波動の入試問題をわかりやすく解説（手が止まる型を崩す）

波動の入試問題で手が止まるのは、公式を忘れたときではない。どの公式を、どの向きで当てるかが決まらないときです。

動く反射板は観測者と音源を兼ねる。ガラス板は距離ではなく光路長を変える。定常波の速さが最大になるのは、弦がまっすぐになった瞬間。

こうした一手を含む問題を 10 問並べます。音速は $340 m/s$ 、重力加速度は $9.8 m/ s^{2}$ とする。

問題 1：反射板が近づいてくる

振動数 $660 Hz$ の音源が静止しています。その正面から、平らな反射板が音源へ向かって一定の速さ $u$ で近づいてくる。

音源の位置で、音源が直接出す音と反射板から返ってくる音を重ねたところ、1 秒間に $40$ 回のうなりが聞こえました。 $u$ を求めなさい。

解答 1

反射板をまず観測者として扱う。音源へ速さ $u$ で近づくので、受ける振動数は次のとおり^[1]。

$f_{1} = f_{0} \cdot \frac{V + u}{V}$

次に反射板を音源として扱う。 $f_{1}$ の音を出しながら、もとの音源へ速さ $u$ で近づきます。

$f_{2} = f_{1} \cdot \frac{V}{V - u} = f_{0} \cdot \frac{V + u}{V - u}$

うなりの回数は $f_{2}$ と $f_{0}$ の差です。

$f_{2} - f_{0} = f_{0} (\frac{V + u}{V - u} - 1) = f_{0} \cdot \frac{2 u}{V - u}$

数値を入れる。 $40 = 660 \times \frac{2 u}{340 - u}$ から $13600 = 1360 u$ 、つまり $u = 10 m/s$ 。

確かめると $f_{1} = 660 \times \frac{350}{340} = 679$ Hz、 $f_{2} = 679 \times \frac{340}{330} = 700$ Hz。差は $40$ 回で合っています。

問題 2：最接近の瞬間に出した音

振動数 $500 Hz$ の音源が、まっすぐな道を $34 m/s$ で走っています。道から離れた点 P に観測者がいる。

音源が P に最も近づいた瞬間に出した音は、P ではいくらの振動数で聞こえますか。また、音源から P を見る向きが進行方向と $6 0^{\circ}$ をなす瞬間に出した音はどうなりますか。

解答 2

最も近づいた瞬間、音源の速度は P への視線と直交している。視線方向の速度成分は $0$ 。

$f = f_{0} \cdot \frac{V}{V - 0} = 500 Hz$

もとの振動数のままです。距離が最小になる点と、距離の変化が最大になる点は別のところにある^[1]。

$6 0^{\circ}$ の瞬間は、視線方向の成分が $34 cos 6 0^{\circ} = 17 m/s$ 。

$f = 500 \times \frac{340}{340 - 17} = 500 \times \frac{340}{323} = 526 Hz$

問われているのが「その瞬間に出した音」なのか「その瞬間に聞こえた音」なのかで、答えは変わります。後者なら、もっと前に出た音が届いているので $500$ Hz より高い。

問題 3：スリットの片方にガラス板

波長 $600 nm$ の光を、間隔 $0.50 mm$ の 2 つのスリットに当てます。スクリーンまでの距離は $1.5 m$ 。

片方のスリットの直後に、屈折率 $1.5$ 、厚さ $6.0 μ m$ のガラス板を置きました。縞の間隔と、中央の明線が動く距離を求めなさい。

解答 3

縞の間隔は、ガラス板がなくても変わらない^[2]。

$Δ x = \frac{λ L}{d} = \frac{600 \times 1 0 ^{- 9} \times 1.5}{0.50 \times 1 0 ^{- 3}} = 1.8 \times 1 0^{- 3} m$

