マイケルソン干渉計とロイドの鏡｜縞の本数から距離を測る

鏡を $0.3\mu \mathrm{m}$ ほど動かすだけで、目に見える縞が 1 本ぶん流れる。髪の毛の太さの $200$ 分の $1$ ほどの動き。

長さを測る作業が、縞を数える作業に置き換わります^[1]。数えるだけなので、目盛りの細かさに縛られない。

$$2d=m\lambda$$

$d$ が鏡を動かした距離、$m$ が流れた縞の本数。左辺が $2$ 倍になっているのは、光が往復するためです^[3]。

光を 2 つに分けて戻す

半分だけ銀を塗った鏡に光を当てると、半分は通り抜け、半分は直角に曲がります。これで光が 2 本に分かれる^[1]。

2 本はそれぞれ鏡で返され、半透明の鏡でふたたび出会う。重なった結果が観察される縞。

右の鏡を $d$ だけ遠ざけると、その道のりは行きと帰りで $d$ ずつ、合わせて $2d$ 伸びます^[3]。

縞が 1 本流れる距離

光路差が $\lambda$ 変わるたびに、縞は隣の位置へ 1 本ぶん動く^[1]。

$$2d=m\lambda ,d=\frac{m\lambda }{2}$$

$m=1$ なら $d=\frac{\lambda }{2}$。波長の半分だけ動かせば、縞が 1 本流れる。

例：波長を測る

鏡を $0.10\mathrm{mm}$ 動かしたら、縞が $316$ 本流れたとします。

$$\lambda =\frac{2d}{m}=\frac{2\times 1.0\times 10^{-4}}{316}=6.33\times 10^{-7}\mathrm{m}$$

$633\mathrm{nm}$。ヘリウムネオンレーザーの赤い光の波長です。

$0.10\mathrm{mm}$ という、ふつうのマイクロメーターで測れる距離から、その $150$ 分の $1$ の長さが出ました。

例：1 本ぶんの距離

同じ波長で $m=1$ とします。$d=\frac{633}{2}=316\mathrm{nm}$。

$0.32\mu \mathrm{m}$ です。これより細かく動かせば、縞は 1 本も流れきらない。

例：小さな動きを測る

縞が $10$ 本流れたら、鏡は $10\times 0.32=3.2\mu \mathrm{m}$ 動いたことになる。

数えるだけなので、目で追える範囲ならいくらでも細かく測れる。長さの標準がこの方法で決められていた時代もあります^[1]。

気体の屈折率も測れる

片方の道すじに長さ $L$ の容器を置き、中を真空から気体で満たします。光が通る距離は変わらないのに、光路長だけが増える^[3]。

増える量は往復ぶんで $2L(n-1)$。これが $m\lambda$ に等しくなる。

$$n-1=\frac{m\lambda }{2L}$$

例：空気の屈折率

$L=5.0\mathrm{cm}$ の容器で、真空から大気圧まで入れたときに縞が $42$ 本流れたとします。$\lambda =633\mathrm{nm}$。

$$n-1=\frac{42\times 633\times 10^{-9}}{2\times 0.050}=2.7\times 10^{-4}$$

$n=1.00027$ です。空気の屈折率として知られる値とよく合います。

$1$ から $0.0003$ しか違わない量を、縞を数えるだけで 3 桁めまで出せる。

例：ガラス板を差し入れる

厚さ $0.10\mathrm{mm}$、屈折率 $1.50$ のガラス板を、片方の道すじに立てます。

往復するので、増える光路長は $2t(n-1)$。

$$2\times 1.0\times 10^{-4}\times 0.50=1.0\times 10^{-4}\mathrm{m}$$

流れる縞の数は $\frac{1.0\times 10^{-4}}{633\times 10^{-9}}=158$ 本。うすいガラス 1 枚で、これだけ動く。

なぜ縞が輪に見えるのか

点のような光源なら、まっすぐな縞が並びます。ところが広がった光源を使うと、同心円の輪になる。

入ってくる向きが少し違うと、往復する道のりもわずかに変わるためです。同じ光路差になる向きが円錐状に並び、それが輪として見える。

鏡を動かすと輪が中心へ吸い込まれるように動きます。数えるのは、中心を通り過ぎた輪の数。

補償板を入れる理由

半透明の鏡はガラスの板です。片方の光はこの板を 1 回、もう片方は 3 回通ります。

そのままだと、ガラスの中を通る長さが両者で違ってしまう。同じ厚さの板をもう 1 枚入れて釣り合わせる^[1]。

白色光で縞を出したいときには、これが要ります。色ごとに屈折率が違うので、ガラスの差が残ると縞が消えてしまう。

例：振動を追いかける

小さな鏡を振動する物体に貼りつけ、干渉計の一方の鏡として使います。

1 秒間に $100$ 本の縞が流れたとすると、鏡の速さは $100\times 0.32=32\mu m/s$。

縞の流れる速さを数えるだけで、目に見えない動きが速度として読めます。

ロイドの鏡

もう 1 つ、鏡を使う古典的な干渉があります。光源のすぐそばに鏡を寝かせ、浅い角度で光を当てる形^[2]。

スクリーンには、光源から直接届く光と、鏡で返ってきた光が重なる。

返ってきた光は、鏡の中の像から出てきたように見える。だから光源とその像が、2 つの波源としてはたらく^[2]。

光源が鏡面から高さ $h$ にあれば、像は $h$ だけ下にある。2 つの波源の間隔は $2h$ になる。

明暗が入れかわる

ここまではヤングの実験と同じですが、1 つだけ違います。鏡で返るときに位相が $\pi$ ずれる^[2]。

鏡面に接する場所は、2 つの波源から等距離。それでも暗くなる。位相の反転が起きている、いちばん分かりやすい証拠になります^[2]。

例：縞の間隔を出す

光源を鏡面から $0.50\mathrm{mm}$ 上に置き、$2.0\mathrm{m}$ 先のスクリーンで観察します。波長は $600\mathrm{nm}$。

波源の間隔は $2h=1.0\mathrm{mm}$ です。

$$\Delta x=\frac{\lambda L}{2h}=\frac{600\times 10^{-9}\times 2.0}{1.0\times 10^{-3}}=1.2\times 10^{-3}\mathrm{m}$$

$1.2\mathrm{mm}$ おきに縞が並ぶ。

例：暗線と明線の位置

鏡面の位置を $y=0$ とします。暗線はそこから $1.2\mathrm{mm}$ ごとに現れる。

$$y=0,1.2,2.4,3.6\mathrm{mm}$$

明線はそのあいだで、$0.6$、$1.8$、$3.0\mathrm{mm}$。ヤングの実験とちょうど入れかわった並びです。

電波でも起きる

低いところを飛ぶヘリコプターが送信所からの電波を受けると、直接届く波と地面で返る波が重なる^[2]。

高度が変わるにつれて経路差が変わり、受信の強さが上下する。ロイドの鏡と同じ配置です。

海面や滑走路でも同じことが起きる。波長が長いぶん、縞の間隔も数メートルから数十メートルになる。

ロイドの鏡のほうも確かめます。

よくあるミス

長さを数に置き換える。$0.3\mu \mathrm{m}$ という、目にも定規にも見えない量が、1 本、2 本と数えられる形になります。

参考