光の速さの測定〜レーマー・フィゾー・マイケルソンの方法

光は 1 秒で地球を 7 周半する。$1\mathrm{km}$ 離れた鏡まで往復させても、かかる時間は $6.7$ マイクロ秒。

人の反応は $0.2$ 秒ほどなので、手で合図を送り合っても届いた瞬間はつかめません。山の上でランタンを開け閉めしても、測れるのは反応の遅さだけ。

抜け道は 2 つあります。距離のほうを太陽系の大きさまで伸ばすか、時間のほうを回る仕掛けで細かく刻むか。

木星の衛星が遅れる

木星の衛星イオは、$42.5$ 時間ほどで木星を 1 周する^[1]。1 周ごとに木星の影へ入るので、地上からは規則正しい食が見える。

ところがこの食の時刻が、季節によってずれる。地球が木星へ近づく時期は早まり、遠ざかる時期は遅れる。

レーマーは 1676 年、11 月 9 日の食が予報より $10$ 分遅れると予告し、そのとおりになりました^[1]。

イオの公転そのものが変わったわけではない。変わったのは、知らせを運ぶ光が渡る距離のほう。

地球が公転で反対側へ回ると、木星までの距離が軌道の直径ぶん増える。増えたぶんを光が渡る時間が、そのまま遅れになる。

レーマーの見積もり

レーマーは、光が地球の軌道の直径を渡るのに約 $22$ 分かかると述べました^[1]。

いまの値は $16.6$ 分です。ずれの原因は、当時の距離の見積もりが小さすぎたこと^[1]。

彼は 1 公転あたりの距離の変化を地球 $210$ 個ぶんと見ましたが、実際は $330$ 個ぶん。$6$ 割ほど足りていません^[1]。

例：レーマーの値から光速を出す

地球の軌道の直径を $3.0\times 10^{11}\mathrm{m}$、渡る時間を $22$ 分 $=1320$ 秒とします。

$$c=\frac{3.0\times 10^{11}}{1320}=2.3\times 10^{8}m/s$$

真の値の $8$ 割ほど。$17$ 世紀に、桁が合う値が出ていたことになる。

例：正しい時間で計算し直す

渡る時間を $16.6$ 分 $=998$ 秒に直します。

$$c=\frac{3.0\times 10^{11}}{998}=3.0\times 10^{8}m/s$$

いまの値と一致しました。方法そのものは正しく、入れた数値だけが古かった。

歯車で時間を刻む

地上で測るには、$10^{-5}$ 秒の単位で光を切る仕掛けが要ります。フィゾーは 1849 年、回る歯車でそれをやりました^[2]。

パリ郊外のシュレーヌから、$8633\mathrm{m}$ 離れたモンマルトルの鏡へ光を送ります。光は歯車の歯と歯のすきまを通って出ていき、そのまま戻ってくる。

歯車がゆっくり回っていれば、光は同じすきまを通って目に届きます。速くすると、戻ったときに隣の歯が来ていて光が消える。

歯車の式

歯の数を $n$、1 秒あたりの回転数を $N$ とします。1 回転で歯とすきまが $n$ 組ずつ通る。

すきまの中央から隣の歯の中央までは、$\frac{1}{2n}$ 回転ぶん。かかる時間は次のとおり。

$$t=\frac{1}{2nN}$$

光の往復にかかる時間 $\frac{2L}{c}$ がこれと等しくなったとき、最初に光が消えます。

$$\frac{2L}{c}=\frac{1}{2nN},c=4nNL$$

例：フィゾーの数値を入れる

歯の数 $n=720$、距離 $L=8633\mathrm{m}$、最初に消えた回転数 $N=12.6$ 回転毎秒とします。

$$c=4\times 720\times 12.6\times 8633=3.13\times 10^{8}m/s$$

フィゾー自身が発表した値は $3.15\times 10^{8}m/s$ でした^[2]。真の値より $5$ パーセントほど大きい。

天体を使わずに地上だけで測った、最初の値です。

例：次に消えるのはいつか

回転をさらに上げていくと、光は明るくなったり消えたりを繰り返す。

隣の歯まで進む時間の奇数倍のときに消えるので、消える回転数は $12.6$ の奇数倍。$2$ 回目は $37.8$ 回転毎秒です。

偶数倍のときは、すきま 1 つぶんずれて再び通り抜けます。$25.2$ 回転毎秒でいちばん明るくなる。

この繰り返しが見えること自体が、測定が正しいことの確かめになる。

回転鏡に置き換える

歯車のかわりに、回る鏡を使う手もあります。フーコーがこの形に改め、のちにマイケルソンが精度を押し上げました^[3]。

マイケルソンは 1924 年から 1926 年にかけて、ウィルソン山からサンアントニオ山までの $22$ マイルを使いました^[3]。八角形の鏡を空気で回します。

光は 1 つの面ではね返って遠くの鏡へ向かい、戻ってきて別の面ではね返ります。

戻るまでに鏡がちょうど $\frac{1}{8}$ 回転していれば、次の面が同じ角度で待っている。像は動かずに見えます。

回転がずれていると像も横へずれるので、像が止まる回転数を探せばよい。ここが測定の勘どころです。

八角鏡の式

$\frac{1}{8}$ 回転にかかる時間は $\frac{1}{8N}$ です。これが往復の時間と等しくなる。

$$\frac{2L}{c}=\frac{1}{8N},c=16NL$$

例：マイケルソンの数値を入れる

片道 $L=35.4\mathrm{km}$、回転数 $N=528$ 回転毎秒とします^[4]。

$$c=16\times 528\times 35400=2.99\times 10^{8}m/s$$

$3$ 桁めまで合いました。歯車より 2 桁ほど精度が上がっている。

例：往復にかかる時間

往復の距離は $2\times 35420=70840\mathrm{m}$ です^[4]。

$$t=\frac{70840}{3.0\times 10^8}=2.4\times 10^{-4}\mathrm{s}$$

$1$ 万分の $2$ 秒ほど。この短さを、鏡の回転数という数えられる量に置き換えたところが工夫です^[3]。

3 つの方法を並べる

どれも共通しているのは、短い時間を直接測っていない点です。時間を数えられる量へ移している。

歯の数、面の数、回転数。どれも人の手で数えたり、音のうなりで合わせたりできる量です。

いまは測る側ではない

$1983$ 年から、光速は測る量ではなくなりました。メートルのほうを光速で決めているためです。

真空中の光速は $299792458m/s$ ちょうどと定められています^[5]。誤差はありません。

レーマーからマイケルソンまでの $250$ 年で、光速は測る対象から測る道具へ変わりました。

回転鏡のほうも確かめます。

よくあるミス

短い時間は測れなくても、回った数なら数えられる。測れないものを測れるものへ移す。この一手だけで、$3\times 10^8$ という値が $17$ 世紀の望遠鏡から出てきます。

参考