$1.8 mm$ です。ガラス板が変えるのは、経路の長さではなく光路長のほう。

厚さ $t$ のガラスの中では、真空中に直すと $n t$ の距離を進んだことになります。もともとあった $t$ を引くと、増えた光路長は $(n - 1) t$ 。

$(1.5 - 1) \times 6.0 \times 1 0^{- 6} = 3.0 \times 1 0^{- 6} m$

これが波長の何個ぶんかを見ます。 $3.0 \times 1 0^{- 6} \div (600 \times 1 0^{- 9}) = 5.0$ 個。

縞 $5$ 本ぶんずれるので、 $5.0 \times 1.8 = 9.0 mm$ 動く。ガラスを置いた側へ寄る。

問題 4：くさびを液体で満たす

2 枚の平面ガラスの一端に薄い紙をはさみ、くさび形の空気層を作りました。真上から波長 $600 nm$ の光を当てると、等間隔の縞が $2.4 mm$ おきに見えます。

このすきまを屈折率 $1.5$ の液体で満たすと、縞の間隔はいくらになりますか。

解答 4

くさびの傾きを $θ$ とすると、位置 $x$ での層の厚さは $x θ$ です。

真上から見た明暗は、往復の光路差と、下側の反射で起きる位相の反転で決まります。厚さが $\frac{λ}{2}$ 増えるごとに 1 本。

$Δ x = \frac{λ}{2 θ}$

液体を入れると、層の中の波長が $\frac{λ}{n}$ に縮む。式の $λ$ をそれに替えるだけ。

$Δ x^{'} = \frac{λ}{2 n θ} = \frac{Δ x}{n} = \frac{2.4}{1.5} = 1.6 mm$

縞が細かくなりました。傾きも波長も変えていないのに間隔が変わるのは、層の中の波長が縮んだためです。

問題 5：回折格子に斜めから当てる

$1 mm$ あたり $500$ 本の回折格子に、波長 $600 nm$ の光を、格子面の法線から $3 0^{\circ}$ 傾けて当てます。

$1$ 次の明線が現れる向きを、法線から測って求めなさい。垂直に当てた場合とも比べなさい。

解答 5

格子定数は $d = \frac{1}{500} mm = 2.0 μ m$ 。

隣り合うすきまを通る 2 本の光は、入射側でも出射側でも経路差を持ちます。合わせると $d (sin θ - sin i)$ 。

$d (sin θ - sin i) = mλ$

$\frac{λ}{d} = \frac{600 \times 1 0 ^{- 9}}{2.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 0.300$ を使う。

$m = + 1$ では $sin θ = 0.500 + 0.300 = 0.800$ で $θ = 53. 1^{\circ}$ 。 $m = - 1$ では $sin θ = 0.500 - 0.300 = 0.200$ で $θ = 11. 5^{\circ}$ 。

垂直に当てれば $sin θ = \pm 0.300$ となり、 $\pm 17. 5^{\circ}$ の左右対称です。斜めに当てると対称性が崩れ、片側に寄る。

問題 6：2 枚目を動かす

焦点距離 $20 cm$ の凸レンズの $30 cm$ 手前に物体を置きます。その後方に、焦点距離 $12 cm$ の凸レンズを置く。

1 枚目が作る像の位置と倍率を求め、2 枚目を 1 枚目から何 cm より離せば最後の像が実像になるかを答えなさい。さらに $84 cm$ 離したときの全体の倍率を求めなさい。

