メルデの実験と弦の振動数（おもりの重さと腹の数）

弦の一端を振動子でゆすり、もう一端を滑車にかけておもりを下げます。おもりを増やしていくと、弦にできる腹の数が減っていく。

腹が 4 つの状態から 2 つの状態へ移すには、おもりを 4 倍にする必要があります。腹の数の 2 乗と張力の積が変わらないためです。

$n^{2} T = (2 L f)^{2} ρ$

右辺には弦の長さ $L$ 、振動子の振動数 $f$ 、弦の線密度 $ρ$ しか入りません。実験のあいだ動かさない量ばかり。

装置

振動子、弦、滑車、おもり。これだけで組めます^[1]。

弦を張る力は、おもりの重さがそのまま伝わる。質量 $m$ なら $T = m g$ 。

滑車は力の向きを変えるだけで、大きさは変えません。だからおもりを換えるたびに、張力が既知の値で動かせる。

弦を伝わる波の速さ

張った弦を横に伝わる波の速さは、張力と線密度で決まります^[2]。

$v = \frac{T}{ρ}$

$ρ$ は 1 メートルあたりの質量です。単位は $kg/m$ 。

強く張るほど速く、重い弦ほど遅い。振動数はここに出てこないので、速さは弦の揺らし方によらない。

定常波が立つ条件

両端が節になるので、弦の長さに半波長がちょうど整数個入ります^[3]。

$L = n \cdot \frac{λ}{2}, λ = \frac{2 L}{n}$

$n$ が腹の数です。 $n = 1$ なら弦全体で腹 1 つ、 $n = 4$ なら腹が 4 つ並ぶ。

端が節になる理由

弦の端は留められていて動けません。固定端で返ってきた波は位相が $π$ ずれ、もとの波と打ち消し合う^[3]。

だから端の変位はいつでも $0$ です。節を置く場所が先に決まり、そのあいだに収まる波長だけが残る。

振動子の側の端は、厳密には止まっていません。ただし振幅が腹に比べてずっと小さいので、節として扱って差し支えない。

振動数の式

$v = f λ$ に 2 つを入れると、次の形になります^[1]。

$f = \frac{n}{2 L} \frac{T}{ρ}$

実験では $f$ と $L$ と $ρ$ を固定し、 $T$ だけを変える。すると $n$ が変わる。

両辺を 2 乗して整理すると、冒頭の関係が出る。

$n^{2} T = (2 L f)^{2} ρ$

腹の数と張力

$n^{2} T$ が一定ということは、 $T$ を 4 倍にすると $n$ が半分になるということです。

おもりを少しずつ足しても、腹の数はなめらかには変わりません。整数でしか立たないので、飛び飛びに切り替わる。

赤い点が節です。両端は必ず節になり、そのあいだに腹が並ぶ。

例：腹が 4 つのとき

弦の長さ $L = 1.20 m$ 、振動子の振動数 $f = 50 Hz$ 、線密度 $ρ = 1.0 \times 1 0^{- 3} kg/m$ とします。

腹が 4 つなら波長は次のとおり。

$λ = \frac{2 \times 1.20}{4} = 0.60 m$

速さは $v = f λ = 50 \times 0.60 = 30 m/s$ 。張力は $T = ρ v^{2}$ から出る。

$T = 1.0 \times 1 0^{- 3} \times 3 0^{2} = 0.90 N$

おもりの質量は $m = T / g = 0.90 \div 9.8 = 0.092 kg$ 、つまり $92 g$ になります。

例：腹を 2 つにする

$n$ を半分にしたいので、 $n^{2} T$ を保つには $T$ を 4 倍にします。

$T = 0.90 \times 4 = 3.6 N$

おもりは $3.6 \div 9.8 = 0.367 kg$ で、 $367 g$ 。 $92 g$ のちょうど 4 倍です。

腹を 1 つ減らすだけなら、 $4^{2} \times 0.90 = 3^{2} \times T$ から $T = 1.6 N$ 。おもりは $163 g$ になる。

例：積が一定であることを確かめる

同じ弦で 4 通り測ったとします。

腹の数	張力	$n^{2} T$
$6$	$0.40 N$	$14.4$
$4$	$0.90 N$	$14.4$
$3$	$1.60 N$	$14.4$
$2$	$3.60 N$	$14.4$

右の列がそろえば、実験は合っている。 $(2 L f)^{2} ρ = (2 \times 1.20 \times 50)^{2} \times 1.0 \times 1 0^{- 3} = 14.4$ とも一致する。

