音の速さとうなり：気温による変化とうなりの回数

音は空気の疎密が伝わる縦波です。空気そのものは前へ運ばれず、押し合いへし合いだけが先へ届く。

速さは音源ではなく空気で決まります。大声でも小声でも、高い声でも低い声でも、同じ気温なら同じ速さで進む。

以下では音の三要素と可聴域から始めて、気温で音速が変わる理由、媒質による違い、風と気温差による音の曲がり、うなりの回数が振動数の差になる仕組みまでを扱います。計算例には、気温から音速を出す手順と、うなりから相手の振動数を決める手順を置いた。

音は空気の疎密が伝わる縦波

音源が振動すると、まわりの空気を押したり引いたりします。押されたところは密になり、引かれたところは疎になる。

この疎密が次々に隣へ移っていくものが音波です。空気の分子は元の位置のまわりで前後に振動するだけ。

振動の向きが波の進む向きと同じなので、音は縦波になる。気体には横波を支える力がないので、ほかの選択肢はない。

疎密の変化は、圧力の変化としても表せる。密なところは圧力が高く、疎なところは低い。

図の上が空気の分子の並び、下が圧力の変化です。粒が寄り集まった位置で圧力が高くなっている。

圧力で測っても変位で測っても、同じ 1 つの波を見ていることになる。マイクが拾うのは圧力のほう。

音の三要素

音の違いは 3 つの量に分けられます。高さ、大きさ、音色の 3 つ。

高さを決めるのは振動数です。振動数が大きいほど高い音になり、小さいほど低い音になる。

大きさを決めるのは振幅。圧力の変化が大きいほど、大きな音として聞こえます。

音色を決めるのは波形です。同じ高さで同じ大きさでも、ピアノとバイオリンでは波形が違う。

波形の違いは、基本の振動に混ざる倍音の割合の違いによるもの。倍音の混ざり方が楽器ごとの個性になる。

音の大きさとデシベル

耳が感じる大きさは、音の強さにそのまま比例しません。強さが $10$ 倍になっても、$10$ 倍うるさいとは感じない。

そこで基準の強さとの比を対数にした量を使います。これが音の強さのレベルで、単位はデシベル。

$$L=10{\log }_{10}\frac{I}{I_0}[\mathrm{dB}]$$

$I_0$ は基準の強さで、$1.0\times 10^{-12}W/{\mathrm{m}}^2$ と決められている。人がやっと聞きとれる強さにあたります。

強さが $10$ 倍になるごとに $10$ dB ずつ増える。$100$ 倍なら $20$ dB、$1000$ 倍なら $30$ dB です。

ふつうの会話が $60$ dB ほど、走行中の電車の中が $80$ dB ほど。差は $20$ dB でも、強さでは $100$ 倍の開きがある。

可聴域

人が聞きとれる振動数には範囲があります。おおよそ $20$ Hz から $20$ kHz まで。

上限は年齢とともに下がっていく。若い人には聞こえる高い音が、大人には届かないという現象が起きる。

$20$ kHz を超える音を超音波といいます。人には聞こえませんが、コウモリやイルカは使いこなす。

$20$ Hz より低い音は低周波音。耳では聞こえにくく、体で振動として感じることが多い。

超音波の使いみち

超音波の値打ちは、波長が短いところにあります。細かいものまで見分けられる。

波長より小さいものは、回折で波が回り込んで写りません。見分けられる細かさは波長で決まる。

医療の超音波検査では、数 MHz の音を体に当てます。波長が $1$ mm を下回り、臓器の形まで読みとれる。

魚群探知機も車の駐車センサーも、仕組みは同じ。跳ね返るまでの時間から距離を出しています。

コウモリは自分で超音波を出し、反射音を頼りに暗闇を飛ぶ。人が機械でやっていることを、体でやっている。

空気中の音速と温度

空気中の音速は、気温によって変わります。摂氏 $t$ 度のときの値は、次の式で足ります。

$$V=331.5+0.6t[m/s]$$

$0$ 度で $331.5$ m/s、$15$ 度で約 $340$ m/s、$25$ 度で約 $346$ m/s になる。気温が $1$ 度上がるごとに、およそ $0.6$ m/s ずつ速くなる。

