衝撃波とマッハ角、音速を超えた飛行機が引きずる円錐

音源が音速より速く動くと、出したばかりの音を音源自身が追い越します。前へ広がるはずだった波面は、次々と後ろへ置いていかれる。

置いていかれた球面波には、すべてに接する面が 1 つだけ引ける。それが円錐で、頂点にいるのが音源。この面が衝撃波です。

$sin θ = \frac{V}{v}$

$V$ が音速、 $v$ が音源の速さ、 $θ$ が円錐の半頂角。マッハ 2 なら $sin θ = \frac{1}{2}$ で $θ = 3 0^{\circ}$ になります。

波の中心は出した場所に残る

音源が動いても、いったん空気に渡された音は、そのまま広がるだけ。広がりの中心は、出した瞬間に音源がいた場所に残ります^[1]。

音源は次の瞬間には別の場所にいる。だから円は少しずつずれた中心を持ち、進行方向の前では詰まり、後ろでは開く。

前で詰まるぶん波長が短くなり、振動数が上がって聞こえる。動く音源の音が高く聞こえるのは、この詰まりのためです。

音速に届いた瞬間

音源が速くなるほど、前側の波面は詰まっていく。 $v$ が $V$ に届くと、前側の間隔はちょうど $0$ になる。

出した音がどれも音源と同じ位置に並び、1 枚の壁のように重なります^[4]。音源はもう、自分の出した音より前へ出られません。

古くは音の壁と呼ばれた状態です。ドップラー効果の式で分母が $0$ になる場所でもある。

超えると円錐になる

$v > V$ になると、音源は自分の出した音をすべて追い越します。波面は音源の後方だけに残る。

残った球面のどれにも接する面が、ただ 1 つ引ける。円錐の面の上では無数の波面が同時に重なり、圧力の変化が一気に足し合わされる^[2]。

3 つの場合を並べてみます。

小さい点が、音を出した場所です。マッハ 0.5 では前にも音が届き、マッハ 2 では円がどれも後方へ寄っている。

マッハ角を三角形で出す

円錐の半頂角は、直角三角形 1 つで求まる。

時刻 $0$ に音源が点 A で音を出し、時間 $t$ のあいだに点 B まで進んだとします。

A で出た音は半径 $V t$ の球に広がり、音源は $v t$ だけ進んだ。B からこの球へ引いた接線が、円錐の母線になる。

接点を P とすると $∠ APB = 9 0^{\circ}$ です。 $AP = V t$ 、 $AB = v t$ なので、B のところの角について次が成り立つ。

$sin θ = \frac{V t}{v t} = \frac{V}{v}$

$t$ が消えました。角度は速さの比だけで決まり、時間がどれだけたっても変わらない。

マッハ数

音源の速さを音速で割った値をマッハ数といいます^[3]。

$M = \frac{v}{V}$

マッハ角の式は $sin θ = \frac{1}{M}$ と書き直せる。 $M$ が大きいほど $sin θ$ は小さく、円錐は細くなる。

$M < 1$ では $sin θ > 1$ となり、 $θ$ が決まりません。円錐ができないことが、式の側からも出ています。

速さの範囲は次のように呼び分けられます^[3]。

亜音速	$M < 1$
遷音速	$M \approx 1$
超音速	$M > 1$
極超音速	$M ≫ 1$

例：マッハ 2 の円錐

$M = 2$ とします。 $sin θ = \frac{1}{2}$ なので $θ = 3 0^{\circ}$ 。

円錐全体の開き、つまり頂角は $6 0^{\circ}$ です。半頂角と頂角のとり違えが起きやすいところ。

式に出てくる $θ$ は、円錐の軸から母線までの角です。頂角はその 2 倍になります。

軸は音源の進む向き。図の上では、進行方向の後ろ向きの直線から測る角にあたる。

例：半頂角からマッハ数を出す

円錐の半頂角を測ったら $4 5^{\circ}$ だったとします。

$sin 4 5^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{1}{M}$

$M = 2 = 1.41$ です。気温 $1 5^{\circ} C$ で音速を $340 m/s$ とすると、速さは $340 \times 1.41 = 480 m/s$ になります。

