ドップラー効果｜公式の導出・符号の決め方・斜めドップラー

救急車が近づいてくるときのサイレンは高く、通り過ぎると低くなります。音源や観測者が動くと、聞こえる振動数が変わる。これがドップラー効果です。

音源が出す振動数は、どの瞬間も変わっていません。変わっているのは、観測者のところへ届く波の間隔だけ。

以下では音源が動く場合と観測者が動く場合を別々に組み立て、$2$ つを $1$ 本の式にまとめます。そのあと符号の決め方、斜めに動く場合、反射板がある場合、風があるときの扱いまでを並べた。

音源が動くと波長が変わる

音源が静止しているとき、波面は同心円になる。どの向きにも同じ間隔で並びます。

音源が動くと事情が変わる。波を出したあと音源が前へ進むので、次の波は前の波に近い位置から出ます。

その結果、進行方向の前では波面が詰まり、後ろでは伸びる。波長そのものが、向きによって違う値になる。

図では音源が右へ動いています。右側で円が密に、左側で疎になっている。

前方の波長は、音源が $1$ 周期のあいだに進んだ分だけ縮む。周期を $T$、音源の速さを $v_s$ とすると、次のようになる。

$${\lambda }^{\prime }=VT-v_{s}T=\frac{V-v_s}{f}$$

音速 $V$ は空気で決まる量なので、音源が動いても変わりません。変わるのは波長のほう。

音源が動く場合の式

観測者が静止していれば、観測者のところを音が通り過ぎる速さは $V$ のまま。振動数は速さを波長で割るだけです。

$$f^{\prime }=\frac{V}{{\lambda }^{\prime }}=f\frac{V}{V-v_s}$$

近づいてくるときは $v_s>0$ で分母が小さくなり、振動数が上がる。遠ざかるときは $v_s<0$ になり、振動数が下がる。

分母だけに音源の速さが入るところが、この場合の特徴です。

観測者が動くと相対速度が変わる

今度は音源を静止させ、観測者を動かす。音源が動かないので、波長は $\lambda =V/f$ のまま。

変わるのは、観測者から見た音の速さになる。音源へ近づく向きに走れば、波と出会う頻度が上がる。

言いかえると、観測者に対する音の相対速度が変わる。波長は変わらないまま、単位時間に出会う波の数だけが増える。

観測者が動く場合の式

観測者が音源へ向かって速さ $u$ で動くとき、観測者に対する音の相対速度は $V+u$ になる。

$$f^{\prime }=\frac{V+u}{\lambda }=f\frac{V+u}{V}$$

遠ざかるなら $V-u$ に変わり、振動数は下がります。今度は分子に観測者の速さが入る。

2 つの場合は仕組みが違う

同じように振動数が変わるので、$2$ つは同じ現象に見える。中身はまるで違います。

音源が動く場合に変わるのは波長のほう。空間に並ぶ波の間隔そのものが詰まる。

観測者が動く場合、波長は変わらない。並び方は同じままで、それを横切る速さだけが変わります。

ドイツ語版 Wikipedia のドップラー効果の項目も、$2$ つの場合が対称でないことを強調しています。速さが同じでも、得られる振動数は厳密には一致しない。

非対称の原因は、音を伝えるものが空気だという点にあります。空気に対してどちらが動いているかで、起きることが変わる。

速さが小さいうちは、$2$ つの差はほとんど見えません。$v$ が音速に近づくと、開きがはっきりしてくる。

1 本にまとめた式

$2$ つの効果は同時に起きる。まとめて $1$ 本の式にできます。

まず正の向きを決める。音源から観測者へ向かう向きを正とします。

$v_s$ と $v_o$ を、それぞれの速度のこの向きの成分とします。すると波長は $(V-v_s)/f$、観測者に対する相対速度は $V-v_o$。

$$f^{\prime }=f\frac{V-v_o}{V-v_s}$$

