ヤングの実験と回折格子〜明線の条件と干渉縞の間隔

$2$ つのスリットを通った光をスクリーンに当てると、明暗の縞が並びます。光が波であることを、いちばん直接に見せる実験。

$1807$ 年にヤングが行ったこの実験で、光の波長まで測れるようになりました。当時は誰も知らなかった $10^{-7}$ m という長さが、ものさしで測れる縞の間隔から出てくる。

以下では干渉が見えにくい理由から始めて、経路差の出し方、明線の条件と縞の間隔、白色光を使った場合、そして回折格子までを扱います。計算例には、縞の間隔から波長を求める手順を置いた。

光の干渉が見えにくい理由

音の干渉なら、$2$ つのスピーカーを並べるだけで観測できる。光では、そう簡単にいかない。

理由は $2$ つある。$1$ つは波長の短さで、可視光は $400$ nm から $800$ nm ほどしかありません。

経路差を波長の程度にそろえる必要があるので、装置の精度が問われる。$1$ mm ずれただけで、縞が千本以上流れてしまう。

もう $1$ つは光源の性質です。電球のフィラメントでは、無数の原子がばらばらのタイミングで光を出す。

$2$ つの電球を並べても、位相の関係が保たれない。強め合う位置が目まぐるしく動き、平均されて模様が消える。

位相の関係が保たれた光をコヒーレントな光といいます。同じ光源から出た光を $2$ つに分ければ、この条件が満たせる。

ヤングの実験の仕組み

ヤングの装置は $3$ 段になっている。光源、$1$ つのスリット、$2$ つのスリット、そしてスクリーン。

最初の単スリット ${\mathrm{S}}_0$ が、コヒーレントにするための工夫です。ここを通った光は $1$ つの波源から広がる波になる。

その波が ${\mathrm{S}}_1$ と ${\mathrm{S}}_2$ に同時に届く。$2$ つのスリットは ${\mathrm{S}}_0$ から等距離にあるので、いつも同位相で振動する $2$ つの波源になる。

レーザーを使うなら ${\mathrm{S}}_0$ は要りません。もともと位相のそろった光が出ているので、いきなり複スリットに当てられる。

英語版 Wikipedia のヤングの実験の項目も、最初の開口が $2$ つのスリットに共通の波源を与える役割だと説明している。

経路差を図から出す

スリットの間隔を $d$、スクリーンまでの距離を $L$、中央から測った点 $\mathrm{P}$ の位置を $x$ とします。

${\mathrm{S}}_1$ と ${\mathrm{S}}_2$ から $\mathrm{P}$ までの距離の差が経路差です。${\mathrm{S}}_1$ から ${\mathrm{S}}_2\mathrm{P}$ へ垂線を下ろすと、切りとられた部分がその差になる。

$\theta$ は $\mathrm{P}$ を見込む角です。$L$ が $d$ よりも $x$ よりもずっと大きいので、$\sin \theta$ を $\tan \theta =x/L$ で置き換えられる。

$$\Delta =d\sin \theta \approx \frac{dx}{L}$$

フランス語版 Wikipedia のヤングのスリットの項目も、$D\gg d$ のもとで経路差を $dx/D$ としている。

近似が効くのは、実際の装置では $d$ が $0.1$ mm ほど、$L$ が数 m だから。桁が $4$ つ以上違うので、誤差は問題になりません。

明線と暗線の条件

経路差が波長の整数倍なら、山と山が重なって強め合う。

$$\frac{dx}{L}=m\lambda (m=0,\pm 1,\pm 2,\dots )$$

半波長の奇数倍なら弱め合い、暗線になる。

$$\frac{dx}{L}=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda$$

$m$ を次数といいます。$m=0$ の明線は経路差が $0$ の点で、スクリーンの中央にできる。

明線の位置を $x$ について解くと、次数に比例した等間隔の並びが出る。

$$x=\frac{m\lambda L}{d}$$

干渉縞の間隔

隣り合う明線の間隔は、$m$ を $1$ つ増やしたときの $x$ の変化です。

$$\Delta x=\frac{\lambda L}{d}$$

ドイツ語版 Wikipedia の二重スリット実験の項目も、縞の周期を $\lambda d/a$（スクリーン距離 $d$、スリット間隔 $a$）としている。記号が違うだけで同じ式。