マッハ数と角度の対応

代表的な値を並べます。

マッハ数	$sin θ$	半頂角
$1.0$	$1.00$	$9 0^{\circ}$
$1.41$	$0.71$	$4 5^{\circ}$
$2.0$	$0.50$	$3 0^{\circ}$
$3.0$	$0.33$	$1 9^{\circ}$

$M = 1$ の $9 0^{\circ}$ は、円錐が平らな面に開ききった状態です。速くするほど後ろへ倒れ、細く尖っていく。

例：ライフルの弾丸

弾丸の速さを $850 m/s$ 、音速を $340 m/s$ とします。

$M = 850 \div 340 = 2.5$ です。 $sin θ = 0.4$ から $θ = 23. 6^{\circ}$ 。

飛行機より細い円錐を引きずっている。的の近くにいる人が聞く鋭い音は、この円錐が通り過ぎた音です^[4]。

音速は気温で決まる

マッハ 1 の速さは一定ではありません。音速が気温で変わるためです^[3]。

$V = 331.5 + 0.6 t$

$t$ は摂氏の気温です。地上の $1 5^{\circ} C$ で $340 m/s$ 、上空の $- 5 0^{\circ} C$ では $301 m/s$ まで落ちます。

同じ速さで飛んでも、高いところのほうがマッハ数は大きくなる。

例：地上と上空でマッハ数が変わる

速さ $600 m/s$ の機を考えます。

地上では $M = 600 \div 340 = 1.76$ 、上空では $M = 600 \div 301 = 1.99$ 。

半頂角は $sin θ = 0.568$ から $34. 6^{\circ}$ 、 $sin θ = 0.502$ から $30. 1^{\circ}$ になる。上空のほうが円錐は細い。

