弦の振動と気柱の共鳴を固有振動数から整理する

弦や気柱は、どんな振動数でも大きく鳴るわけではありません。決まった振動数のときだけ、大きな定常波が立つ。

理由は端の条件にあります。両端で腹か節かが決まっているため、そこに収まる波長が飛び飛びになる。

以下では固有振動と共鳴の意味から始めて、弦の振動数を決める 3 つの量、閉管と開管で倍振動の並びが変わる理由、開口端補正を消して音速を測る方法までを扱います。計算例には、弦の振動数を出す手順と、共鳴実験から音速を決める手順を置いた。

固有振動と共鳴

弦や気柱には、定常波が立てる振動数が決まっています。この振動数を固有振動数、そのときの振動を固有振動という。

いちばん低い固有振動が基本振動です。その $2$ 倍、$3$ 倍の振動数を持つものが $2$ 倍振動、$3$ 倍振動になる。

外から加える振動の振動数が固有振動数と一致すると、振幅が大きく育ちます。これが共鳴。

中国語版 Wikipedia の共振の項目も、特定の振動数でだけ振幅が大きくなる現象として定義し、音の場合を共鳴と呼ぶと書いています。

小さな力でも、タイミングが合えば大きく振れる。ブランコを漕ぐときに合わせているのも、この固有振動数です。

弦の固有振動

両端を固定した弦を考えます。端は動けないので、どちらも定常波の節になる。

節が両端にあるという条件だけで、収まる波長が決まってしまう。長さ $L$ の弦に、半波長がちょうど整数個入る形しか許されない。

$$L=n\cdot \frac{\lambda }{2}(n=1,2,3,\dots )$$

波長について解けば、飛び飛びの値が並びます。

$${\lambda }_n=\frac{2L}{n}$$

$n=1$ が基本振動で、波長は弦の長さの $2$ 倍。腹が $1$ つだけの、いちばん単純な形になる。

図のように、腹の数が $n$ 個の形が $n$ 倍振動です。黒い点が節で、両端には必ず節が来る。

腹が増えるほど波長は短くなる。腹の数を数えれば、そのまま $n$ が読める。

弦の振動数

波長が決まれば、振動数は $v=f\lambda$ から出る。

$$f_n=\frac{v}{{\lambda }_n}=\frac{nv}{2L}$$

基本振動数は $f_1=v/(2L)$ で、$n$ 倍振動の振動数はその $n$ 倍になる。整数倍がきれいに並ぶところが、弦の音が澄んで聞こえる理由です。

実際に弦をはじくと、これらが同時に鳴る。基本振動が音の高さを決め、混ざった倍振動が音色を作る。

弦を伝わる波の速さ

弦の上の波の速さは、弦そのものの性質で決まる。効くのは張力と線密度の 2 つ。

$$v=\sqrt{\frac{S}{\rho }}$$

$S$ は張力、$\rho$ は線密度で、単位長さあたりの質量です。強く張るほど速く、太くて重い弦ほど遅くなる。

これを振動数の式に入れると、弦の固有振動数が完成する。

$$f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{S}{\rho }}$$

フランス語版 Wikipedia の振動する弦の項目も、基本振動数を $\frac{1}{2L}\sqrt{T/\mu }$ と書いている。記号が違うだけで同じ式です。

