光の屈折と全反射（絶対屈折率・臨界角・見かけの深さ）

水に差し込んだストローは、水面のところで折れて見えます。光が水に入るときに向きを変えるからで、この現象が屈折です。

曲がり方の大きさは屈折率で決まる。真空中の光の速さを、その媒質の中での速さで割った値です。

以下では絶対屈折率の定義から始めて、屈折の法則を屈折率で書き直し、媒質の中で波長が縮むこと、全反射と臨界角、光ファイバーと見かけの深さまでを扱います。計算例には、臨界角を出す手順と、見かけの深さを求める手順を置いた。

光は真空中でも進む

音とは違い、光は媒質がなくても進む。太陽の光が真空を越えて届くのは、光が電磁波だから。

電場と磁場が互いを作り合いながら進むので、揺らすための物質が要りません。真空中の速さは決まった値をとる。

$$c=3.0\times 10^{8}m/s$$

物質の中に入ると、光は遅くなる。原子の中の電子と電磁場がやりとりをするためで、その分だけ進みが鈍る。

絶対屈折率

真空中の速さを、その媒質の中での速さで割った値を絶対屈折率といいます。単に屈折率と呼ぶときも、たいていこちら。

$$n=\frac{c}{v}$$

真空の屈折率は定義から $1$ です。どんな媒質でも光は真空より遅いので、屈折率は $1$ 以上になる。

ドイツ語版 Wikipedia の屈折率の項目も、真空中の光速と媒質中の速さの比として定義しています。

屈折率がわかれば、その媒質の中での速さは割り算で出る。$v=c/n$ という形です。

屈折率の値

身のまわりの物質の屈折率を並べておきます。空気はほぼ $1$ なので、計算では $1.0$ として扱ってよい。

ダイヤモンドの値がとびぬけて大きい。中では光の速さが真空の半分以下になります。

英語版 Wikipedia の屈折率の項目にある値も同じで、水 $1.333$、窓ガラス $1.52$、ダイヤモンド $2.417$ となっている。

屈折率は波長によってわずかに変わる。表の値は黄色の光での目安。

屈折の法則を屈折率で書く

波としての屈折の法則は、速さの比で書けました。速さは屈折率で表せるので、書き換えができる。

$$\frac{\sin {\theta }_1}{\sin {\theta }_2}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{c/n_1}{c/n_2}=\frac{n_2}{n_1}$$

分母を払うと、覚えやすい形になります。

$$n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$$

左辺と右辺が同じ形をしているので、どちらが入射側かを気にせず書ける。境界をはさんで $n\sin \theta$ が保たれる、と読めば十分です。

屈折率の大きい媒質では、角が小さくなる。$n$ が大きいほど $\sin \theta$ が小さくなり、光線は法線に近づく。

図はガラスから空気へ光が出ていく場面です。左では屈折して外へ出て、右では外へ出られずに戻っている。

相対屈折率と絶対屈折率

媒質 1 に対する媒質 2 の相対屈折率は、絶対屈折率の比で書ける。

$$n_{12}=\frac{n_2}{n_1}$$

空気から水へ入る場合なら、$n_1\approx 1$ なので相対屈折率は水の絶対屈折率とほぼ等しくなる。空気がからむ問題で $1$ 本の値しか出てこないのは、この事情によるものです。

水からガラスへ入るような場合は、比を計算する必要がある。$1.5/1.33\approx 1.13$ となり、曲がり方は小さくなる。

媒質の中では波長が縮む

境界を越えても振動数は変わりません。変わるのは速さと波長のほう。

$$\lambda =\frac{v}{f}=\frac{c/n}{f}=\frac{{\lambda }_0}{n}$$

${\lambda }_0$ は真空中の波長です。屈折率 $1.5$ のガラスの中では、波長が $1/1.5$ に縮む。

色は振動数で決まるので、水の中でも色は変わりません。プールの底が青く見えたり赤く見えたりしないのは、そのため。

外から見た色と、水中で見た色が同じになる。この事実が、変わらないのは振動数だという証拠です。

中国語版 Wikipedia の折射率の項目も、屈折率を真空中の速さと媒質中の速さの比として定義している。

光路長

媒質の中を進む距離に屈折率を掛けた量を、光路長といいます。同じ時間で真空ならどこまで進めたか、を表す長さ。

$$L=nd$$

屈折率 $1.5$ のガラスを $2.0$ cm 通り抜けるのに、真空中で $3.0$ cm 進むのと同じ時間がかかる。厚さそのものより、光路長のほうが時間を素直に表す。