ドイツ語版 Wikipedia の音速の項目は、この近似式が $-20$ 度から $+40$ 度の範囲で誤差 $0.2$% 未満だと書いています。日常の範囲なら、この 1 本で困らない。

気圧は音速にほとんど効きません。山の上でも平地でも、気温が同じなら音速もほぼ同じ。

夏と冬では、音速が $20$ m/s ほど違う。距離を音速から出す問題では、その日の気温から計算し直すことになります。

なぜ温度で変わるのか

音を伝えるのは空気分子どうしの衝突です。分子が速く動くほど、疎密の情報も速く伝わる。

気体分子の速さは絶対温度の平方根に比例する。だから音速も、絶対温度の平方根に比例する。

$$v=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$$

$\gamma$ は比熱比、$R$ は気体定数、$T$ は絶対温度、$M$ はモル質量です。空気ならこれが $20.05\sqrt{T}$ という形にまとまる。

平方根の式を摂氏の付近で直線に近似したものが、さきほどの $331.5+0.6t$ です。もとは平方根なので、範囲を大きく外れると合わなくなる。

分母にモル質量があるところも読めます。軽い気体ほど音が速く、ヘリウムを吸うと声が高く聞こえるのはこのため。

媒質による音速の違い

音は空気の中だけを進むわけではありません。水の中でも金属の中でも伝わり、しかも空気中よりずっと速い。

速さを決めるのは、媒質のかたさと密度です。かたいほど速く、重いほど遅い。

固体は分子どうしの結びつきが強いので、変形がすぐ隣へ伝わります。だから鉄の中では空気中の 17 倍もの速さで進む。

フランス語版 Wikipedia の音速の項目も、密度と圧縮率の 2 つで決まると説明しています。気体が遅いのは、密度が小さいことより圧縮されやすいことのほうが効くから。

中国語版 Wikipedia の声速の項目も、固体・液体・気体の順に速いと述べている。

高い音が低い音を追い越すことはありません。もし振動数で速さが違えば、遠くの音楽はばらばらに聞こえてしまう。

風があるときの音速

空気そのものが動いていれば、音はその流れに乗ります。風下へ向かう音は速く、風上へ向かう音は遅くなる。

地面から見た音速は、空気中の音速に風速を足し引きした値になる。

$$V^{\prime }=V+w(\text{風下}),V^{\prime }=V-w(\text{風上})$$

音源や観測者が動いても、空気に対する音速そのものは変わりません。変わるのは地面から見た値だけ。

この区別は、あとで出てくる問題を解くときに効いてきます。音速は空気に対して決まる、と押さえておけば混乱しない。

音の屈折

気温は高さによって違う。音速が場所で変われば、音の進む道筋は曲がる。

昼は地面が日射で暖まり、上空ほど気温が低くなる。地表付近のほうが音速が速いので、音線は上へ曲がる。

その結果、地表を進むはずだった音が空へ逃げていきます。昼間に遠くの音が届きにくいのは、この曲がりのため。

夜は逆になる。地面が放射で冷え、上空のほうが暖かくなるので、音線は下へ曲がって地表に戻ってきます。

夜のほうが遠くの音がよく聞こえるのは、静かだからだけではありません。音線そのものが地表へ戻ってくる。

同じ理由で、風が強い日には風上と風下で聞こえ方が変わります。風速も高さによって違うので、音線が曲がる。

音の反射

かたい壁に当たった音は跳ね返る。山や建物からの反射がやまびこ。

反射音が元の音から $0.1$ 秒ほど遅れて届くと、別の音として聞き分けられます。それより短いと、元の音に溶けて残響になる。

音楽ホールの設計では、この残響の長さを調整します。長すぎると音がにごり、短すぎると響きが乏しくなる。

うなり

振動数がわずかに違う 2 つの音を同時に鳴らすと、音の大きさが周期的に変わります。この現象がうなり。

大きくなったり小さくなったりを、耳がはっきり数えられる。1 秒間に何回大きくなるかが、うなりの回数です。

図では振動数の差を 4 にしてあります。ふくらみの数を数えると、ちょうど 4 つ。

うなりの式

2 つの音の重ね合わせを式で書きます。振幅を $A$、振動数を $f_1$ と $f_2$ とする。

$$y=A\sin 2\pi f_{1}t+A\sin 2\pi f_{2}t$$

和積の公式を当てると、積の形に変わる。

$$y=2A\cos \left(2\pi \frac{f_1-f_2}{2}t\right)\sin \left(2\pi \frac{f_1+f_2}{2}t\right)$$

