波動の入試問題をわかりやすく解説（手が止まる型を崩す）

波動の入試問題で手が止まるのは、公式を忘れたときではない。どの公式を、どの向きで当てるかが決まらないときです。

動く反射板は観測者と音源を兼ねる。ガラス板は距離ではなく光路長を変える。定常波の速さが最大になるのは、弦がまっすぐになった瞬間。

こうした一手を含む問題を 10 問並べます。音速は $340m/s$、重力加速度は $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

問題 1：反射板が近づいてくる

振動数 $660\mathrm{Hz}$ の音源が静止しています。その正面から、平らな反射板が音源へ向かって一定の速さ $u$ で近づいてくる。

音源の位置で、音源が直接出す音と反射板から返ってくる音を重ねたところ、1 秒間に $40$ 回のうなりが聞こえました。$u$ を求めなさい。

解答 1

反射板をまず観測者として扱う。音源へ速さ $u$ で近づくので、受ける振動数は次のとおり^[1]。

$$f_1=f_0\cdot \frac{V+u}{V}$$

次に反射板を音源として扱う。$f_1$ の音を出しながら、もとの音源へ速さ $u$ で近づきます。

$$f_2=f_1\cdot \frac{V}{V-u}=f_0\cdot \frac{V+u}{V-u}$$

うなりの回数は $f_2$ と $f_0$ の差です。

$$f_2-f_0=f_0\left(\frac{V+u}{V-u}-1\right)=f_0\cdot \frac{2u}{V-u}$$

数値を入れる。$40=660\times \frac{2u}{340-u}$ から $13600=1360u$、つまり $u=10m/s$。

確かめると $f_1=660\times \frac{350}{340}=679$ Hz、$f_2=679\times \frac{340}{330}=700$ Hz。差は $40$ 回で合っています。

問題 2：最接近の瞬間に出した音

振動数 $500\mathrm{Hz}$ の音源が、まっすぐな道を $34m/s$ で走っています。道から離れた点 P に観測者がいる。

音源が P に最も近づいた瞬間に出した音は、P ではいくらの振動数で聞こえますか。また、音源から P を見る向きが進行方向と $60^{\circ }$ をなす瞬間に出した音はどうなりますか。

解答 2

最も近づいた瞬間、音源の速度は P への視線と直交している。視線方向の速度成分は $0$。

$$f=f_0\cdot \frac{V}{V-0}=500\mathrm{Hz}$$

もとの振動数のままです。距離が最小になる点と、距離の変化が最大になる点は別のところにある^[1]。

$60^{\circ }$ の瞬間は、視線方向の成分が $34\cos 60^{\circ }=17m/s$。

$$f=500\times \frac{340}{340-17}=500\times \frac{340}{323}=526\mathrm{Hz}$$

問われているのが「その瞬間に出した音」なのか「その瞬間に聞こえた音」なのかで、答えは変わります。後者なら、もっと前に出た音が届いているので $500$ Hz より高い。

問題 3：スリットの片方にガラス板

波長 $600\mathrm{nm}$ の光を、間隔 $0.50\mathrm{mm}$ の 2 つのスリットに当てます。スクリーンまでの距離は $1.5\mathrm{m}$。

片方のスリットの直後に、屈折率 $1.5$、厚さ $6.0\mu \mathrm{m}$ のガラス板を置きました。縞の間隔と、中央の明線が動く距離を求めなさい。

解答 3

縞の間隔は、ガラス板がなくても変わらない^[2]。

$$\Delta x=\frac{\lambda L}{d}=\frac{600\times 10^{-9}\times 1.5}{0.50\times 10^{-3}}=1.8\times 10^{-3}\mathrm{m}$$