そろわない場合、まず疑うのは腹の数え違いです。端の節を腹と数えていないか確かめる。

例：弦の長さを変える

$L$ を $1.20 m$ から $0.60 m$ へ半分にします。張力と振動数はそのまま。

波長は張力と振動数で決まるので変わりません。 $λ = v / f = 30 \div 50 = 0.60 m$ のまま。

弦に入る半波長の数は $0.60 \div 0.30 = 2$ になる。腹は 4 つから 2 つへ減る。

$n$ は $L$ に比例する。長い弦ほど腹が多く並ぶという、見たとおりの結果。

例：太い弦に換える

線密度を 4 倍の $4.0 \times 1 0^{- 3} kg/m$ にします。張力は $0.90 N$ のまま。

$v = \frac{0.90}{4.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 15 m/s$

速さが半分になったので、波長も半分の $0.30 m$ です。腹の数は $2 \times 1.20 \div 0.30 = 8$ で 2 倍に増える。

$n$ は $ρ$ に比例する。重い弦ほど腹が細かく並ぶ。

横に振るか、弦に沿って振るか

振動子の振れる向きを変えると、同じおもりでも腹の数が変わります^[1]。

横振動

振動子が弦と垂直に振れる。弦の振動数は振動子の振動数と同じ

縦振動

振動子が弦に沿って振れる。弦の振動数は振動子の半分になる

同じ張力で比べると、横振動のときの腹の数は縦振動のときの 2 倍です^[1]。

速さ $v = T / ρ$ は張力だけで決まるので、両者で同じ $30 m/s$ です。

弦の振動数が半分になると、 $λ = v / f$ が 2 倍になる。だから腹の数も半分になる。

なぜ半分になるのか

縦振動では、振動子が弦を引っぱったりゆるめたりする。張力が周期的に増減する形。

1 回の往復のあいだに、張力は 2 回だけ最大になります。振れの両端でどちらも強く引くため^[1]。

弦から見ると、揺さぶりの周期は振動子の周期の半分。この揺さぶりに弦が応えると、振動数は振動子の半分になります。

緑の線が張力です。青の 1 往復のあいだに山が 2 つ立っている。

赤の弦は、青の半分の速さで振れている。周期でいえば 2 倍。

例：同じおもりで腹の数が変わる

張力 $0.90 N$ のままで、振動子を横向きから縦向きへ変えたとします。

横向きなら弦は $50 Hz$ 、波長は $30 \div 50 = 0.60 m$ で腹は 4 つ。

縦向きなら弦は $25 Hz$ 、波長は $30 \div 25 = 1.20 m$ で腹は 2 つになります。

同じ装置で 2 通りの測り方ができる。どちらから計算しても振動子の振動数が一致すれば、測定は信頼できます。

線密度を測る

$ρ$ は弦を切って量ってもよいのですが、この実験の中でも求まります。

$ρ = \frac{n ^{2} T}{( 2 L f ) ^{2}}$

例：線密度から振動数を出す

$n = 4$ 、 $T = 0.90 N$ 、 $L = 1.20 m$ 、 $ρ = 1.0 \times 1 0^{- 3} kg/m$ とします。

$f = \frac{4}{2 \times 1.20} \frac{0.90}{1.0 \times 1 0 ^{- 3}} = \frac{4}{2.4} \times 30 = 50 Hz$

商用電源で駆動する振動子なら、 $50$ Hz か $60$ Hz のはずです。出た値がそこから大きく外れたら、どこかで測り違えている。

観察のこつ

腹の位置で弦がぼやけて見え、節では線がはっきり残る。

おもりを少しずつ加え、腹の数が切り替わる瞬間を探す。

切り替わりの前後では振幅が小さく、ちょうどのところで最大になる。

弦が長いほど腹が多く立ち、数えやすい。

滑車の摩擦が大きいと、張力がおもりの重さより小さくなる。

振動子に近い端は完全な節ではないが、振幅が小さいので節として扱える。

数え方と張力の関係を、数値で確かめます。

$L = 1.0 m$ 、 $ρ = 1.0 \times 1 0^{- 3} kg/m$ の弦を張力 $3.6 N$ で張り、腹が 4 つの定常波が立ちました。振動子の振動数はいくらですか。

$60 Hz$
$120 Hz$
$240 Hz$

__RESULT__

速さは $3.6 \div (1.0 \times 1 0^{- 3}) = 60 m/s$ 、波長は $2 \times 1.0 \div 4 = 0.50 m$ です。 $f = 60 \div 0.50 = 120 Hz$ になります。 $60$ Hz は、波長を弦の長さと同じ $1.0 m$ としてしまった値になります。

張力との関係も確かめます。

腹が 3 つ立っている状態から、腹を 6 つにしたいとします。おもりの質量をどうすればよいですか。

$2$ 倍にする
$4$ 分の $1$ にする
$2$ 分の $1$ にする

__RESULT__

$n^{2} T$ が一定なので、 $n$ を $2$ 倍にするには $T$ を $\frac{1}{4}$ にします。おもりの質量も $\frac{1}{4}$ です。 $T$ は $n$ の 2 乗に反比例するところがつまずきやすい点になります。

検算のしかた

測った組を全部使って $n^{2} T$ を計算し、値がそろうかを見ます。ばらつきが数パーセントに収まれば十分。

理論値 $(2 L f)^{2} ρ$ とも比べられます。 $L$ と $ρ$ は別に測れる量なので、独立な検算になる。

横振動と縦振動の両方で振動子の振動数を出し、一致するかを見る手もある。片方だけの測定より強い。

おもりを重くしたのに腹が増えたら、どこかが逆になっています。張力が上がれば波は速くなり、波長は伸び、腹は減る。

参考文献

Melde's String Apparatus (Theory). Harmonic Motion and Waves Virtual Lab, Amrita Vishwa Vidyapeetham.

Wave Speed on a Stretched String. University Physics Volume 1, OpenStax.

*Schwingende Saite (M13)*. Praktikumsanleitung, Universität Bremen.

弦を振動子でゆすり、反対端に下げたおもりで張力を与えます。おもりを重くすると波が速くなり、波長が伸びて、腹の数は減る。$f = (n/2L)\sqrt{T/\rho}$ を 2 乗して整理すると $n^2T$ が一定になり、腹を半分にするには張力を 4 倍にすればよいと分かる。長さ 1.20 m、50 Hz、線密度 1.0 g/m の弦なら、腹 4 つで 92 g、腹 2 つで 367 g。振動子を弦と垂直に振れば弦は 50 Hz、弦に沿って振れば 25 Hz になり、腹の数が半分になります。張力が 1 往復に 2 回最大になるため。線密度や長さを変えたときの効き方と、$n^2T$ を使った検算までたどります。