これ 1 本で、$4$ 通りの場合をすべて扱える。フランス語版 Wikipedia のドップラー効果の項目も、信号の進む向きを正とする同じ約束を採用している。

場合分けの公式を並べて覚える必要はありません。向きを決めて成分を入れるだけ。

符号を間違えないための手順

手順は 3 つ。まず音源から観測者へ向かう矢印を図に描きます。

次に、音源と観測者それぞれの速度を、その矢印の向きに射影する。同じ向きなら正、逆向きなら負。

最後に式へ代入する。分子が観測者、分母が音源です。

観測者が近づくときに $v_o$ が負になるところで、多くの人がつまずきます。矢印は音源から観測者へ向いているので、観測者が音源へ近づく動きは逆向き。

図に矢印を描いてから代入すれば、このとり違えは起きない。式を睨むより速いやり方です。

代入したあとに検算する癖をつけると安全です。近づいているのに振動数が下がったら、どこかで符号を間違えている。

音源が観測者を追い越す瞬間

サイレンの音が高いまま近づき、通り過ぎた瞬間に低くなる。この切り替わりは、正の向きの成分が符号を変えたことによるものです。

近づいているあいだ $v_s$ は正で、振動数は上がったまま一定になる。距離が縮んでも、振動数はそれ以上変わらない。

音が大きくなるのは距離が近いからで、高さとは別の話です。この $2$ つを混ぜると、通過の瞬間の説明ができなくなる。

真横を通る瞬間に、成分が $0$ になる。そこで振動数はもとの $f$ に戻り、そのあと負に転じて低い音になります。

変わらない量を先に押さえておくと、式の読み方が安定します。動くのは届き方だけ。

斜めに動く場合

音源が観測者からずれた線の上を動くとき、効くのは速度の成分だけです。音源と観測者を結ぶ向きに射影した分。

$$v_s=v\cos \theta$$

$\theta$ は音源の速度と、音源から観測者へ向かう向きのなす角です。真横を通る瞬間は $\theta =90^{\circ }$ で、成分が $0$ になる。

右の図が、通過にともなう振動数の変化です。急に切り替わるのではなく、なめらかに下がっていく。

観測者が音源の通り道に近いほど、変化は急になる。遠く離れて聞けば、変化はゆるやかです。

いちばん高く聞こえるのは、最接近より前の時間帯。近づく速さの成分が大きいうちに、振動数の変化も大きくなる。

反射板があるとき

壁や車が音を跳ね返す問題では、反射板を $2$ 役で扱います。まず音を受ける観測者、次に音を送り出す音源。

段を分けるところが要点です。$1$ 回の計算で済ませようとすると、まず合わない。

静止した音源の前で、反射板が速さ $u$ で音源へ近づく場合を書いておきます。$2$ 段を続けると、次の形にまとまる。

$$f^{\prime \prime }=f\frac{V+u}{V-u}$$

分子と分母の両方に $u$ が入るので、変化は $1$ 段のときの約 $2$ 倍になります。速度の測定に使われるのは、この効きの強さのため。

風があるとき

風が吹いていれば、空気そのものが動いています。地面から見た音速が変わる。

音源から観測者へ向かう向きの風速の成分を $w$ とすると、音速は $V+w$ になります。式の $V$ をそのまま置き換えればよい。

$$f^{\prime }=f\frac{(V+w)-v_o}{(V+w)-v_s}$$

音源と観測者の速さは、地面に対する値のまま使います。置き換えるのは音速だけ。

風下では音速が上がりますが、振動数は分子と分母の両方に効くので、思ったほど変わりません。音源も観測者も静止していれば、風が吹いても振動数は変化しない。

応用

速度の測定器は、走る車に電波を当てて反射波を受けます。振動数のずれから速さを逆算する仕組み。

気象レーダーは、雨粒からの反射で風の流れを読みます。竜巻の回転も、近づく側と遠ざかる側のずれとして見える。

医療の超音波診断では、血液の流れの速さを測ります。中国語版 Wikipedia のドップラー効果の項目も、測速・天体観測・医療診断の $3$ つを応用として挙げている。

