単スリットの回折と分解能〜すきまの幅と広がりの関係

すきまを狭めていくと、通り抜けた光は広がる。細くすれば細い光線になりそうなのに、逆になる。

広がり方は波長とすきまの幅の比で決まる。暗くなる向きが先に決まり、その内側が中央の明るい帯になる^[1]。

$a sin θ = mλ (m = \pm 1, \pm 2, \dots)$

$a$ がすきまの幅です。この式が与えるのは明線ではなく暗線の向き。 $m = 0$ が入っていないところに、ヤングの実験との違いが出ています。

狭めるほど広がる

$sin θ = \frac{λ}{a}$ が第 1 暗線の向きです。 $a$ が小さいほど $sin θ$ は大きくなる。

すきまが波長と同じくらいまで狭まると、 $sin θ$ が $1$ に近づいて光はほぼ半円状に広がります^[1]。

逆に $a$ が波長よりずっと大きければ、 $sin θ$ はほとんど $0$ 。まっすぐ抜けたように見えます。

すきまを狭めるほど、中央の山が横へ伸びていく。山が高くなるのではなく、広がるほう。

暗くなる条件が先に決まる

すきまの中の各点が、それぞれ波源になると考える。スクリーン上のある点には、無数の波が集まる。

これらが打ち消し合うかどうかを、ペアを作って調べる^[1]。

すきまを上下 2 つに分け、上半分の点と、そこから $\frac{a}{2}$ だけ下の点をペアにします。

このペアの経路差は $\frac{a}{2} sin θ$ 。これが $\frac{λ}{2}$ になると、2 つは打ち消し合います。

すべてのペアで同時に成り立つので、その向きは真っ暗になる。条件を整理すると $a sin θ = λ$ です。

2 番目、3 番目の暗線

今度はすきまを 4 等分し、隣り合う区画どうしでペアを作ります。各ペアの経路差は $\frac{a}{4} sin θ$ 。

これが $\frac{λ}{2}$ になる向きでも、全体が打ち消し合う。整理すると $a sin θ = 2 λ$ 。

$2 n$ 等分すれば $a sin θ = nλ$ 。これで $m = \pm 1, \pm 2, \dots$ がそろいました。

$m = 0$ が抜けているのは、そこが打ち消しではなく最も明るい向きだからです。

中央の明るい帯の幅

第 1 暗線までが中央の帯です。スクリーンまでの距離を $L$ とすると、角が小さいときは次のように書けます。

$sin θ \approx tan θ = \frac{y}{L}, y_{1} = \frac{λ L}{a}$

中央の帯は上下に $y_{1}$ ずつ広がるので、幅はその 2 倍。

$W = \frac{2 λ L}{a}$

例：中央の帯の幅を出す

波長 $600 nm$ 、すきまの幅 $0.10 mm$ 、スクリーンまで $2.0 m$ とします。

$W = \frac{2 \times 600 \times 1 0 ^{- 9} \times 2.0}{1.0 \times 1 0 ^{- 4}} = 2.4 \times 1 0^{- 2} m$

$24 mm$ です。すきまの幅の $240$ 倍にも広がっている。

例：すきまを半分にする

$a = 0.050 mm$ にすると、 $W$ は $48 mm$ になる。

狭めたのに 2 倍に広がった。 $a$ が分母にいるので、細くするほど広がる。

例：第 1 暗線の角

同じ条件で角を出す。

$sin θ_{1} = \frac{λ}{a} = \frac{600 \times 1 0 ^{- 9}}{1.0 \times 1 0 ^{- 4}} = 6.0 \times 1 0^{- 3}$

$θ_{1} = 0.3 4^{\circ}$ 。小さい角なので、 $sin θ \approx tan θ$ の近似がよく効く。

ヤングの実験との違い

2 つの式は形が似ていますが、意味が違います。

ヤングの実験

$d sin θ = mλ$ は明線の条件。 $d$ はスリットどうしの間隔で、 $m = 0$ が中央の明線

単スリット

$a sin θ = mλ$ は暗線の条件。 $a$ はすきまの幅で、 $m = 0$ は入らない

同じ $sin θ = mλ / (長さ)$ の形なのに、片方は明るく、片方は暗い。何の長さかを先に確かめる。

例：とり違えるとどうなるか

すきま幅 $0.10 mm$ の単スリットで、 $m = 1$ を明線と読んでしまったとします。

出てくる角は同じ $0.3 4^{\circ}$ ですが、実際にはそこが暗い。明暗が入れかわった答えになります。

実験では中央が明るいかどうかを見れば区別がつく。単スリットの中央は必ず明るい。

丸い穴だと輪ができる

すきまが丸い穴なら、パターンは同心円になります。中央の丸い明るい部分をエアリーディスクといいます^[2]。

暗い輪の 1 本目までの角は、細長いすきまのときより少し外側です。

$sin θ = 1.22 \cdot \frac{λ}{D}$

$D$ が穴の直径。 $1.22$ という係数は、丸い形から出てくる数です^[2]。

レイリーの基準

2 つの星が近すぎると、それぞれのエアリーディスクが重なって 1 つに見えます。

片方の中心が、もう片方の 1 本目の暗い輪の上に来たところが見分けの限界^[3]。これをレイリーの基準といいます。

$θ_{m i n} = 1.22 \cdot \frac{λ}{D}$

角が小さいので、 $sin θ$ をそのまま $θ$ とみなしています。単位はラジアン。

例：口径 8 cm の望遠鏡

$λ = 550 nm$ とします。

$θ_{m i n} = 1.22 \times \frac{550 \times 1 0 ^{- 9}}{0.080} = 8.4 \times 1 0^{- 6} rad$

