1の3乗根とオメガの公式（ω²+ω+1=0）｜複素数

$1$ の $3$ 乗根とは、その数を $3$ 乗すると $1$ になるような数で、高校数学では $\omega$（オメガ）で表す。$1$ の $3$ 乗根は次の三つ。

$$1,\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$$

一般的に $1$ の $n$ 乗根は $n$ 個存在する。

証明

$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ の $3$ 乗が $1$ であることを確かめよう。

$$\begin{gathered} {\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)}^3 \\ =\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right) \\ =\left(\frac{-2-2\sqrt{3}i}{4}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right) \\ =\left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right) \\ =\left(\frac{4}{4}\right) \\ =1 \end{gathered}$$

ちょっとしたポイント

上の途中式からわかるように $\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ の $2$ 乗は $\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ になります。実は $\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ の $2$ 乗も $\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ になります。

$$\begin{gathered} {\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)}^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \\ {\left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)}^2=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \end{gathered}$$

したがって $1$ の $3$ 乗根のうち $1$ 以外の複素数を $\omega$ とすると、 $1$ の $3$ 乗根は $1,\omega ,{\omega }^2$ となります。

$1$ の $3$ 乗根に関する公式

$1$ の $3$ 乗根のうち $1$ 以外の複素数を $\omega$ とします。

①　$1$ の $3$ 乗根は $1,\omega ,{\omega }^2$
②　${\omega }^3=1$
③　${\omega }^2+\omega +1=0$

三番目の公式は二番目の公式から導くことができます。

$$\begin{gathered} {\omega }^3=1 \\ {\omega }^3-1=0 \\ (\omega -1)({\omega }^2+\omega +1)=0 \\ {\omega }^2+\omega +1=0(\omega \ne 1) \end{gathered}$$