$1.8\mathrm{mm}$ です。ガラス板が変えるのは、経路の長さではなく光路長のほう。

厚さ $t$ のガラスの中では、真空中に直すと $nt$ の距離を進んだことになります。もともとあった $t$ を引くと、増えた光路長は $(n-1)t$。

$$(1.5-1)\times 6.0\times 10^{-6}=3.0\times 10^{-6}\mathrm{m}$$

これが波長の何個ぶんかを見ます。$3.0\times 10^{-6}÷(600\times 10^{-9})=5.0$ 個。

縞 $5$ 本ぶんずれるので、$5.0\times 1.8=9.0\mathrm{mm}$ 動く。ガラスを置いた側へ寄る。

問題 4：くさびを液体で満たす

2 枚の平面ガラスの一端に薄い紙をはさみ、くさび形の空気層を作りました。真上から波長 $600\mathrm{nm}$ の光を当てると、等間隔の縞が $2.4\mathrm{mm}$ おきに見えます。

このすきまを屈折率 $1.5$ の液体で満たすと、縞の間隔はいくらになりますか。

解答 4

くさびの傾きを $\theta$ とすると、位置 $x$ での層の厚さは $x\theta$ です。

真上から見た明暗は、往復の光路差と、下側の反射で起きる位相の反転で決まります。厚さが $\frac{\lambda }{2}$ 増えるごとに 1 本。

$$\Delta x=\frac{\lambda }{2\theta }$$

液体を入れると、層の中の波長が $\frac{\lambda }{n}$ に縮む。式の $\lambda$ をそれに替えるだけ。

$$\Delta x^{\prime }=\frac{\lambda }{2n\theta }=\frac{\Delta x}{n}=\frac{2.4}{1.5}=1.6\mathrm{mm}$$

縞が細かくなりました。傾きも波長も変えていないのに間隔が変わるのは、層の中の波長が縮んだためです。

問題 5：回折格子に斜めから当てる

$1\mathrm{mm}$ あたり $500$ 本の回折格子に、波長 $600\mathrm{nm}$ の光を、格子面の法線から $30^{\circ }$ 傾けて当てます。

$1$ 次の明線が現れる向きを、法線から測って求めなさい。垂直に当てた場合とも比べなさい。

解答 5

格子定数は $d=\frac{1}{500}\mathrm{mm}=2.0\mu \mathrm{m}$。

隣り合うすきまを通る 2 本の光は、入射側でも出射側でも経路差を持ちます。合わせると $d(\sin \theta -\sin i)$。

$$d(\sin \theta -\sin i)=m\lambda$$

$\frac{\lambda }{d}=\frac{600\times 10^{-9}}{2.0\times 10^{-6}}=0.300$ を使う。

$m=+1$ では $\sin \theta =0.500+0.300=0.800$ で $\theta =53.1^{\circ }$。$m=-1$ では $\sin \theta =0.500-0.300=0.200$ で $\theta =11.5^{\circ }$。

垂直に当てれば $\sin \theta =\pm 0.300$ となり、$\pm 17.5^{\circ }$ の左右対称です。斜めに当てると対称性が崩れ、片側に寄る。

問題 6：2 枚目を動かす

焦点距離 $20\mathrm{cm}$ の凸レンズの $30\mathrm{cm}$ 手前に物体を置きます。その後方に、焦点距離 $12\mathrm{cm}$ の凸レンズを置く。

1 枚目が作る像の位置と倍率を求め、2 枚目を 1 枚目から何 cm より離せば最後の像が実像になるかを答えなさい。さらに $84\mathrm{cm}$ 離したときの全体の倍率を求めなさい。