秒角に直すと $1.7$ 秒角ほど。これより近い 2 つの星は、どんなに倍率を上げても 1 つに見えます。

例：口径を 2 倍にする

$D = 16 cm$ にすると $θ_{m i n}$ は半分の $0.86$ 秒角。

口径が分母にいるので、大きいほど細かく見えます^[3]。望遠鏡の性能が口径で語られる理由がここにある。

倍率を上げても見えない

倍率は接眼レンズを替えれば自由に変えられる。ところが分解能は口径で決まっていて、倍率では動かない。

限界を超えて倍率を上げると、ぼやけた像が大きくなるだけです。これを無効倍率といいます。

見えるものを増やしたければ、口径を大きくするか、波長の短い光を使うしかない^[2]。

例：人の目の分解能

瞳の直径を $2.0 mm$ 、 $λ = 550 nm$ とします。

$θ_{m i n} = 1.22 \times \frac{550 \times 1 0 ^{- 9}}{2.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 3.4 \times 1 0^{- 4} rad$

明視の距離 $25 cm$ で見分けられる長さは $3.4 \times 1 0^{- 4} \times 0.25 = 8.4 \times 1 0^{- 5} m$ 。

$0.08 mm$ ほどです。実測でも同じ桁の値が知られています^[3]。

波長を短くする道

$θ_{m i n}$ は波長にも比例する。青い光のほうが赤い光より細かく見える。

電子の波は可視光よりはるかに短い波長を持ちます。電子顕微鏡が分子の並びまで見えるのは、この項が効くためです^[2]。

顕微鏡では、レンズと試料のあいだを屈折率の高い油で満たす手もあります。媒質の中で波長が縮むので、そのぶん細かく見える^[3]。

幅 $0.20 mm$ の単スリットに波長 $500 nm$ の光を当て、 $1.0 m$ 先のスクリーンで観察します。中央の明るい帯の幅はいくらですか。

$2.5 mm$
$5.0 mm$
$1.25 mm$

__RESULT__

$W = \frac{2 λ L}{a} = \frac{2 \times 500 \times 1 0 ^{- 9} \times 1.0}{2.0 \times 1 0 ^{- 4}} = 5.0 \times 1 0^{- 3} m$ です。 $2.5 mm$ は中央から第 1 暗線までの距離で、幅はその 2 倍になります。

分解能のほうも確かめます。

口径 $10 cm$ の望遠鏡で $λ = 500 nm$ の光を見ます。見分けられる最小の角はおよそいくらですか。

$5.0 \times 1 0^{- 6} rad$
$6.1 \times 1 0^{- 6} rad$
$6.1 \times 1 0^{- 4} rad$

__RESULT__

$θ_{m i n} = 1.22 \times \frac{500 \times 1 0 ^{- 9}}{0.10} = 6.1 \times 1 0^{- 6} rad$ になります。 $5.0 \times 1 0^{- 6}$ は $1.22$ を落とした値、 $6.1 \times 1 0^{- 4}$ は口径をミリメートルのまま入れた値です。

よくある誤り

a sin θ = mλ

を明線の条件だと考える。単スリットでは暗線の条件です。

m = 0

を式に入れる。中央は打ち消しではなく、いちばん明るい向きになります。

a

をスリットどうしの間隔と読む。単スリットの

a

はすきまそのものの幅です。

すきまを狭めれば光が細くなると思う。

a

が分母なので、狭めるほど広がります。

中央から第 1 暗線までを帯の幅とする。上下に広がるので 2 倍にします。

倍率を上げれば細かく見えると考える。分解能は口径と波長で決まっていて、倍率では動きません。

すきまの幅と波長の比。この 1 つの比が、光の広がりも望遠鏡の限界も決めています。細くすれば鋭くなるという直感が、波では通りません。

参考

Single-Slit Diffraction. University Physics Volume 3, OpenStax.

Circular Apertures and Resolution. University Physics Volume 3, OpenStax.

*Das Auflösungsvermögen*. Lernplattform Physik, Universität Göttingen.

細くすれば細い光線になりそうなのに、逆に広がります。$a\sin\theta = m\lambda$ が与えるのは明線ではなく暗線の向きで、$m = 0$ が入らない。すきまを上下 2 つに分けてペアを作ると、経路差が半波長になる向きですべてが打ち消し合う、という筋道で出ます。中央の帯の幅は $2\lambda L/a$ なので、幅 0.10 mm のすきまで 600 nm の光なら 2.0 m 先で 24 mm。丸い穴では係数が 1.22 になり、そのままレイリーの基準につながる。口径 8 cm の望遠鏡は 1.7 秒角までしか見分けられず、接眼レンズを替えて倍率を上げても動きません。人の目の 0.08 mm、電子顕微鏡が細かく見える理由まで。