右の $\sin$ が、聞こえる音そのものです。振動数は 2 つの平均で、$440$ Hz と $444$ Hz なら $442$ Hz の音として聞こえる。

左の $\cos$ は振幅をゆっくり変える部分。この部分が包絡線を作り、音の大きさの変化になる。

うなりの回数が振動数の差になる理由

包絡線の $\cos$ の振動数は $|f_1-f_2|/2$ です。ところが耳が数えるうなりの回数は、その 2 倍になる。

$$f_{\text{beat}}=|f_1-f_2|$$

理由は、耳が振幅の符号を聞き分けないところにあります。包絡線が正の山でも負の谷でも、音としては同じ大きさ。

したがって包絡線の 1 周期のあいだに、音が大きくなる瞬間が 2 回訪れる。回数が 2 倍になり、差そのものと一致する。

英語版 Wikipedia のうなりの項目も、包絡線の 1 周期に山が 2 回現れるため、聞こえる回数が差に等しくなると説明している。

差が大きくなるほど、うなりは速くなります。差が $20$ Hz を超えると数えられなくなり、にごった 1 つの音として聞こえる。

うなりの使い道

楽器の調律は、うなりを使う仕事です。基準の音といっしょに鳴らし、うなりが消えるまで調整する。

うなりが遅くなるほど、2 つの振動数は近づいています。完全にそろえばうなりは消える。

耳は絶対的な高さを測る仕事に向きませんが、うなりの有無なら正確に判定できます。差を $0$ に追い込む方法なので、精度が高い。

計算例：気温から音速を出す

気温 $25$ 度の日の音速を求めます。近似式に代入するだけ。

$$V=331.5+0.6\times 25=346.5m/s$$

気温 $5$ 度なら $334.5$ m/s になる。$20$ 度の差で $12$ m/s の違い。

音速を $340$ m/s として計算する問題が多いのは、$15$ 度のときの値だからです。断りがなければこの値を使う。

計算例：やまびこから崖までの距離を出す

気温 $15$ 度の日、崖に向かって叫んだところ、$2.0$ 秒後にやまびこが返ってきました。崖までの距離を求めます。

まず音速を出す。

$$V=331.5+0.6\times 15=340.5m/s$$

音は往復しているので、片道の時間は $1.0$ 秒です。

$$L=340.5\times 1.0=340.5\mathrm{m}$$

往復と片道をとり違えると、答えが 2 倍になります。距離を出す問題では、まず往復か片道かを確かめる。

計算例：うなりから相手の振動数を決める

振動数 $440$ Hz のおんさと、振動数のわからないおんさを同時に鳴らすと、毎秒 $3$ 回のうなりが聞こえました。相手の振動数を求めます。

うなりの回数は差なので、候補は 2 つ出る。

$$f=440-3=437\mathrm{Hz},f=440+3=443\mathrm{Hz}$$

この段階では、どちらかを決められません。うなりの回数だけでは、相手が高いか低いかがわからない。

計算例：おもりを付けて振動数の大小を決める

前の例の続き。わからないほうのおんさにおもりを付けると、うなりが毎秒 $5$ 回に増えました。どちらが正しいかを決めます。

おもりを付けると、おんさは振動しにくくなって振動数が下がる。ここが手がかりになります。

もとが $437$ Hz なら、下がって $435$ Hz になり、$440$ Hz との差は $5$ に広がる。観測と合っています。

もとが $443$ Hz なら、下がって $441$ Hz になり、差は $1$ に縮むはず。観測と合わない。

したがって相手の振動数は $437$ Hz。うなりの回数が増えたか減ったかで、大小が決まります。

よくある誤り

音速の式は覚えるより組み立てるほうが速い。$0$ 度で $331.5$ m/s、$1$ 度ごとに $0.6$ m/s、この 2 つだけで足ります。

参考文献