直角三角形から単位円へ、三角関数が 90 度を超える仕組み

$\sin 120^{\circ }$ を直角三角形では作れません。内角の和が $180^{\circ }$ で、直角がすでに $90^{\circ }$ を使っているためです。

残りの 2 つは足して $90^{\circ }$。どうがんばっても、$90^{\circ }$ 以上の角は三角形の中に置けません。

そこで舞台を円に移します。半径 $1$ の円の上に点をとり、その座標を値と定める^[1]。

$$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$$

角に上限がなくなりました。$120^{\circ }$ でも $300^{\circ }$ でも、$-45^{\circ }$ でも点は置けます。

直角三角形の定義がどこで詰まるか

直角三角形では $\sin \theta =\frac{\text{高さ}}{\text{斜辺}}$ でした。長さの比なので、値はつねに正です。

$\sin 210^{\circ }$ が負になる、といった話はここから出てきません。負の長さがないためです。

$\theta =0$ も扱えません。三角形がつぶれてしまいます。

つまり直角三角形の定義は、$0^{\circ }$ より大きく $90^{\circ }$ より小さい角にしか使えない。狭すぎます。

角度を制限なく扱いたいなら、長さの比ではなく座標を使う。それが単位円の発想です。

半径を 1 にすると割り算が消える

一般の円で考えると、点 $\mathrm{P}(x,y)$ に対して $\sin \theta =\frac{y}{r}$、$\cos \theta =\frac{x}{r}$ です。

$r=1$ とすれば分母が消えます。$\sin \theta =y$、$\cos \theta =x$ と、座標そのものが値になる。

半径を $1$ に選ぶ理由はこれだけです。計算を軽くするための約束であって、深い意味はありません。

鋭角のときは、もとの直角三角形の定義とちゃんと一致します。斜辺が $1$ の直角三角形になるため。

$\theta =30^{\circ }$ なら $\mathrm{P}\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$。$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ で、習った値と同じです。

符号は座標の符号

$\sin 120^{\circ }$ を求めます。$120^{\circ }$ の点は第 2 象限、つまり左上にあります。

左上では $x$ が負で $y$ が正。だから $\cos 120^{\circ }$ が負、$\sin 120^{\circ }$ が正です。

値そのものは $\mathrm{P}\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ なので、$\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$。

符号を覚える表もありますが、点がどこにあるかを思い浮かべれば毎回作れます。

$\tan$ の符号は $\frac{y}{x}$ なので、$x$ と $y$ が同符号の第 1・第 3 象限で正になります。

1 周すると戻る

$\theta$ に $360^{\circ }$ を足しても、点は同じ場所に戻ります。円を一周したため。

$$\sin (\theta +360^{\circ })=\sin \theta ,\cos (\theta +360^{\circ })=\cos \theta$$

これが周期の正体です^[2]。角がいくら大きくなっても、値は $360^{\circ }$ ごとにくり返す。

$\sin 750^{\circ }$ なら $750=360\times 2+30$ なので $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$。2 周してから $30^{\circ }$ 進んだ位置です。

負の角も同じ理屈で扱えます。$-45^{\circ }$ は時計回りに $45^{\circ }$ 回った点、つまり右下。

$\sin (-45^{\circ })=-\frac{\sqrt{2}}{2}$、$\cos (-45^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。$y$ だけ符号が変わりました。

tan は右端の縦線で読む

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ ですが、円の上に直接見る方法もあります。

$x=1$ の縦線を引きます。原点と $\mathrm{P}$ を通る直線が、この縦線と交わる点の $y$ 座標が $\tan \theta$ です^[1]。

理由は相似です。原点から $\mathrm{P}$ までの横の伸びが $\cos \theta$、縦が $\sin \theta$。

横を $1$ まで伸ばすと $\frac{1}{\cos \theta }$ 倍になるので、縦は $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ になります。

$\theta$ が $90^{\circ }$ に近づくと直線がほぼ縦になり、交点は上へ飛んでいく。$\tan$ が発散する様子がそのまま見えます。

有名角の座標

覚える価値があるのは、第 1 象限の 3 つだけです。あとは符号を変えれば作れます。

$150^{\circ }$ は $30^{\circ }$ を $y$ 軸で折り返した位置なので $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$。

$210^{\circ }$ は原点対称に移した位置で $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)$ です。

$330^{\circ }$ は $x$ 軸で折り返して $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)$。

3 つの座標と 3 通りの折り返しで、$30^{\circ }$ 刻みの角がすべて出そろいます。

半径が 1 でない円でも同じ

半径 $r$ の円上の点 $\mathrm{P}(x,y)$ なら、$\sin \theta =\frac{y}{r}$、$\cos \theta =\frac{x}{r}$ です。

角が同じなら比も同じ。円を拡大しても縮小しても、$\sin$ と $\cos$ の値は変わりません。

$r=5$ で $\mathrm{P}(3,4)$ なら $\sin \theta =\frac{4}{5}$、$\cos \theta =\frac{3}{5}$。

この形は、座標が分かっていて角が分からない問題でよく出ます。$r=\sqrt{x^2+y^2}$ を先に出す。

$\mathrm{P}(-1,\sqrt{3})$ なら $r=\sqrt{1+3}=2$ で、$\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\cos \theta =-\frac{1}{2}$。$\theta =120^{\circ }$ と分かります。

まちがえやすい点

$x$ と $y$ を逆にする誤りが最も多い。座標は $(\cos \theta ,\sin \theta )$ の順で、横が $\cos$ です。

アルファベット順で $\cos$ が先、と覚えると入れ替えません。$\sin$ は縦、上下の高さ。

角を反時計回りに測る約束も忘れやすい。時計回りは負の角になります。

$\sin \theta$ の値が $1$ を超えることはありません。円の半径が $1$ なので、座標も $-1$ から $1$ の範囲。

$\tan$ だけは制限がありません。$x$ で割るので、$x$ が $0$ に近づくといくらでも大きくなります。

半径が $1$ でない場合も確かめます。

長さの比を座標に置き換える。それだけで、角の制限も符号の問題も消えます。

参考文献