メルデの実験と弦の振動数（おもりの重さと腹の数）

弦の一端を振動子でゆすり、もう一端を滑車にかけておもりを下げます。おもりを増やしていくと、弦にできる腹の数が減っていく。

腹が 4 つの状態から 2 つの状態へ移すには、おもりを 4 倍にする必要があります。腹の数の 2 乗と張力の積が変わらないためです。

$$n^{2}T=(2Lf{)}^2\rho$$

右辺には弦の長さ $L$、振動子の振動数 $f$、弦の線密度 $\rho$ しか入りません。実験のあいだ動かさない量ばかり。

装置

振動子、弦、滑車、おもり。これだけで組めます^[1]。

弦を張る力は、おもりの重さがそのまま伝わる。質量 $m$ なら $T=mg$。

滑車は力の向きを変えるだけで、大きさは変えません。だからおもりを換えるたびに、張力が既知の値で動かせる。

弦を伝わる波の速さ

張った弦を横に伝わる波の速さは、張力と線密度で決まります^[2]。

$$v=\sqrt{\frac{T}{\rho }}$$

$\rho$ は 1 メートルあたりの質量です。単位は $kg/m$。

強く張るほど速く、重い弦ほど遅い。振動数はここに出てこないので、速さは弦の揺らし方によらない。

定常波が立つ条件

両端が節になるので、弦の長さに半波長がちょうど整数個入ります^[3]。

$$L=n\cdot \frac{\lambda }{2},\lambda =\frac{2L}{n}$$

$n$ が腹の数です。$n=1$ なら弦全体で腹 1 つ、$n=4$ なら腹が 4 つ並ぶ。

端が節になる理由

弦の端は留められていて動けません。固定端で返ってきた波は位相が $\pi$ ずれ、もとの波と打ち消し合う^[3]。

だから端の変位はいつでも $0$ です。節を置く場所が先に決まり、そのあいだに収まる波長だけが残る。

振動子の側の端は、厳密には止まっていません。ただし振幅が腹に比べてずっと小さいので、節として扱って差し支えない。

振動数の式

$v=f\lambda$ に 2 つを入れると、次の形になります^[1]。

$$f=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\rho }}$$

実験では $f$ と $L$ と $\rho$ を固定し、$T$ だけを変える。すると $n$ が変わる。

両辺を 2 乗して整理すると、冒頭の関係が出る。

$$n^{2}T=(2Lf{)}^2\rho$$

腹の数と張力

$n^{2}T$ が一定ということは、$T$ を 4 倍にすると $n$ が半分になるということです。

おもりを少しずつ足しても、腹の数はなめらかには変わりません。整数でしか立たないので、飛び飛びに切り替わる。

赤い点が節です。両端は必ず節になり、そのあいだに腹が並ぶ。

例：腹が 4 つのとき

弦の長さ $L=1.20\mathrm{m}$、振動子の振動数 $f=50\mathrm{Hz}$、線密度 $\rho =1.0\times 10^{-3}kg/m$ とします。

腹が 4 つなら波長は次のとおり。

$$\lambda =\frac{2\times 1.20}{4}=0.60\mathrm{m}$$

速さは $v=f\lambda =50\times 0.60=30m/s$。張力は $T=\rho v^2$ から出る。

$$T=1.0\times 10^{-3}\times 30^2=0.90\mathrm{N}$$

おもりの質量は $m=T/g=0.90÷9.8=0.092\mathrm{kg}$、つまり $92\mathrm{g}$ になります。

例：腹を 2 つにする

$n$ を半分にしたいので、$n^{2}T$ を保つには $T$ を 4 倍にします。

$$T=0.90\times 4=3.6\mathrm{N}$$

おもりは $3.6÷9.8=0.367\mathrm{kg}$ で、$367\mathrm{g}$。$92\mathrm{g}$ のちょうど 4 倍です。

腹を 1 つ減らすだけなら、$4^2\times 0.90=3^2\times T$ から $T=1.6\mathrm{N}$。おもりは $163\mathrm{g}$ になる。

例：積が一定であることを確かめる

同じ弦で 4 通り測ったとします。

右の列がそろえば、実験は合っている。$(2Lf{)}^2\rho =(2\times 1.20\times 50{)}^2\times 1.0\times 10^{-3}=14.4$ とも一致する。