この式には測れる量しか入っていません。$\Delta x$ と $L$ と $d$ をものさしで測れば、$\lambda$ が求まる。

$d$ だけが極端に小さい。この $1$ 本を細かく作れるかどうかが、実験の成否を分けます。

縞の間隔からわかること

$\Delta x=\lambda L/d$ の形を見れば、どうすれば縞が見やすくなるかがわかる。

スクリーンを遠ざければ $L$ が増えて縞が広がる。スリットの間隔を狭めても、$d$ が分母なので縞が広がる。

波長が長いほど縞は広い。赤い光の縞は、青い光の縞より間隔が大きくなる。

スリットを広げると縞が詰まるところが、直感に反します。装置を大きくしたのに、模様は細かくなる。

光の波長を測る

ヤングの実験の値打ちは、波長を数値で出せるところにあります。縞の間隔の式を $\lambda$ について解くだけ。

$$\lambda =\frac{\Delta x\cdot d}{L}$$

$\Delta x$ は数 mm、$d$ は $0.1$ mm 程度、$L$ は数 m。どれもふつうの道具で測れる長さです。

そこから $10^{-7}$ m という値が出てくる。直接は測りようのない長さを、測れる量の組み合わせで求めたところが、この実験の巧みさです。

白色光を使うと

単色光ではなく白色光を当てると、中央だけが白い縞になる。$m=0$ では経路差が $0$ で、どの波長も同時に強め合うから。

$m$ が $1$ 以上では、波長ごとに位置がずれる。$x=m\lambda L/d$ なので、波長の長い赤ほど中央から遠くへ来る。

その結果、$1$ 次の縞は内側が紫、外側が赤の帯になる。次数が上がるほど帯は広がり、やがて隣の次数と重なって色が濁る。

白色光で縞が中央付近にしか見えないのは、この重なりのため。単色光を使う理由もここにあります。

色が分かれるのは $1$ 次から先。中央だけは波長によらず条件を満たすので、白のまま残る。

回折格子

スリットを $2$ 本ではなく、何千本も並べたものが回折格子です。ガラスに等間隔の細い溝を刻み、削られていない部分がスリットとしてはたらく。

OpenStax の回折格子の節によれば、$1$ mm あたり $1000$ 本を超えるものもある。事実上、無限個のスリットが並んだ装置とみなせる。

原理はヤングの実験とまったく同じです。違うのはスリットの本数だけ。

格子定数

隣り合うスリットの間隔を格子定数といい、記号は $d$ を使います。$1$ mm あたりの本数の逆数になる。

$$d=\frac{1\mathrm{mm}}{N}$$

$1$ mm あたり $500$ 本なら、$d=1/500$ mm $=2.0\times 10^{-6}$ m。可視光の波長の数倍という細かさです。

問題文では本数で与えられることが多い。逆数をとって長さに直すところが、最初の一手になります。

回折格子の明線条件

隣り合うスリットからの光の経路差は、ヤングの実験と同じ $d\sin \theta$ です。強め合う条件も同じ形。

$$d\sin \theta =m\lambda$$

ヤングの実験と違い、遠方近似で $x/L$ に置き換えないことが多い。角度が大きくなるので、$\sin \theta$ のまま扱う。

$\sin \theta \le 1$ という制限から、見える次数には上限がある。$m\le d/\lambda$ を超える次数は現れない。

もとは同じ条件です。遠方近似を使うかどうかで、書き方が分かれているだけ。

なぜ回折格子のほうが鋭いのか

スリットが $2$ 本のときは、明線と明線のあいだが徐々に暗くなる。強め合う条件から少し外れても、$2$ つの波はまだかなり強め合うから。

スリットが $N$ 本になると事情が変わる。条件から少しずれただけで、$N$ 個の波の位相がばらばらになり、互いに打ち消し合う。

OpenStax も、副極大の強さが $1/N^2$ に比例して消えていき、主極大だけが細く明るく残ると述べている。

図の下は $8$ 本の場合です。明線の位置は同じままで、幅だけが細くなっている。

位置が変わらないのは、条件式に $N$ が入っていないから。本数が効くのは鋭さのほうだけです。

分光への応用

波長ごとに $\sin \theta$ が違うので、回折格子に白色光を当てると光が色に分かれる。$d\sin \theta =m\lambda$ で $\lambda$ が大きいほど角度が大きい。