弦の振動数を決める 3 つの量

式を見れば、変えられる量は 3 つだとわかる。長さ、張力、線密度。

長さを半分にすると振動数は $2$ 倍になる。反比例なので、押さえる位置を変えれば音の高さが変わる。

張力は平方根で効きます。$4$ 倍に張って、やっと振動数が $2$ 倍。

線密度も平方根で効き、こちらは分母にある。太い弦ほど低い音が出る。

ギターの $6$ 本の弦は、太さを変えて音の高さを分けている。同じ長さのまま低い音を出すなら、太い弦がいちばん確実です。

平方根で効く量と、そのまま効く量を分けて覚えておけば混乱しません。長さだけが反比例で、あとの 2 つは平方根。

気柱の共鳴

管の中の空気も、決まった振動数で共鳴する。ここでも端の条件が波長を決める。

閉じた端では、空気が壁に阻まれて動けない。だから変位の節になる。

開いた端では、空気が自由に動けます。こちらは変位の腹。

OpenStax の気柱の固有振動の節も、閉端が節、開端が腹という条件から倍振動を導いています。

以下では変位で考えます。圧力で描くと腹と節が入れ替わるので、どちらの話かを最初に決めておく。

閉管の固有振動

一端を閉じた管を閉管といいます。閉じた端が節、開いた端が腹。

節から隣の腹までの距離は $\lambda /4$。したがって管の長さには、$\lambda /4$ の奇数倍しか収まらない。

$$L=(2m-1)\cdot \frac{\lambda }{4}(m=1,2,3,\dots )$$

波長と振動数は次のようになります。

$$\lambda =\frac{4L}{2m-1},f=\frac{(2m-1)v}{4L}$$

基本振動は $f_1=v/(4L)$ で、次に立つのは $3$ 倍振動。$2$ 倍振動は条件を満たせず、閉管には奇数倍振動しか現れません。

開管の固有振動

両端が開いた管を開管といいます。両端とも腹になる。

腹から腹までは $\lambda /2$ なので、管の長さには半波長が整数個収まる。

$$L=n\cdot \frac{\lambda }{2},\lambda =\frac{2L}{n},f=\frac{nv}{2L}$$

こちらは弦とまったく同じ形です。すべての倍振動が立ち、$2$ 倍振動も $3$ 倍振動も現れる。

図の左が閉管、右が開管です。閉じた端では線が閉じ、開いた端では大きく開いている。

閉管には $2$ 倍振動が抜けています。$1$、$3$、$5$ と飛ぶので、出せる音の並びが開管とは違う。

閉管と開管の比較

同じ長さの管でも、閉管と開管では基本振動数が違う。閉管は $v/(4L)$、開管は $v/(2L)$。

比をとれば $2$ 倍。閉管のほうが $1$ オクターブ低い音を出す。

短い管で低い音を出したいなら、閉管が有利になる。パイプオルガンで閉管が使われるのは、場所を節約できるから。

倍振動の並びが違うので、音色も変わる。閉管の音は、偶数倍の成分が欠けた独特の響きになります。

開口端補正

ここまでは、腹が管口にちょうどできるとして話を進めてきました。実際にはもう少し外側にできる。

管の外の空気も、いくらか揺すられるためです。腹の位置は管口から $\Delta L$ だけ外へずれる。

このずれを開口端補正といいます。英語版 Wikipedia の開口端補正の項目によれば、その大きさは管の半径 $r$ を使って $\Delta L\approx 0.6r$ で見積もれる。