英語版 Wikipedia の光路長の項目も、同じ時間で真空中を進む長さとして定義しています。

複数の媒質を通るときは、区間ごとに $nd$ を足す。この和が $2$ つの経路で違うと、干渉の明暗が決まる。

時間を比べたいときは光路長を使います。ものさしの値のままでは、媒質が違う経路を比べられない。

全反射が起きる条件

屈折率の大きい媒質から小さい媒質へ光が出るとき、屈折角は入射角より大きくなる。入射角を増やしていくと、屈折角が先に $90$ 度へ届く。

そこから先は、屈折光が存在できません。光はすべて境界で反射され、外へ出なくなる。これが全反射です。

条件は $2$ つ。屈折率の大きい側から小さい側へ向かうことと、入射角が臨界角を超えること。

逆向きでは決して起きない。空気から水へ入る場合、屈折角のほうが小さいので $90$ 度に届く場面がない。

向きを確かめるところが最初の一手です。屈折率の大小を見るだけで、全反射があり得るかどうかが決まる。

臨界角

屈折角がちょうど $90$ 度になる入射角を臨界角といいます。屈折の法則に ${\theta }_2=90^{\circ }$ を入れれば出る。

$$n_1\sin {\theta }_c=n_2\sin 90^{\circ }=n_2$$

$$\sin {\theta }_c=\frac{n_2}{n_1}$$

空気へ出る場合は $n_2=1$ なので、$\sin {\theta }_c=1/n_1$ という形になる。屈折率が大きいほど臨界角は小さい。

英語版 Wikipedia の全反射の項目は、水から空気で $48.6$ 度、ガラスから空気で $41.8$ 度、ダイヤモンドから空気で $24.5$ 度としています。

水中から水面を見上げると、真上の狭い円の中にだけ外の景色が見えます。円の外は全反射で、水中の景色が映る。円の半径は臨界角で決まる。

光ファイバー

全反射のいちばん大きな応用が光ファイバーです。屈折率の大きいコアを、屈折率の小さいクラッドで包んだ細い糸。

金属の鏡と違い、全反射では光がほとんど失われません。何十 km 進んでも弱りにくいのは、この損失の小ささによるもの。

図のように、光は境界に浅い角で当たる。法線から測れば大きい角なので、臨界角を超えて全反射する。

ダイヤモンドが輝く理由

ダイヤモンドの屈折率は $2.42$ で、臨界角は約 $24.5$ 度しかありません。中へ入った光は、よほど正面を向いていないかぎり外へ出られない。

そのため光は内部で何度も跳ね返り、あちこちの面から出ていく。強い輝きは、この閉じこめと出口の多さによるもの。

カットの角度が決まっているのも、臨界角に合わせるためです。角度を外すと、光は裏へ抜けてしまう。

見かけの深さ

水の底は実際より浅く見えます。プールの深さを見誤るのは、屈折のせい。

底の点から出た光は、水面で屈折して目に届く。目は光がまっすぐ来たと解釈するので、光線を逆にたどった位置に物があるように見える。

真上から見る場合を計算してみます。水面までの深さを $h$、見かけの深さを $h^{\prime }$、水面上での横のずれを $x$ とする。

$$\tan {\theta }_1=\frac{x}{h},\tan {\theta }_2=\frac{x}{h^{\prime }}$$

真上に近い向きでは角が小さく、$\tan \theta \approx \sin \theta$ と置き換えられる。屈折の法則 $n\sin {\theta }_1=\sin {\theta }_2$ に入れる。

