レンズの公式と作図：凸レンズと凹レンズ、実像と虚像

虫めがねをのぞくと文字が大きく見え、遠ざけると急に上下が逆さまになります。同じレンズでも、物体の位置によって見え方がまるで変わる。

分かれ目は焦点の内側か外側かです。位置と像の関係は $1$ 本の式にまとまり、作図でも確かめられる。

以下ではレンズが光を曲げる仕組みから始めて、作図に使う $3$ 本の光線、写像公式と符号の約束、物体の位置による像の変化、鏡の場合までを扱います。計算例には、像の位置と倍率を出す手順を置いた。

レンズが光を集める仕組み

レンズが光を曲げているのは屈折です。ガラスに入るときと出るときの $2$ 回、光は向きを変える。

凸レンズは中心が厚く、周辺が薄い。光軸から遠いところを通る光ほど、面が斜めになるので大きく曲げられる。

その結果、光軸に平行に入った光がすべて $1$ 点に集まる。中心に近い光はあまり曲がらず、遠い光は強く曲がるという差が、ちょうど釣り合う形になっている。

凹レンズは逆で、中心が薄く周辺が厚い。平行に入った光は広がる向きへ曲げられます。

焦点と焦点距離

光軸に平行な光が集まる点を焦点、レンズの中心から焦点までの距離を焦点距離といいます。記号は $f$。

凸レンズでは、実際に光が集まる点が焦点になる。紙を置けば、そこに小さな明るい点ができる。

凹レンズでは光が広がるので、集まる点はありません。広がった光を逆にたどると $1$ 点で交わり、そこを焦点とする。

焦点はレンズの両側に $1$ つずつあります。どちらの向きから光を入れても、焦点距離は同じ。

作図に使う 3 本の光線

像の位置は作図で求められる。物体の先端から出る光のうち、進み方がわかっている $3$ 本を選ぶ。

$3$ 本のうち $2$ 本を描けば、交点が像の位置になる。$3$ 本目は検算に使う。

中心を通る光がまっすぐ進むのは、その部分が薄い平行な板に近いためです。厚みがあれば少しずれますが、薄いレンズでは無視できる。

図では物体を $2F$ の位置に置いています。像も反対側の $2F$ にでき、大きさは物体と同じ。

実像と虚像

光が実際に集まってできる像を実像といいます。その位置にスクリーンを置けば、像が映る。

図の像は実像で、上下が逆さまになっている。左右も逆になるので、点対称に反転した形。

一方、光が集まらずに、逆にたどった先で交わって見える像を虚像といいます。スクリーンには映らず、レンズをのぞいたときにだけ見える。

虫めがねで見る拡大された文字が虚像です。紙を置いても、そこには何も映らない。

写像公式

物体からレンズまでの距離を $a$、レンズから像までの距離を $b$、焦点距離を $f$ とします。$3$ つの間には次の関係が成り立つ。

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$$

ドイツ語版 Wikipedia のレンズの式の項目も、物体距離 $g$ と像距離 $b$ と焦点距離 $f$ で同じ形の式を挙げている。

符号の約束を決めておく必要がある。実像なら $b>0$、虚像なら $b<0$。凸レンズは $f>0$、凹レンズは $f<0$ とする。

この約束のおかげで、場合分けをせずに計算できます。$b$ の符号を見れば、実像か虚像かがそのまま読める。

倍率

像の大きさと物体の大きさの比を倍率といいます。距離の比で書ける。

$$m=\left|\frac{b}{a}\right|$$

像までの距離が物体までの距離より長ければ拡大、短ければ縮小になる。距離の比だけで決まるところが使いやすい。

作図の中心光線から導けます。物体と像は、レンズの中心を頂点とする相似な三角形の底辺にあたる。

物体の位置で像がどう変わる

凸レンズでは、物体の位置によって $5$ 通りに分かれる。境目になるのは焦点と、その $2$ 倍の位置。

$a=f$ のとき、レンズを出た光は平行になる。どこまで行っても交わらないので、像ができない。

物体を焦点に近づけていくと、像はどんどん遠くへ逃げていく。焦点を越えた瞬間に、反対側へ回り込んで虚像に変わる。

虫めがねで文字を見ながらレンズを遠ざけると、ある位置で像がぼやけて消え、そのあと逆さまになる。この切り替わりが焦点の位置です。

図の点線が、目が光をたどる向きです。実際の光は交わっていないのに、その先で交わったように見える。

凹レンズが作る像

凹レンズでは、物体をどこに置いても像の種類は変わりません。いつでも正立の縮んだ虚像になる。

理由は光の広がり方にあります。凹レンズを出た光は必ず発散するので、実際に交わることがない。

写像公式でも確かめられる。$f<0$ なので $1/b=1/f-1/a$ は必ず負になり、$b<0$ が出る。

近視の眼鏡に凹レンズが使われるのは、この発散を利用するためです。網膜の手前で結んでしまう像を、奥へ押しやる。

虫めがねとカメラ

同じ凸レンズでも、使い方で役割が変わる。虫めがねは物体を焦点の内側に置き、拡大した虚像を見る道具。

カメラは物体を焦点よりずっと遠くに置きます。$a$ が大きいので $b$ は $f$ に近づき、小さな倒立実像がセンサーの上にできる。

ピント合わせは $b$ の調整です。物体が近づけば像は遠ざかるので、レンズを前へ繰り出す。

プロジェクターは物体を焦点のすぐ外側に置く。$f<a<2f$ なので、拡大された倒立実像がスクリーンに映る。フィルムを逆さに入れておく理由がここにあります。

平面鏡

