ですが、後者は区間の外です。答えは $\frac{π}{3}$ 。

$arccos (- \frac{1}{2})$ はどうでしょう。 $cos$ が $- \frac{1}{2}$ になるのは $\frac{2}{3} π$ と $\frac{4}{3} π$ 。

$0$ から $π$ に入るのは $\frac{2}{3} π$ です。負の値を入れても、出てくる角は正になります。

$arctan (- 3)$ は $- \frac{π}{3}$ です。 $arctan$ は奇関数なので、負の値には負の角が返ります。

$arcsin \frac{1}{2}$	$\frac{π}{6}$
$arcsin (- 1)$	$- \frac{π}{2}$
$arccos 0$	$\frac{π}{2}$
$arccos (- 1)$	$π$
$arctan 1$	$\frac{π}{4}$
$arctan 0$	$0$

戻ってこないことがある

$arcsin (sin x)$ は、いつでも $x$ に戻るわけではありません。

$x = \frac{π}{6}$ なら $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ 、 $arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$ で戻ります。

$x = \frac{5}{6} π$ では違います。 $sin \frac{5}{6} π = \frac{1}{2}$ ですが、 $arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$ 。

$\frac{5}{6} π$ は $arcsin$ の値域の外なので、戻ってこられません^[1]。

戻るのは $x$ が $- \frac{π}{2}$ から $\frac{π}{2}$ にあるときだけ。それ以外では、値域の中の相棒に化けます。

逆の順序ならいつでも戻ります。 $sin (arcsin x) = x$ は $- 1 \leq x \leq 1$ でつねに成り立つ。

組み合わせた式を計算する

$sin (arccos x)$ を $x$ の式で書きます。 $θ = arccos x$ と置くと $cos θ = x$ です。

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ から $sin θ = \pm 1 - x^{2}$ 。

$arccos$ の値域は $0$ から $π$ で、この範囲では $sin$ が $0$ 以上です。符号は正に決まる。

$sin (arccos x) = 1 - x^{2}$

値域が決まっていると、 $\pm$ が自動的に片づきます。これが主値を決めておく利点です^[1]。

$cos (arcsin x)$ も同じ形になります。 $arcsin$ の値域では $cos$ が $0$ 以上なので $1 - x^{2}$ 。

電卓の sin⁻¹ ボタン

関数電卓には $sin^{- 1}$ と書かれたボタンがあります。これが $arcsin$ です。

$sin^{- 1} x$ は $\frac{1}{sin x}$ ではありません。指数の $- 1$ とは意味が違います。

$0.5$ を入れて $sin^{- 1}$ を押すと $30$ と出る。度の表示なら $3 0^{\circ}$ 、ラジアン表示なら $0.5236$ です。

電卓が返すのも主値だけ。 $15 0^{\circ}$ は出てきません。ほかの解が要るなら、自分で足します。

sin^{- 1} x

$arcsin x$ のこと。 $sin$ の逆をたどって角を返す

(sin x)^{- 1}

$\frac{1}{sin x}$ のこと。まったく別の値になる

まちがえやすい点

$arcsin$ の値域を $0$ から $π$ とする誤りが多い。それは $arccos$ のほうです。

$arcsin$ は $- \frac{π}{2}$ から $\frac{π}{2}$ 。負の値を入れたら負の角が返る、と覚えるととり違えません。

$arccos$ に負の値を入れると、返る角は鈍角になります。負の角にはなりません。

$arcsin (sin x) = x$ をいつでも成り立つと思い込む誤りも起きます。 $x$ が値域の中にあるときだけです。

$arcsin 2$ のように $- 1$ から $1$ の外を入れると、答えがありません。 $sin$ が $2$ になる角は存在しないため。

$arccos (- \frac{2}{2})$ の値はどれですか。

$\frac{3}{4} π$
$- \frac{π}{4}$
$\frac{5}{4} π$

__RESULT__

$arccos$ の値域は $0 \leq θ \leq π$ です。 $cos θ = - \frac{2}{2}$ を満たす角のうちこの範囲にあるのは $\frac{3}{4} π$ になります。 $- \frac{π}{4}$ は $cos$ が正なので当てはまらず、 $\frac{5}{4} π$ は値域を越えています。

合成の形も確かめます。

$arcsin (sin \frac{7}{6} π)$ の値はどれですか。

$\frac{7}{6} π$
$- \frac{π}{6}$
$\frac{π}{6}$

__RESULT__

$sin \frac{7}{6} π = - \frac{1}{2}$ です。 $arcsin (- \frac{1}{2})$ は値域 $- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$ の中から選ぶので $- \frac{π}{6}$ になります。 $\frac{7}{6} π$ は値域の外なので、そのままでは戻ってきません。

解が無限にあるところから 1 つを選ぶ。逆三角関数の中身は、その選び方の約束ごとです。

出典

Inverse Trigonometric Functions. Algebra and Trigonometry 2e, OpenStax（値域の切り方、合成の扱い、

sin (arccos x)

）.

$\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ を $\theta = \cdots$ の形に書きたい、という動機から作られた関数です。ただし解は $\dfrac{\pi}{6}$ のほかにも無限にある。そこで定義域を切って 1 つだけ選びます。$\arcsin$ は $-\dfrac{\pi}{2}$ から $\dfrac{\pi}{2}$、$\arccos$ だけ $0$ から $\pi$ になる理由は、$\cos$ がその区間でしか単調にならないため。$\arcsin\left(\sin\dfrac{5}{6}\pi\right)$ が $\dfrac{5}{6}\pi$ に戻らない仕組みと、値域が決まっていると $\sin(\arccos x) = \sqrt{1-x^2}$ の符号が自動で片づく話まで。