円運動する音源のドップラー効果：最も高く聞こえる瞬間

ひもの先にブザーをつけて振り回すと、音の高さが周期的に上下します。いちばん高く聞こえるのは、音源が自分にいちばん近づいた瞬間ではない。

高くなるのは、音源が自分へ真っすぐ向かって動いている瞬間です。円の上では、最も近い点から 4 分の 1 周ずれた位置にあたる。

近い点と遠い点では、音の高さはもとに戻ります。そこでは音源が視線を横切るだけで、距離が縮みも伸びもしないため。

効くのは視線方向の速度だけ

ドップラー効果を起こすのは、音源と観測者を結ぶ線に沿った速度成分だけです^[3]。この成分を視線速度といいます。

線を横切る向きの成分は、距離を変えない。波長は縮まず、聞こえる高さも変わらない。

だから「速く動いている」ことと「高く聞こえる」ことは別です。向きしだいで、同じ速さでも効き方が変わる。

速度を 2 つに分ける

音源の速さを $v$、速度と視線のなす角を $\phi$ とします。視線方向の成分は $v\cos \phi$。

赤い成分だけがドップラー効果を作る。青い成分は距離を変えないので、音の高さには効かない。

$\phi =0^{\circ }$ なら $\cos \phi =1$ で、まっすぐ近づく場合の式に戻る。$\phi =90^{\circ }$ なら $\cos \phi =0$ で、効果は消える。

音源が動くときの式

音源が観測者へ向かって速さ $u$ で動くとき、観測される振動数は次のようになります^[1]。

$$f=f_0\cdot \frac{V}{V-u}$$

$V$ が音速、$f_0$ が音源の出す振動数。音源が 1 周期のあいだに $uT$ だけ進むので、波長がそのぶん縮むという導出です^[2]。

円運動では、この $u$ が時間とともに変わる。$u=v\cos \phi$ を入れるだけ。

$$f=f_0\cdot \frac{V}{V-v\cos \phi }$$

円のどこで最大になるか

観測者が円から十分に離れているとします。視線の向きは、音源がどこにいてもほぼ同じ^[1]。

このとき速度が視線と平行になるのは、円の 2 か所だけです。観測者から見て、円の左右の端にあたる点。

矢印が速度です。観測者のほうを向いたときに数値が最大になり、反対を向いたときに最小になる。

矢印が視線と直交する瞬間、つまり音源が手前や奥にいるときは、$288$ Hz に戻っている。

いちばん近い点では変わらない

近い点で最大になりそうに感じます。実際にはそこで $\phi =90^{\circ }$ になり、視線速度は $0$。

距離がいちばん小さい場所と、距離の変わり方がいちばん大きい場所は違う。効くのは後者のほう。

例：ブザーを振り回す

$f_0=288\mathrm{Hz}$、速さ $v=20m/s$、音速 $V=340m/s$ とします。

最大になるのは $\cos \phi =1$ のとき。

$$f_{\max }=288\times \frac{340}{340-20}=288\times \frac{340}{320}=306\mathrm{Hz}$$

最小になるのは $\cos \phi =-1$ のとき。

$$f_{\min }=288\times \frac{340}{340+20}=288\times \frac{340}{360}=272\mathrm{Hz}$$

$306$ Hz と $272$ Hz のあいだを行き来する。幅は $34$ Hz です。

例：円の半径と周期

半径 $2.0\mathrm{m}$ で速さ $20m/s$ なら、1 周にかかる時間は次のとおり。

$$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi \times 2.0}{20}=0.63\mathrm{s}$$

音の高さが上下する周期も $0.63$ 秒です。最大から最小までは、その半分の $0.31$ 秒。

半径を $2$ 倍の $4.0\mathrm{m}$ にして周期を保つと、速さは $40m/s$ になる。$f_{\max }=326.4$ Hz、$f_{\min }=257.7$ Hz と幅が広がる。

最大と最小から速さが出る

2 つの式の比をとると $f_0$ が消えます。

$$\frac{f_{\max }}{f_{\min }}=\frac{V+v}{V-v}$$

音源の振動数を知らなくても、聞こえた 2 つの値だけで速さが決まる形です。

$v$ について解くと次のようになる。

$$v=V\cdot \frac{f_{\max }-f_{\min }}{f_{\max }+f_{\min }}$$

例：比から速さを出す

$f_{\max }=306\mathrm{Hz}$、$f_{\min }=272\mathrm{Hz}$ が測れたとします。

$$v=340\times \frac{306-272}{306+272}=340\times \frac{34}{578}=20m/s$$

もとの値に戻った。$f_0$ は $f_{\max }$ と $f_{\min }$ の相加平均ではなく、$\sqrt{f_{\max }{f}_{\min }}$ に近い値になります。

実際 $\sqrt{306\times 272}=288.5$ で、$288$ Hz とほぼ一致する。

振動数の時間変化

$u=v\cos \phi$ は、時間について正弦の形で変わる。円運動の位相をそのまま受け継ぐため。

観測される振動数のグラフは、正弦曲線をわずかに歪ませた形になる。分母に $\cos \phi$ がいるので、上へ振れる側のほうが大きく伸びる。

$288$ Hz から上へ $18$ Hz、下へ $16$ Hz。上下が対称にならないのは、分母が動く形だからです。

高校の問題では、この非対称まで問われることは多くありません。最大値と最小値を別々に出せば足りる。

例：うなりで測る

同じ $288\mathrm{Hz}$ の音叉を手もとに置き、振り回すブザーの音と重ねます。

うなりの回数は、2 つの振動数の差です。最大のとき $306-288=18$ 回、最小のとき $288-272=16$ 回。

音源が手前と奥を通る瞬間には、差が $0$ になってうなりが消える。1 周のあいだに、うなりが 2 回止まる。

観測者が円の中心にいると

中心に立つと、音源との距離はいつでも半径のままです。距離が変わらないので、視線速度は常に $0$。

速さは $20m/s$ のままなのに、聞こえ方が変わりません。ドップラー効果が速さそのものを見ていない証拠です。

遠方という条件

円の左右の端で最大と最小になるのは、観測者が十分に遠いときの話です^[1]。

近くで聞くと、視線の向きが音源の位置ごとに変わる。最大になる点は円の端から少しずれ、グラフの形も崩れる。

高校の問題では、この条件がたいてい文中で与えられます。円の半径に比べて距離が十分大きい、という但し書きがそれ。

星の視線速度も同じ形

惑星を連れた星は、共通の重心のまわりを小さく回ります。地球から見ると、星の視線速度が周期的に変わる^[3]。

観測されるのは光の波長のずれですが、値が上下する仕組みは振り回すブザーと変わりません。

曲線が最大になるのは星が最も速く遠ざかるとき、最小になるのは最も速く近づくとき。ゼロを横切るのは、動きが視線と直交する瞬間です^[3]。

軌道を真上から見下ろす向きだと、視線速度はどの位置でも $0$ になる。円の中心で聞く場合と同じ状況^[3]。

音の高さの上下と、光の波長のずれの上下。測っているものは違っても、曲線の形は同じです。

仕組みが同じかどうかを、数値で確かめます。

位置と高さの対応も確かめます。

まちがえやすい点

距離ではなく、距離の変わり方を見る。この置きかえができれば、円運動でも軌道運動でも同じ 1 本の式で片づきます。

出典