天体では光のドップラー効果が使われます。遠ざかる星の光は波長が伸びて赤い側へずれ、これを赤方偏移という。

計算例：近づく音源

振動数 $800$ Hz のサイレンを鳴らす車が、$20$ m/s で観測者へ近づいています。音速を $340$ m/s として、聞こえる振動数を求めます。

正の向きは音源から観測者へ。音源はその向きに動くので $v_s=+20$ m/s、観測者は静止なので $v_o=0$。

$$f^{\prime }=800\times \frac{340-0}{340-20}=800\times \frac{340}{320}=850\mathrm{Hz}$$

$50$ Hz 高く聞こえました。分母が小さくなった分だけ上がっている。

計算例：遠ざかる音源

同じ車が観測者を通り過ぎ、$20$ m/s で遠ざかります。今度は音源の速度が正の向きと逆になる。

$v_s=-20$ m/s を代入します。

$$f^{\prime }=800\times \frac{340}{340+20}=800\times \frac{340}{360}\approx 756\mathrm{Hz}$$

通過の前後で $850$ Hz から $756$ Hz へ落ちました。差は $94$ Hz あり、はっきり聞き分けられる。

音源の速さが同じでも、上がり幅と下がり幅は等しくならない。分母の変わり方が違うためです。

計算例：観測者が動く

静止した音源が $800$ Hz を出しています。観測者が $34$ m/s で音源へ近づくとき、聞こえる振動数を求める。

観測者は正の向きと逆に動くので $v_o=-34$ m/s、音源は静止で $v_s=0$。

$$f^{\prime }=800\times \frac{340+34}{340}=800\times \frac{374}{340}=880\mathrm{Hz}$$

分子に効いているので、音源が動く場合とは式の形が違います。速さが同じでも結果は一致しない。

計算例：反射板で往復した音

静止した音源が $500$ Hz を出し、反射板が $20$ m/s で音源へ近づいています。音源の位置で聞こえる反射音の振動数を求めます。

まず反射板を観測者として扱う。反射板は正の向きと逆に動くので $v_o=-20$ m/s。

$$f_1=500\times \frac{340+20}{340}=\frac{500\times 360}{340}\mathrm{Hz}$$

次に、この振動数を出す音源として反射板を扱います。今度は反射板からもとの位置へ向かう向きが正で、反射板はその向きに動くので $v_s=+20$ m/s。

$$f_2=f_1\times \frac{340}{340-20}=500\times \frac{360}{340}\times \frac{340}{320}=562.5\mathrm{Hz}$$

途中の $340$ が約分され、$f^{\prime \prime }=f(V+u)/(V-u)$ の形に落ち着きました。$62.5$ Hz の変化は、片道のときの約 $2$ 倍。

計算例：うなりの回数から反射板の速さを出す

$680$ Hz の音源の前で反射板が近づいており、直接の音と反射音のあいだに毎秒 $4$ 回のうなりが聞こえました。反射板の速さを求めます。

反射音の振動数は $f(V+u)/(V-u)$ なので、差を式にする。

$$f\frac{V+u}{V-u}-f=f\frac{2u}{V-u}=4$$

数値を入れて $u$ について解きます。

$$680\times 2u=4(340-u)\Rightarrow 1364u=1360$$

したがって $u\approx 1.0$ m/s。うなりを数えるだけで、ゆっくりした動きまで測れます。

わずか毎秒 $1$ m の動きが、$4$ 回のうなりとして現れる。ドップラー効果が速度測定に使われる理由が、この感度にあります。

よくある誤り

正の向きを図に描くこと、反射板を 2 段に分けること。この $2$ つを守れば、ほとんどの問題は同じ手順で解けます。

参考文献