音の強さとデシベルは逆二乗則で距離とともに弱まる

音源から離れると音は小さくなる。減り方は決まっていて、距離が 2 倍になると強さは 4 分の 1^[2]。

デシベルで言えば $6$ 下がる。$10$ 倍離れれば $20$ 下がる。この数だけ覚えておけば、たいていの場面で足ります。

$$I=\frac{P}{4\pi r^2}$$

出ていく音のエネルギーは変わらないのに、広がる面積が増えるので薄まる。それだけの話^[2]。

広がる面積で薄まる

音源から出た音は、球面状に広がっていく。半径 $r$ の球の表面積は $4\pi r^2$。

$1{\mathrm{m}}^2$ あたりを通るエネルギーが、音の強さ $I$ です。単位は $W/{\mathrm{m}}^2$^[1]。

距離が 2 倍になれば面積は 4 倍。同じ出力を 4 倍の広さへ配るので、$1{\mathrm{m}}^2$ あたりは 4 分の 1 になる。

音源が出す量そのもの、つまり音響出力は距離と関係ない^[3]。変わるのは配られ方だけ。

例：1 W の音源

$P=1.0\mathrm{W}$ の点音源を考えます。$1.0\mathrm{m}$ の位置での強さを出す。

$$I=\frac{1.0}{4\pi \times 1.0^2}=8.0\times 10^{-2}W/{\mathrm{m}}^2$$

$10\mathrm{m}$ では $100$ 分の $1$ になり、$8.0\times 10^{-4}W/{\mathrm{m}}^2$^[2]。

例：面積で確かめる

半径 $1.0\mathrm{m}$ の球の表面積は $4\pi \times 1.0^2=12.6{\mathrm{m}}^2$。

半径 $2.0\mathrm{m}$ なら $4\pi \times 2.0^2=50.3{\mathrm{m}}^2$ です。ちょうど 4 倍になっている。

同じ $1.0\mathrm{W}$ を $12.6$ で割るか $50.3$ で割るか。それだけの違いから、$6$ デシベルという段差が出てきます。

例：耳に入るエネルギー

耳の穴の断面積を $0.5\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$、つまり $5\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2$ とします。

ふつうの会話の $60$ dB は $1.0\times 10^{-6}W/{\mathrm{m}}^2$ なので、耳に入る仕事率は次のとおり。

$$1.0\times 10^{-6}\times 5\times 10^{-5}=5\times 10^{-11}\mathrm{W}$$

1 時間ぶんためても $1.8\times 10^{-7}\mathrm{J}$。$1\mathrm{mg}$ の砂粒を $2\mathrm{cm}$ 持ち上げる程度です。

耳がどれだけ小さなエネルギーを拾っているかが分かります。

耳は比で感じる

強さが $10$ 倍になっても、$10$ 倍うるさいとは感じない。そこで基準との比を対数にした量を使います^[1]。

$$L=10{\log }_{10}\frac{I}{I_0}[\mathrm{dB}]$$

$I_0=1.0\times 10^{-12}W/{\mathrm{m}}^2$。人がやっと聞きとれる強さです^[1]。

例：デシベルに直す

さきほどの $8.0\times 10^{-4}W/{\mathrm{m}}^2$ を計算します。

$$L=10{\log }_{10}\frac{8.0\times 10^{-4}}{1.0\times 10^{-12}}=10{\log }_{10}(8.0\times 10^8)=89\mathrm{dB}$$

代表的な値を並べておきます^[1]。

$60$ dB と $80$ dB では、強さが $100$ 倍違います。感じ方の差はもっと小さい。

距離が 2 倍で 6 下がる

強さが 4 分の 1 になるので、デシベルの変化は次のとおり。

$$10{\log }_{10}\frac{1}{4}=-6.0\mathrm{dB}$$

横軸を距離の桁にとると、グラフは直線になります。$10$ 倍ごとに $20$ ずつ下がる直線^[3]。

例：10 倍離れる

$1.0\mathrm{m}$ で $109$ dB の音は、$10\mathrm{m}$ で $89$ dB、$100\mathrm{m}$ で $69$ dB になる。