平面鏡にできる像は、鏡の奥に物体と同じ距離だけ離れた位置にできます。大きさは物体と同じ。

光は鏡の裏へは進んでいません。反射した光を逆にたどると鏡の奥で交わるので、虚像になる。

鏡に映った自分が左右反転して見えるのは、上下と前後の扱いが違うから。実際に入れ替わっているのは前後です。

球面鏡

鏡の面を球の一部にすると、光を集めたり広げたりできる。へこんだ側を使うものが凹面鏡、ふくらんだ側が凸面鏡。

球の半径を $R$ とすると、焦点距離はその半分になる。

$$f=\frac{R}{2}$$

OpenStax の球面鏡の節も、近軸近似のもとで焦点距離が曲率半径の半分になるとしています。

凹面鏡は光を集めるので、凸レンズと同じはたらきをする。反射望遠鏡の主鏡や、化粧用の拡大鏡がこれ。

凸面鏡は光を広げ、いつでも縮んだ正立の虚像を作る。カーブミラーや自動車のサイドミラーに使われるのは、広い範囲が一度に見えるからです。

鏡の写像公式

球面鏡でも、レンズとまったく同じ形の式が使えます。

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f},m=\left|\frac{b}{a}\right|$$

符号の約束も同じ考え方。凹面鏡は $f>0$、凸面鏡は $f<0$ とし、鏡の裏側にできる虚像では $b<0$ になる。

覚える式が増えないところが利点です。レンズで身につけた手順が、そのまま鏡でも通じる。

半径を測れば焦点距離が出る。レンズのように、あらかじめ焦点を探す必要はありません。

眼鏡と近視・遠視

目はレンズと同じ仕組みで、網膜の上に倒立実像を作る。ピント合わせは水晶体の厚みを変えて行う。

近視では像が網膜の手前で結んでしまう。凹レンズで光を少し広げてやると、結ぶ位置が奥へ移る。

遠視では像が網膜の奥に結ぼうとする。凸レンズで光を集めてやれば、手前へ引き戻せます。

眼鏡の度数は焦点距離の逆数で表され、単位はジオプトリー。$f=-0.5$ m の凹レンズなら $-2.0$ ジオプトリーになります。

計算例：凸レンズが作る実像

焦点距離 $10$ cm の凸レンズの前 $30$ cm に物体を置く。像の位置と倍率を求めます。

写像公式に代入する。

$$\frac{1}{30}+\frac{1}{b}=\frac{1}{10}$$

$$\frac{1}{b}=\frac{1}{10}-\frac{1}{30}=\frac{3-1}{30}=\frac{2}{30}$$

したがって $b=15$ cm。正の値なので実像で、レンズの反対側 $15$ cm の位置にできます。

倍率は距離の比で出る。

$$m=\left|\frac{15}{30}\right|=0.5$$

物体の半分の大きさの倒立実像になりました。$a>2f$ なので、表の $1$ 行目と合っています。

計算例：虫めがねが作る虚像

同じ焦点距離 $10$ cm のレンズの前 $6.0$ cm に物体を置く。今度は焦点の内側です。

$$\frac{1}{b}=\frac{1}{10}-\frac{1}{6}=\frac{3-5}{30}=-\frac{2}{30}$$

$b=-15$ cm となり、符号が負になりました。虚像で、物体と同じ側の $15$ cm の位置にできる。

$$m=\left|\frac{-15}{6}\right|=2.5$$

$2.5$ 倍に拡大された正立の虚像です。虫めがねとして使うときの見え方が、この計算で出てくる。

計算例：凹レンズが作る像

焦点距離 $20$ cm の凹レンズの前 $30$ cm に物体を置きます。凹レンズなので $f=-20$ cm。

$$\frac{1}{b}=-\frac{1}{20}-\frac{1}{30}=-\frac{3+2}{60}=-\frac{5}{60}$$

$b=-12$ cm で虚像。倍率は $12/30=0.4$ で、縮んだ正立像になります。

物体をどこに置いても $1/b$ は負のまま。凹レンズが実像を作らないことが、式からも読める。

計算例：凹面鏡が作る像

曲率半径 $40$ cm の凹面鏡の前 $60$ cm に物体を置きます。焦点距離は半径の半分。

$$f=\frac{40}{2}=20\mathrm{cm}$$

$$\frac{1}{b}=\frac{1}{20}-\frac{1}{60}=\frac{3-1}{60}=\frac{2}{60}$$

$b=30$ cm となり、鏡の前 $30$ cm に倒立実像ができます。倍率は $30/60=0.5$。

物体が曲率中心 $C$ の外側にあるので、像は $F$ と $C$ のあいだにできる。作図で描いた位置とも合っています。

計算例：焦点距離を求める

物体をレンズの前 $24$ cm に置いたところ、反対側 $12$ cm の位置に実像ができた。焦点距離を求めます。

写像公式をそのまま使う。

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{24}+\frac{1}{12}=\frac{1+2}{24}=\frac{3}{24}$$

したがって $f=8$ cm です。実験でレンズの焦点距離を測るときは、この手順を使う。

物体と像の距離を入れ替えても同じ焦点距離が出ます。$a$ と $b$ が式の中で対等だから。

よくある誤り

作図と計算は同じことを $2$ 通りで見ているだけです。答えが合わないときは、どちらかで符号をとり違えている。

参考文献