そろわない場合、まず疑うのは腹の数え違いです。端の節を腹と数えていないか確かめる。

例：弦の長さを変える

$L$ を $1.20\mathrm{m}$ から $0.60\mathrm{m}$ へ半分にします。張力と振動数はそのまま。

波長は張力と振動数で決まるので変わりません。$\lambda =v/f=30÷50=0.60\mathrm{m}$ のまま。

弦に入る半波長の数は $0.60÷0.30=2$ になる。腹は 4 つから 2 つへ減る。

$n$ は $L$ に比例する。長い弦ほど腹が多く並ぶという、見たとおりの結果。

例：太い弦に換える

線密度を 4 倍の $4.0\times 10^{-3}kg/m$ にします。張力は $0.90\mathrm{N}$ のまま。

$$v=\sqrt{\frac{0.90}{4.0\times 10^{-3}}}=15m/s$$

速さが半分になったので、波長も半分の $0.30\mathrm{m}$ です。腹の数は $2\times 1.20÷0.30=8$ で 2 倍に増える。

$n$ は $\sqrt{\rho }$ に比例する。重い弦ほど腹が細かく並ぶ。

横に振るか、弦に沿って振るか

振動子の振れる向きを変えると、同じおもりでも腹の数が変わります^[1]。

同じ張力で比べると、横振動のときの腹の数は縦振動のときの 2 倍です^[1]。

速さ $v=\sqrt{T/\rho }$ は張力だけで決まるので、両者で同じ $30m/s$ です。

弦の振動数が半分になると、$\lambda =v/f$ が 2 倍になる。だから腹の数も半分になる。

なぜ半分になるのか

縦振動では、振動子が弦を引っぱったりゆるめたりする。張力が周期的に増減する形。

1 回の往復のあいだに、張力は 2 回だけ最大になります。振れの両端でどちらも強く引くため^[1]。

弦から見ると、揺さぶりの周期は振動子の周期の半分。この揺さぶりに弦が応えると、振動数は振動子の半分になります。

緑の線が張力です。青の 1 往復のあいだに山が 2 つ立っている。

赤の弦は、青の半分の速さで振れている。周期でいえば 2 倍。

例：同じおもりで腹の数が変わる

張力 $0.90\mathrm{N}$ のままで、振動子を横向きから縦向きへ変えたとします。

横向きなら弦は $50\mathrm{Hz}$、波長は $30÷50=0.60\mathrm{m}$ で腹は 4 つ。

縦向きなら弦は $25\mathrm{Hz}$、波長は $30÷25=1.20\mathrm{m}$ で腹は 2 つになります。

同じ装置で 2 通りの測り方ができる。どちらから計算しても振動子の振動数が一致すれば、測定は信頼できます。

線密度を測る

$\rho$ は弦を切って量ってもよいのですが、この実験の中でも求まります。

$$\rho =\frac{n^{2}T}{(2Lf{)}^2}$$

例：線密度から振動数を出す

$n=4$、$T=0.90\mathrm{N}$、$L=1.20\mathrm{m}$、$\rho =1.0\times 10^{-3}kg/m$ とします。

$$f=\frac{4}{2\times 1.20}\sqrt{\frac{0.90}{1.0\times 10^{-3}}}=\frac{4}{2.4}\times 30=50\mathrm{Hz}$$

商用電源で駆動する振動子なら、$50$ Hz か $60$ Hz のはずです。出た値がそこから大きく外れたら、どこかで測り違えている。

観察のこつ

数え方と張力の関係を、数値で確かめます。

張力との関係も確かめます。

検算のしかた

測った組を全部使って $n^{2}T$ を計算し、値がそろうかを見ます。ばらつきが数パーセントに収まれば十分。

理論値 $(2Lf{)}^2\rho$ とも比べられます。$L$ と $\rho$ は別に測れる量なので、独立な検算になる。

横振動と縦振動の両方で振動子の振動数を出し、一致するかを見る手もある。片方だけの測定より強い。

おもりを重くしたのに腹が増えたら、どこかが逆になっています。張力が上がれば波は速くなり、波長は伸び、腹は減る。

参考文献