$$n\cdot \frac{x}{h}=\frac{x}{h^{\prime }}$$

$x$ が消えて、見かけの深さが出ます。

$$h^{\prime }=\frac{h}{n}$$

水なら $1/1.33\approx 0.75$ 倍。実際の $3/4$ ほどの深さに見えます。

図の点線が、目が感じる光の来た向きです。実際の光は水面で折れているのに、目はまっすぐ来たものとして位置を決める。

斜めから見ると、ずれ方はもっと複雑になる。真上から見る場合だけが $h/n$ という簡単な形。

蜃気楼

屈折率が場所によって連続的に変わると、光線は折れ線ではなく曲線を描きます。空気の密度が高さで違うときに起きる現象。

夏の道路では、地面近くの空気が熱せられて密度が下がる。屈折率も下がるので、下から来た光が上へ曲げられて目に届く。

その結果、道の先に水たまりがあるように見えます。実際に見えているのは、曲げられて届いた空の光。

寒い海の上では逆に、遠くの船が浮き上がって見えることがある。どちらも屈折率の分布が作る像です。

計算例：屈折角を出す

空気から水へ、入射角 $45$ 度で光が入る。水の屈折率を $1.33$ として屈折角を求めます。

屈折の法則に入れる。空気の屈折率は $1.0$ とします。

$$1.0\times \sin 45^{\circ }=1.33\times \sin {\theta }_2$$

$$\sin {\theta }_2=\frac{0.707}{1.33}=0.532$$

$\sin {\theta }_2=0.532$ となる角は約 $32$ 度。入射角より小さくなり、光線が法線へ寄ったことが確かめられます。

計算例：水中での光の速さと波長

真空中の波長が $600$ nm の光が、屈折率 $1.5$ のガラスに入ります。ガラスの中での速さ、波長、振動数を求める。

速さは屈折率で割るだけです。

$$v=\frac{c}{n}=\frac{3.0\times 10^8}{1.5}=2.0\times 10^{8}m/s$$

波長も同じ割合で縮む。

$$\lambda =\frac{600}{1.5}=400\mathrm{nm}$$

振動数は境界で変わらないので、真空中の値のまま。

$$f=\frac{c}{{\lambda }_0}=\frac{3.0\times 10^8}{600\times 10^{-9}}=5.0\times 10^{14}\mathrm{Hz}$$

ガラスの中の値で計算しても同じ答えになる。$2.0\times 10^8÷(400\times 10^{-9})$ を計算すれば確かめられる。

計算例：臨界角を出す

屈折率 $1.5$ のガラスから空気へ光が出るときの臨界角を求めます。

臨界角の式に入れる。

$$\sin {\theta }_c=\frac{n_2}{n_1}=\frac{1.0}{1.5}=0.667$$

$\sin {\theta }_c=0.667$ となる角は約 $42$ 度です。これより大きい角で当たった光は、外へ出られない。

水なら $\sin {\theta }_c=1/1.33=0.752$ で約 $49$ 度。屈折率が小さいほど臨界角は大きくなります。

計算例：プールの見かけの深さ

深さ $1.2$ m のプールを真上から見る。水の屈折率を $1.33$ として、見かけの深さを求める。

割り算だけで出ます。

$$h^{\prime }=\frac{h}{n}=\frac{1.2}{1.33}\approx 0.90\mathrm{m}$$

$30$ cm ほど浅く見えている。深さを見た目で判断すると危ないのは、この差のためです。

底に沈んだ物を手でつかもうとして外すのも、同じ理由になる。目が伝えてくるのは見かけの位置です。

計算例：ガラス板の光路長

厚さ $2.0$ cm、屈折率 $1.5$ のガラス板を光が垂直に通り抜けます。光路長を求める。

$$L=nd=1.5\times 2.0=3.0\mathrm{cm}$$

真空中を $3.0$ cm 進むのと同じ時間がかかる。厚さは $2.0$ cm でも、時間の上では $3.0$ cm 分。

同じ場所に何もなければ $2.0$ cm 分の時間で済むので、差は $1.0$ cm 分。干渉の計算では、この差が効いてきます。

よくある誤り

屈折率を「光がどれだけ遅くなるか」の値として押さえておけば、速さも波長も臨界角もそこから出せます。個別に覚える式は少ない。

参考文献