計算では、管の長さを $L+\Delta L$ に置き換えます。閉管の基本振動なら次の形。

$$L+\Delta L=\frac{\lambda }{4}$$

補正は管が太いほど大きくなります。細い管ではほとんど無視できる。

気柱共鳴の実験

音速を測る定番の実験があります。ガラス管に水を入れ、水面を下げながらおんさを鳴らす。

水面が節、管口が腹になるので、この装置は閉管そのもの。水面が下がるにつれて、共鳴する位置が次々に現れます。

管口から水面までの長さを、上から順に $L_1$、$L_2$ とします。それぞれ次の条件を満たす。

$$L_1+\Delta L=\frac{\lambda }{4},L_2+\Delta L=\frac{3\lambda }{4}$$

図のように、腹は管口より少し上にできています。この分がそのまま開口端補正。

補正を消す測り方

$\Delta L$ の値がわからないままでも、波長は求まります。$2$ つの式を引き算するだけ。

$$L_2-L_1=\frac{3\lambda }{4}-\frac{\lambda }{4}=\frac{\lambda }{2}$$

$\Delta L$ が消えました。したがって波長は共鳴点の間隔の $2$ 倍。

$$\lambda =2(L_2-L_1)$$

音速はおんさの振動数を掛けるだけで出ます。

$$V=f\lambda =2f(L_2-L_1)$$

第 $1$ 共鳴点だけで測ろうとすると、$\Delta L$ が邪魔をします。$2$ 点を測る理由は、補正を消すため。

補正そのものを知りたいときは、$L_1$ の式に戻します。

$$\Delta L=\frac{\lambda }{4}-L_1=\frac{L_2-3L_1}{2}$$

実験で 2 つの共鳴点を探す手間には、はっきりした理由がある。測れない量を式から追い出すための手順です。

楽器の音の高さ

弦楽器は、押さえる位置を変えて弦の長さを変えます。短くすれば振動数が上がる。

調弦では張力を変えます。糸巻きを回して張りを強めれば、音が高くなる。

管楽器は、穴を開け閉めして気柱の長さを変えます。長さが短くなれば、基本振動数が上がる。

金管楽器は管の長さをあまり変えず、倍振動を吹き分けます。唇の振動数を変えて、$2$ 倍、$3$ 倍の音を選ぶ。

気温が上がると音速が上がるので、管楽器の音は高くなります。演奏前に楽器を温めるのは、この変化を落ち着かせるため。

計算例：弦の基本振動数を出す

長さ $0.50$ m、張力 $200$ N、線密度 $5.0\times 10^{-3}$ kg/m の弦があります。基本振動数を求めます。

まず波の速さを出す。

$$v=\sqrt{\frac{S}{\rho }}=\sqrt{\frac{200}{5.0\times 10^{-3}}}=\sqrt{4.0\times 10^4}=200m/s$$

基本振動の波長は弦の長さの $2$ 倍で $1.0$ m です。

$$f_1=\frac{v}{2L}=\frac{200}{1.0}=200\mathrm{Hz}$$

$3$ 倍振動なら $600$ Hz になる。倍振動の振動数は、基本振動数を整数倍するだけで出ます。

計算例：張力を変えたときの振動数

前の弦の張力を $4$ 倍の $800$ N にします。基本振動数がどうなるかを調べる。

速さは平方根で効くので $2$ 倍。

$$v=\sqrt{\frac{800}{5.0\times 10^{-3}}}=400m/s$$

波長は弦の長さで決まるので変わりません。$1.0$ m のまま。

$$f_1=\frac{400}{1.0}=400\mathrm{Hz}$$

張力を $4$ 倍にして、振動数は $2$ 倍になりました。$1$ オクターブ上げるだけで $4$ 倍の張力が要る。

計算例：閉管が共鳴する振動数

長さ $0.85$ m の閉管があり、音速を $340$ m/s とします。共鳴する振動数を小さいほうから 3 つ求めます。

基本振動の波長は管の長さの $4$ 倍。

$${\lambda }_1=4\times 0.85=3.4\mathrm{m},f_1=\frac{340}{3.4}=100\mathrm{Hz}$$

閉管に立つのは奇数倍振動だけなので、次は $3$ 倍と $5$ 倍になる。

$$f_3=300\mathrm{Hz},f_5=500\mathrm{Hz}$$

同じ長さの開管なら、基本振動数は $200$ Hz。閉管の $2$ 倍で、しかも $400$ Hz も $600$ Hz も鳴ります。

計算例：共鳴実験から音速と開口端補正を出す

振動数 $500$ Hz のおんさで気柱共鳴の実験を行い、第 1 共鳴点が $16.0$ cm、第 2 共鳴点が $50.0$ cm で得られた。音速と開口端補正を求めます。

波長は共鳴点の間隔の $2$ 倍。

$$\lambda =2(50.0-16.0)=68.0\mathrm{cm}=0.680\mathrm{m}$$

音速は振動数を掛けて出る。

$$V=500\times 0.680=340m/s$$

開口端補正は $L_1$ の式から求まります。

$$\Delta L=\frac{L_2-3L_1}{2}=\frac{50.0-48.0}{2}=1.0\mathrm{cm}$$

管の半径が $1.7$ cm なら、$0.6r\approx 1.0$ cm となって目安とも合う。測定値の妥当性は、この見積もりで確かめられます。

よくある誤り

腹と節の位置を最初に決めてしまえば、あとは $\lambda /4$ と $\lambda /2$ を数えるだけ。式を覚えるより、端の条件から描き起こすほうが速い。

参考文献