3 乗して 1 になる数は 3 つある〜1 の 3 乗根 ω と次数下げ

$x^3=1$ を、移項して因数分解します。

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0$$

$x=1$ か、$x^2+x+1=0$ か。あとのほうを解の公式にかけると、判別式が $1-4=-3$ で虚数解が 2 つ。

$$x=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$$

実数の範囲では $1$ しかありませんが、複素数まで広げると解は 3 つそろいます。

$1$ 以外を $\omega$ と書く

$1$ でない解の一方を $\omega$ とおくと、もう一方は ${\omega }^2$ になります。

${\omega }^2$ が解であることは、$3$ 乗して確かめられる。$({\omega }^2{)}^3=({\omega }^3{)}^2=1^2=1$。

${\omega }^2$ が $1$ でも $\omega$ でもないことも確かめておきます。${\omega }^2=1$ なら ${\omega }^3=\omega$ となって $\omega =1$ に戻ってしまい、${\omega }^2=\omega$ なら両辺を $\omega$ で割って $\omega =1$。どちらも仮定と食い違う。

だから $1$ の $3$ 乗根は $1$、$\omega$、${\omega }^2$ の 3 つです。

$$\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\text{のとき}{\omega }^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$$

$\omega$ をどちらに選んでも顔ぶれは同じ。もう一方は自動的に ${\omega }^2$ の側に回ります。

使うのは 2 本だけ

$\omega$ の計算でいるのは、次の 2 本です。

1 本目は定義そのもの。2 本目は ${\omega }^3-1=(\omega -1)({\omega }^2+\omega +1)=0$ で、$\omega \ne 1$ だから右のかっこが $0$ になります。

$\omega$ の値を $\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ のまま持ち歩かず、この 2 本で片づけていきます。

指数は $3$ で割った余りで決まる

${\omega }^3=1$ なので、${\omega }^n$ は $n$ を $3$ で割った余りだけで決まります。

${\omega }^{100}$ なら $100=3\times 33+1$ で余りが $1$。${\omega }^{100}=\omega$ です。

$i$ の累乗が $4$ で割った余りで決まる話と同じ仕組みで、周期が $3$ に変わっただけ。

例：${\omega }^{2026}+{\omega }^{2027}+{\omega }^{2028}$

$2026=3\times 675+1$ で余りは $1$。続く 2 つは余りが $2$、$0$ になります。

$${\omega }^{2026}+{\omega }^{2027}+{\omega }^{2028}=\omega +{\omega }^2+1=0$$

連続する 3 つを足すと、いつも ${\omega }^2+\omega +1$ の形に戻って $0$。

例：$(1+\omega {)}^{2026}$

${\omega }^2+\omega +1=0$ を移項すると $1+\omega =-{\omega }^2$。かっこの中を先に置きかえます。

$$\begin{array}{rl}(1+\omega {)}^{2026}& =(-{\omega }^2{)}^{2026}\\ & =(-1{)}^{2026}{\omega }^{4052}\\ & ={\omega }^{4052}\end{array}$$

$4052=3\times 1350+2$ で余りは $2$。答えは ${\omega }^2$ です。

$1+\omega$ を $\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ と数で書いて $2026$ 乗するより、$-{\omega }^2$ に替えるほうが短い。

例：$(1-\omega +{\omega }^2)(1+\omega -{\omega }^2)$

$1+\omega +{\omega }^2=0$ を足がかりにします。左のかっこは、そこから $2\omega$ を引いた形。

$$1-\omega +{\omega }^2=(1+\omega +{\omega }^2)-2\omega =-2\omega$$

右のかっこは $2{\omega }^2$ を引いた形です。

$$1+\omega -{\omega }^2=(1+\omega +{\omega }^2)-2{\omega }^2=-2{\omega }^2$$

かけると $4{\omega }^3=4$。

$$(-2\omega )(-2{\omega }^2)=4{\omega }^3=4$$

例：$\omega +\frac{1}{\omega }$

${\omega }^3=1$ の両辺を $\omega$ で割ると ${\omega }^2=\frac{1}{\omega }$。逆数が $2$ 乗に化けます。

$$\omega +\frac{1}{\omega }=\omega +{\omega }^2=-1$$

${\omega }^2+\omega +1=0$ から $\omega +{\omega }^2=-1$。分数を残さずに答えが決まりました。

因数分解に使う

$x^3-1$ を複素数の範囲で分けきると、1 次式が 3 つ並びます。

$$x^3-1=(x-1)(x-\omega )(x-{\omega }^2)$$

$a^3+b^3$ のほうも同じように分けられる。$a^2-ab+b^2$ が $\omega$ で割り切れます。

$$(a+\omega b)(a+{\omega }^{2}b)=a^2+ab(\omega +{\omega }^2)+{\omega }^3{b}^2=a^2-ab+b^2$$

$\omega +{\omega }^2=-1$ と ${\omega }^3=1$ が、ちょうど中央の項と最後の項に効いている。

$$a^3+b^3=(a+b)(a+\omega b)(a+{\omega }^{2}b)$$

$\omega$ は $\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ という数ですが、計算のあいだはその値を書かずに進みます。${\omega }^3=1$ で指数を $3$ の余りに落とし、${\omega }^2+\omega +1=0$ で $1$ と $\omega$ と ${\omega }^2$ を行き来する。この 2 本で足ります。