解答 6

1 枚目に写像公式を当てる。

$\frac{1}{30} + \frac{1}{b _{1}} = \frac{1}{20}, b_{1} = 60 cm$

倍率は $\frac{60}{30} = 2$ 倍で、像は倒立。この像が 2 枚目にとっての物体になります。

2 枚目までの距離を $D$ とすると、2 枚目から見た物体距離は $D - 60$ 。実像ができるのは、これが焦点距離より大きいとき。

$D - 60 > 12, D > 72 cm$

$D = 72 cm$ ちょうどでは、出ていく光が平行になって像は無限遠へ飛ぶ。

$D = 84 cm$ なら物体距離は $24 cm$ 。

$\frac{1}{24} + \frac{1}{b _{2}} = \frac{1}{12}, b_{2} = 24 cm$

$m_{2} = 1$ 倍なので、全体は $2 \times 1 = 2$ 倍。倒立が 2 回くり返されるので、最後の像は正立になります。

問題 7：水面を下げながら共鳴させる

細長いガラス管を鉛直に立て、水を注いで水面の高さを変えられるようにしました。管口で $500 Hz$ の音叉を鳴らしながら水面を下げていきます。

管口から水面までが $16.0 cm$ と $50.0 cm$ のときに強く共鳴した。音速と開口端補正を求めなさい。

解答 7

水面が閉端、管口が開端の閉管です。連続する 2 回の共鳴の間隔が半波長にあたる^[4]。

$λ = 2 (50.0 - 16.0) = 68.0 cm = 0.680 m$

音速は $V = f λ = 500 \times 0.680 = 340 m/s$ 。

開口端補正を $Δ$ とすると、第 1 共鳴では $L_{1} + Δ = \frac{λ}{4}$ が成り立ちます。

$Δ = \frac{68.0}{4} - 16.0 = 17.0 - 16.0 = 1.0 cm$

第 2 共鳴でも確かめられます。 $50.0 + 1.0 = 51.0$ で、 $\frac{3 λ}{4} = 51.0$ と一致する。

差をとると $Δ$ が消えるので、音速だけなら補正を知らなくても出せます。この順序が大事なところ。

問題 8：媒質がいちばん速く動く瞬間

弦に定常波が立ち、腹の振幅が $4.0 cm$ 、周期が $0.20 s$ でした。

媒質の速さが最大になる場所と時刻、そのときの速さを求めなさい。

解答 8

定常波を式に書く。 $A$ が腹の振幅です。

$y = A sin \frac{2 π x}{λ} cos \frac{2 π t}{T}$

媒質の速度は、 $t$ で微分して得られる。

$v = - \frac{2 π A}{T} sin \frac{2 π x}{λ} sin \frac{2 π t}{T}$

場所については $sin \frac{2 π x}{λ} = 1$ のところ、つまり腹です。節では時刻によらず $0$ 。

時刻については $sin \frac{2 π t}{T} = 1$ の瞬間。そのとき $cos \frac{2 π t}{T} = 0$ なので、弦全体がまっすぐになっています。

$t = \frac{T}{4} + n \frac{T}{2} = 0.05, 0.15, 0.25, \dots s$

速さの最大値は次のとおり。

$v_{m a x} = \frac{2 π A}{T} = \frac{2 π \times 0.040}{0.20} = 1.3 m/s$

変位が最大の瞬間は速さ $0$ 、変位が $0$ の瞬間に速さが最大。単振動と同じ関係です。

問題 9：ファイバーに入る角度

コアの屈折率が $1.50$ 、クラッドの屈折率が $1.45$ の光ファイバーがあります。空気中から端面に光を入れる。

端面の法線から測った入射角が何度以下なら、光はコアの中を全反射でたどり続けますか。

解答 9

コアとクラッドの境界での臨界角を $θ_{c}$ とする^[3]。

$sin θ_{c} = \frac{1.45}{1.50} = 0.967, θ_{c} = 75. 2^{\circ}$

コアの中で光がファイバーの軸となす角を $r$ とすると、境界へ当たる角は $9 0^{\circ} - r$ です。全反射の条件は $9 0^{\circ} - r \geq θ_{c}$ 、つまり $r \leq 14. 8^{\circ}$ 。