プリズムでも光は分かれますが、角度と波長の関係は単純ではありません。回折格子なら式が $1$ 本で書けるので、角度を測れば波長がそのまま出る。

星の光を回折格子で分けると、暗い線の並びが現れる。どの元素がそこにあるかを、この線から読みとれる。

計算例：干渉縞の間隔を出す

波長 $600$ nm の光を、間隔 $0.20$ mm の複スリットに当てます。$2.0$ m 先のスクリーンにできる縞の間隔を求めます。

単位をメートルにそろえてから代入する。

$$\Delta x=\frac{\lambda L}{d}=\frac{600\times 10^{-9}\times 2.0}{0.20\times 10^{-3}}$$

$$\Delta x=6.0\times 10^{-3}\mathrm{m}=6.0\mathrm{mm}$$

$6$ mm 間隔なら、目でも数えられます。波長は $10^{-7}$ m の桁なのに、縞は mm の桁になっている。

$L/d$ が $10^4$ という大きな倍率としてはたらいているためです。装置そのものが拡大器の役目をしている。

計算例：縞の間隔から波長を測る

間隔 $0.30$ mm の複スリットを使い、$1.5$ m 先のスクリーンで縞の間隔が $2.5$ mm でした。光の波長を求めます。

式を $\lambda$ について解いてから入れる。

$$\lambda =\frac{\Delta x\cdot d}{L}=\frac{2.5\times 10^{-3}\times 0.30\times 10^{-3}}{1.5}$$

$$\lambda =5.0\times 10^{-7}\mathrm{m}=500\mathrm{nm}$$

緑の光にあたる波長が出ました。$3$ つの長さを測るだけで、原子の大きさに近い量が求まる。

計算例：回折格子で明線の角度を出す

$1$ mm あたり $500$ 本の回折格子に、波長 $600$ nm の光を垂直に当てます。$1$ 次の明線が現れる角度を求めます。

まず格子定数を長さに直す。

$$d=\frac{1\times 10^{-3}}{500}=2.0\times 10^{-6}\mathrm{m}$$

明線の条件に $m=1$ を入れます。

$$\sin \theta =\frac{m\lambda }{d}=\frac{600\times 10^{-9}}{2.0\times 10^{-6}}=0.30$$

$\sin \theta =0.30$ となる角は約 $17$ 度。ヤングの実験より角度がずっと大きく、遠方近似は使えません。

計算例：見える次数の上限

同じ回折格子と同じ波長で、何次の明線まで現れるかを調べます。

$\sin \theta \le 1$ から、次数に上限がつく。

$$m\le \frac{d}{\lambda }=\frac{2.0\times 10^{-6}}{600\times 10^{-9}}=3.33$$

したがって $3$ 次まで。$4$ 次を満たす角度は存在しないので、スクリーンに現れません。

格子を細かくして $d$ を小さくすると、次数の上限は下がります。かわりに $1$ 次の角度が大きくなり、色の分離はよくなる。

計算例：回折格子で波長を測る

格子定数 $2.0\times 10^{-6}$ m の回折格子で、$2$ 次の明線が $\sin \theta =0.60$ の向きに現れました。波長を求めます。

条件式を $\lambda$ について解く。

$$\lambda =\frac{d\sin \theta }{m}=\frac{2.0\times 10^{-6}\times 0.60}{2}$$

$$\lambda =6.0\times 10^{-7}\mathrm{m}=600\mathrm{nm}$$

角度を測るだけで波長が出ました。分光器がこの仕組みで動いています。

よくある誤り

$d\sin \theta =m\lambda$ の $1$ 本を軸に置き、遠方近似を使うかどうかで書き分ける。この整理で、$2$ つの実験を別々に覚える必要がなくなります。

参考文献