速さを変えていないのに角が変わる。基準にしている音速のほうが動いたため。

円錐が地面を掃く

円錐は音源について動く。地面と交わる線も同じ速さで進むので、航路に沿った帯の上を順に通過していく^[5]。

機が真上を通り過ぎた時点では、まだ何も聞こえません。円錐の面がそこまで来ていないため。

面が届いた瞬間に、圧力が急に上がる。そのあと大気圧より下がり、また戻る。

例：真上を通ってから届くまで

高度 $1700 m$ をマッハ 2 で水平に飛ぶ機があります。音速は $340 m/s$ とする。

半頂角 $3 0^{\circ}$ の円錐が地面と交わる位置は、機の真下から後方へ $\frac{h}{tan θ}$ だけ離れている。

$\frac{1700}{tan 3 0 ^{\circ}} = 17003 = 2944 m$

機がこの距離を進むのにかかる時間が、待ち時間です。速さは $340 \times 2 = 680 m/s$ 。

$\frac{2944}{680} = 4.3 s$

真上を通ってから約 $4.3$ 秒後に、ブームが届きます。

例：高度を 2 倍にする

高度 $3400 m$ で同じ計算をします。 $34003 = 5889 m$ 、 $5889 \div 680 = 8.7 s$ 。

待ち時間も 2 倍になった。高度に比例するという形です。

一般に書けば次の形。 $tan θ = \frac{1}{M ^{2} - 1}$ を使った。

$t = \frac{h}{v tan θ} = \frac{h M ^{2} - 1}{M V}$

$M = 2$ 、 $V = 340$ なら $t = \frac{h 3}{680}$ です。

一度きりの音ではない

音速を超えた瞬間にだけ鳴る、と誤解されやすいところです。超音速で飛んでいるあいだ、円錐は作られ続けます^[5]。

よくある思い込み

音の壁を破った瞬間に 1 回だけ鳴り、あとは静かに飛んでいく

実際に起きていること

超音速のあいだずっと円錐ができ、その足もとの帯を順に鳴らしていく

機体の各部から出た衝撃波は、進むうちにたがいに重なる。地面に届くころには 2 本にまとまっていることが多い^[5]。

前の段差と後ろの段差で、ドンドンと 2 回聞こえる。圧力の時間変化が N の字に似ているので、N 波と呼ばれます。

高いところを飛ぶ機ほど、音が地面に届くまで時間がかかる。高度 $17 km$ ほどだと 1 分近い^[5]。

水面では V 字になる

船が水面波より速く進むと、同じことが平面で起こる。円錐の代わりに、V 字の航跡ができる^[2]。

水面は 2 次元なので、円錐を真上から見た形がそのまま出ます。V の半分の角が $θ$ 。

$sin θ = \frac{波の速さ}{船の速さ}$

音と同じ式です。波の種類が違っても、幾何は変わらない。

例：船の航跡の角

水面波の速さが $1.5 m/s$ 、船の速さが $3.0 m/s$ とします。

$sin θ = 1.5 \div 3.0 = 0.5$ なので $θ = 3 0^{\circ}$ 。V の開きは $6 0^{\circ}$ になります。

船を速くすると V は細くなる。遅くして波の速さを下回ると、V 字そのものが消える。

円錐の外は静か

円錐の面より前の空間には、音がまだ 1 つも届いていません。機が近づいていることに気づけない領域。

面を境に、静けさから急な圧力の段差へ切り替わる。段差が耳に届いたものがブームです。

遠くまで届くあいだに段差はなまり、鋭さを失う。雷が近くでは鋭く、遠くではごろごろと鳴るのも同じ事情^[2]。

音速 $340 m/s$ の空気の中を、 $1020 m/s$ で飛ぶ機があります。衝撃波の円錐の半頂角はいくらですか。

$6 0^{\circ}$
$19. 5^{\circ}$
$3 0^{\circ}$

__RESULT__

$M = 1020 \div 340 = 3$ なので $sin θ = \frac{1}{3} = 0.333$ です。 $θ = 19. 5^{\circ}$ になります。 $3 0^{\circ}$ はマッハ 2 の値、 $6 0^{\circ}$ はマッハ 2 の頂角のほうです。

角度から逆に速さを出す形も確かめます。

円錐の頂角が $9 0^{\circ}$ でした。この音源のマッハ数はいくらですか。

__RESULT__

頂角が $9 0^{\circ}$ なら半頂角は $4 5^{\circ}$ です。 $sin 4 5^{\circ} = \frac{1}{2}$ なので $M = 2 = 1.41$ になります。半頂角と頂角をとり違えると $M = \frac{1}{sin 9 0 ^{\circ}} = 1$ となり、円錐ができない値が出ます。

よくある誤り

音速を超えた瞬間に一度だけ鳴る、と考える。超音速で飛ぶあいだ、円錐は地面を掃き続けます。

半頂角と頂角をとり違える。

sin θ = \frac{1}{M}

の

θ

は半分のほうです。

マッハ数が大きいほど円錐が広がると思う。式は逆で、細くなります。

マッハ 1 の速さをいつでも

340 m/s

とする。音速は気温で変わります。

M < 1

でマッハ角を求めようとする。

sin θ > 1

になり、解はありません。

音が聞こえないから真上にはいない、と考える。円錐が届く前は、真上を過ぎていても静かです。

音源が音より速いかどうか。その一点だけで、広がる円が動かない円錐に変わります。

参考

Shock Waves/Book%3A_University_Physics_I_-_Mechanics_Sound_Oscillations_and_Waves_(OpenStax)/17%3A_Sound/17.09%3A_Shock_Waves). University Physics Volume 1, OpenStax / Physics LibreTexts.

Shock Waves. The Physics Hypertextbook.

Role of the Mach Number. NASA Glenn Research Center.

*Mach'scher Kegel*. Universität Bayreuth, Seminar-Unterlage.

NASA X-59 Explainer: Science of Sonic Booms. NASA.

音速より速く動く音源は、自分の出した音をすべて追い越します。後ろに残された球面波のどれにも接する面が衝撃波で、円錐の半頂角がマッハ角。$\sin\theta = V/v$ は直角三角形 1 つで出て、時間 $t$ が消えるので角度は速さの比だけで決まる。マッハ 2 なら $30^\circ$、マッハ 3 なら $19.5^\circ$ と、速いほど細くなります。音速は気温で変わるため、同じ速さでも上空のほうがマッハ数は大きい。円錐が地面を掃くので、ソニックブームは音の壁を破った瞬間の 1 回ではなく、飛んでいるあいだ鳴り続けます。高度 1700 m をマッハ 2 で飛ぶ機なら、真上を通ってから 4.3 秒後にブームが届く。水面の V 字の航跡も同じ式で決まるところまで。