三角関数と単位円の関係

単位円とは、原点を中心とする半径 $1$ の円のことです。三角関数の定義はこの単位円と深く結びついています。

単位円上の点と三角関数

単位円上の点 $P$ を、正の $x$ 軸からの角度 $\theta$ で表します。このとき点 $P$ の座標は $(\cos \theta ,\sin \theta )$ になります。

$$P=(\cos \theta ,\sin \theta )$$

つまり $\cos \theta$ は点 $P$ の $x$ 座標、$\sin \theta$ は $y$ 座標です。この定義により、$\theta$ が $90°$ を超えても三角関数を定義できます。

三角関数の符号

単位円を4つの象限に分けると、各象限での三角関数の符号がわかります。

$\sin$ は $y$ 座標なので上半分で正、$\cos$ は $x$ 座標なので右半分で正です。$\tan =\frac{\sin }{\cos }$ なので、両方が同符号の第1・第3象限で正になります。

単位円と三平方の定理

点 $P(\cos \theta ,\sin \theta )$ は半径 $1$ の円上にあるので、原点からの距離は $1$ です。これを式にすると

$${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$$

となり、三角関数の基本公式が得られます。

$\tan \theta$ の図形的意味

原点から角度 $\theta$ の方向に伸ばした半直線と、直線 $x=1$ との交点を $T$ とします。このとき $T$ の $y$ 座標が $\tan \theta$ です。

$$T=(1,\tan \theta )$$

$\theta$ が $\frac{\pi }{2}$ に近づくと、交点 $T$ は限りなく上に移動し、$\tan \theta$ は無限大に発散します。これが $\tan$ の漸近線の意味です。