端面での屈折に戻る。空気からコアへ入るので $sin θ = 1.50 sin r$ 。

$sin θ \leq 1.50 \times sin 14. 8^{\circ} = 1.50 \times 0.256 = 0.384$

$θ \leq 22. 6^{\circ}$ です。この角度の範囲を、まとめて $n_{1}^{2} - n_{2}^{2}$ で書くこともできます。

$1.5 0^{2} - 1.4 5^{2} = 0.1475 = 0.384$

同じ値になりました。コアとクラッドの差が小さいほど、受け入れられる角度は狭くなる。

問題 10：逃げ水が見える角度

よく晴れた日、地面の近くの空気が熱せられて屈折率が小さくなっています。上空の屈折率を $1.000280$ 、地表のすぐ上を $1.000230$ とする。

上空から地面へ向かう光が、途中で向きを変えて上へ戻るのは、光線が水平から何度以内のときですか。

解答 10

空気を水平な薄い層に分け、境界ごとにスネルの法則を当てます。鉛直からの角を $θ$ とすると、どの境界でも次が成り立つ。

$n sin θ = 一定$

下へ進むほど $n$ が小さくなるので、 $sin θ$ は大きくなる。 $θ$ が $9 0^{\circ}$ に届いたところで光線は水平になり、そこから上へ戻る。

その条件を書く。

$n_{1} sin θ_{1} = n_{2} \times 1$

$sin θ_{1} = \frac{1.000230}{1.000280} = 0.999950$

$θ_{1} = 89.4 3^{\circ}$ です。鉛直から測って $89.4 3^{\circ}$ ということは、水平から $0.5 7^{\circ}$ 。

これより急な角度で下りてくる光は、地面に当たって終わる。戻ってこられるのは、ほとんど水平に近い光だけ。

だから逃げ水は足もとには現れず、遠くの路面にだけ見えます。角度の条件が、見える距離を決めている。

まちがえやすい点

反射板を音源としてだけ扱う。受けるときは観測者、返すときは音源です。

最接近の瞬間に最も高く聞こえると考える。そこは視線速度が

0

で、もとの振動数に戻ります。

ガラス板が経路の長さを変えると考える。変わるのは光路長で、増える量は

(n - 1) t

です。

液体を満たしたとき波長が変わらないとする。層の中では

\frac{λ}{n}

に縮みます。

回折格子で入射側の経路差を落とす。斜め入射では

sin i

の項が残ります。

2 枚目の物体距離を 1 枚目からの距離のまま使う。レンズの間隔から

b_{1}

を引きます。

気柱で第 1 共鳴だけから音速を出す。開口端補正が残るので、2 回の差をとります。

定常波で変位が最大の瞬間に速さも最大と考える。そこは速さが

0

になります。

10 問に共通しているのは、公式そのものではなく当て方です。誰が観測者か、何が変わったのか、どの量を差でとるのか。ここが決まれば、あとは代入で終わります。

参考文献

The Doppler Effect/Book%3A_University_Physics_I_-_Mechanics_Sound_Oscillations_and_Waves_(OpenStax)/17%3A_Sound/17.08%3A_The_Doppler_Effect). University Physics Volume 1, OpenStax / Physics LibreTexts.

Mathematics of Interference. University Physics Volume 3, OpenStax.

Total Internal Reflection. University Physics Volume 3, OpenStax.

*Schallwellen und die Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Medien*. Lernplattform Physik, Universität Göttingen.

手が止まるのは公式を忘れたときではなく、どの公式をどの向きで当てるかが決まらないときです。動く反射板は受けるときが観測者、返すときが音源。ガラス板が変えるのは距離ではなく光路長で、増える量は $(n-1)t$。くさびを液体で満たすと層の中の波長が縮み、縞が細かくなる。回折格子へ斜めに当てれば $\sin i$ の項が残って左右の対称性が崩れます。気柱は 2 回の共鳴の差をとれば開口端補正が消え、定常波は弦がまっすぐになった瞬間に媒質が最も速い。ドップラー、干渉、レンズ、共鳴、全反射、蜃気楼から 10 問を並べ、解答は式の当て方から書いています。