$100$ dB を切るのは意外に早い。工事現場の音が数百メートル先で気にならなくなるのは、この減り方によるものです。

音源を増やすと

同じ音源を 2 台にすると、強さは 2 倍。デシベルでは $10{\log }_{10}2=3.0$ だけ上がる^[1]。

$10$ 台なら $10$ 上がる。$100$ 台でようやく $20$ です。

例：スピーカーを 4 台にする

$1$ 台で $80$ dB だった場所に、同じスピーカーを $4$ 台置きます。

$$10{\log }_{10}4=6.0\mathrm{dB}$$

$86$ dB になる。台数を 4 倍にするのと、距離を半分にするのは同じ効き目。

音を大きくしたいとき、機械を増やすより近づくほうが早い。距離が効くのは 2 乗のため。

例：大きさの違う 2 つの音を足す

$80$ dB の音と $74$ dB の音を、同じ場所で重ねます。デシベルのまま足してはいけません。

いったん強さに戻す。$80$ dB は $1.0\times 10^{-4}$、$74$ dB は $2.5\times 10^{-5}W/{\mathrm{m}}^2$。

$$1.0\times 10^{-4}+2.5\times 10^{-5}=1.25\times 10^{-4}$$

デシベルに直すと $81$ dB。$6$ 小さい音を足しても、$1$ しか増えない。

うるさい場所で小さな音を足しても効かない。対策するなら、大きいほうから手をつけます。

例：台数を減らす

$10$ 台の機械が動いている場所で、$1$ 台だけ止めたとします。

$$10{\log }_{10}\frac{9}{10}=-0.46\mathrm{dB}$$

ほとんど変わらない。半分の $5$ 台まで止めて、ようやく $3$ 下がる。

$1$ 台に減らせば $10$ 下がります。減らす効果は、割合で効いてくる。

3 デシベルという段差

$3$ dB は強さがちょうど 2 倍になる段差です^[1]。

人が違いに気づける、いちばん小さい段差でもあります^[1]。$1$ や $2$ では、並べて比べないと分かりにくい。

だから機械を 2 台に増やしても、気づかれるかどうかの境目にしかならない。距離を詰めるほうが、はるかに大きく効きます。

距離の比から直接出す

$2$ 倍や $10$ 倍でない距離でも、比さえ分かれば一気に出せます。

$$L_2=L_1-20{\log }_{10}\frac{r_2}{r_1}$$

強さが $\frac{1}{r^2}$ なので、対数の中で $2$ 乗が前へ出て $20$ になる。$2$ 倍を入れれば $-6$、$10$ 倍を入れれば $-20$ と、さきほどの値に戻ります。

例：どこまで離れれば静かになるか

$1.0\mathrm{m}$ で $110$ dB の音源を、$55$ dB まで下げたいとします。

$$55=110-20{\log }_{10}{r}_2,{\log }_{10}{r}_2=2.75$$

$r_2=5.6\times 10^2\mathrm{m}$。$560\mathrm{m}$ ほど離れる必要があります。

$55$ 下げるのに $560$ 倍の距離。デシベルが対数であることの重みが、ここに出ています。

例：中途半端な距離

$3.0\mathrm{m}$ で $75$ dB の音を、$7.0\mathrm{m}$ で測ります。

$$75-20{\log }_{10}\frac{7.0}{3.0}=75-20\times 0.368=67.6\mathrm{dB}$$

$68$ dB ほど。$2$ 倍と $10$ 倍のあいだも、同じ式でつながっています。

自由音場という条件

$\frac{1}{r^2}$ で減るのは、まわりに何もない場所での話^[2]。これを自由音場といいます。

コンサートホールでは、後ろの席でもそれほど小さくならない。直接届く音より、返ってきた音のほうが多いためです。

音の強さと振幅

強さは振幅の 2 乗に比例する。振幅を 2 倍にすれば、強さは 4 倍。

デシベルでは $6$ 上がる。距離を半分にしたときと同じ変化になる。

例：振幅を 10 倍にする

強さは $100$ 倍、レベルは $20$ 上がる。

$60$ dB の会話が $80$ dB になる。振幅で $10$ 倍というのは、それだけ大きな違いです。

台数のほうも確かめます。

検算のしかた

距離を変えた計算では、比だけを見れば答えが出ます。$2$ 倍で $-6$、$10$ 倍で $-20$。この 2 つを組み合わせれば、たいていの数はすぐに確かめられる。

$40\mathrm{m}$ から $4\mathrm{m}$ へなら、$10$ 倍近づいたので $+20$。$3\mathrm{m}$ から $12\mathrm{m}$ なら $4$ 倍なので $-12$ です。

台数と距離を混ぜたときは、それぞれのデシベルを足します。$4$ 台に増やして $2$ 倍離れたなら、$+6$ と $-6$ で差し引き $0$。

出た答えが代表値の表から大きく外れていたら、どこかで桁を落としています。$1\mathrm{W}$ の音源で $1\mathrm{m}$ なら $109$ dB という値を、目安として持っておくとよい。

音は距離で薄まるだけで、消えてなくなるわけではありません。広がった面積ぶん配られている。それを比で読み替えたものがデシベルです。

出典