解答 6

1 枚目に写像公式を当てる。

$$\frac{1}{30}+\frac{1}{b_1}=\frac{1}{20},b_1=60\mathrm{cm}$$

倍率は $\frac{60}{30}=2$ 倍で、像は倒立。この像が 2 枚目にとっての物体になります。

2 枚目までの距離を $D$ とすると、2 枚目から見た物体距離は $D-60$。実像ができるのは、これが焦点距離より大きいとき。

$$D-60>12,D>72\mathrm{cm}$$

$D=72\mathrm{cm}$ ちょうどでは、出ていく光が平行になって像は無限遠へ飛ぶ。

$D=84\mathrm{cm}$ なら物体距離は $24\mathrm{cm}$。

$$\frac{1}{24}+\frac{1}{b_2}=\frac{1}{12},b_2=24\mathrm{cm}$$

$m_2=1$ 倍なので、全体は $2\times 1=2$ 倍。倒立が 2 回くり返されるので、最後の像は正立になります。

問題 7：水面を下げながら共鳴させる

細長いガラス管を鉛直に立て、水を注いで水面の高さを変えられるようにしました。管口で $500\mathrm{Hz}$ の音叉を鳴らしながら水面を下げていきます。

管口から水面までが $16.0\mathrm{cm}$ と $50.0\mathrm{cm}$ のときに強く共鳴した。音速と開口端補正を求めなさい。

解答 7

水面が閉端、管口が開端の閉管です。連続する 2 回の共鳴の間隔が半波長にあたる^[4]。

$$\lambda =2(50.0-16.0)=68.0\mathrm{cm}=0.680\mathrm{m}$$

音速は $V=f\lambda =500\times 0.680=340m/s$。

開口端補正を $\Delta$ とすると、第 1 共鳴では $L_1+\Delta =\frac{\lambda }{4}$ が成り立ちます。

$$\Delta =\frac{68.0}{4}-16.0=17.0-16.0=1.0\mathrm{cm}$$

第 2 共鳴でも確かめられます。$50.0+1.0=51.0$ で、$\frac{3\lambda }{4}=51.0$ と一致する。

差をとると $\Delta$ が消えるので、音速だけなら補正を知らなくても出せます。この順序が大事なところ。

問題 8：媒質がいちばん速く動く瞬間

弦に定常波が立ち、腹の振幅が $4.0\mathrm{cm}$、周期が $0.20\mathrm{s}$ でした。

媒質の速さが最大になる場所と時刻、そのときの速さを求めなさい。

解答 8

定常波を式に書く。$A$ が腹の振幅です。

$$y=A\sin \frac{2\pi x}{\lambda }\cos \frac{2\pi t}{T}$$

媒質の速度は、$t$ で微分して得られる。

$$v=-\frac{2\pi A}{T}\sin \frac{2\pi x}{\lambda }\sin \frac{2\pi t}{T}$$

場所については $\left|\sin \frac{2\pi x}{\lambda }\right|=1$ のところ、つまり腹です。節では時刻によらず $0$。

時刻については $\left|\sin \frac{2\pi t}{T}\right|=1$ の瞬間。そのとき $\cos \frac{2\pi t}{T}=0$ なので、弦全体がまっすぐになっています。

$$t=\frac{T}{4}+n\frac{T}{2}=0.05,0.15,0.25,\dots \mathrm{s}$$

速さの最大値は次のとおり。

$$v_{\max }=\frac{2\pi A}{T}=\frac{2\pi \times 0.040}{0.20}=1.3m/s$$

変位が最大の瞬間は速さ $0$、変位が $0$ の瞬間に速さが最大。単振動と同じ関係です。

問題 9：ファイバーに入る角度

コアの屈折率が $1.50$、クラッドの屈折率が $1.45$ の光ファイバーがあります。空気中から端面に光を入れる。

端面の法線から測った入射角が何度以下なら、光はコアの中を全反射でたどり続けますか。

解答 9

コアとクラッドの境界での臨界角を ${\theta }_c$ とする^[3]。

$$\sin {\theta }_c=\frac{1.45}{1.50}=0.967,{\theta }_c=75.2^{\circ }$$

コアの中で光がファイバーの軸となす角を $r$ とすると、境界へ当たる角は $90^{\circ }-r$ です。全反射の条件は $90^{\circ }-r\ge {\theta }_c$、つまり $r\le 14.8^{\circ }$。

端面での屈折に戻る。空気からコアへ入るので $\sin \theta =1.50\sin r$。

$$\sin \theta \le 1.50\times \sin 14.8^{\circ }=1.50\times 0.256=0.384$$

$\theta \le 22.6^{\circ }$ です。この角度の範囲を、まとめて $\sqrt{n_1^2-n_2^2}$ で書くこともできます。

$$\sqrt{1.50^2-1.45^2}=\sqrt{0.1475}=0.384$$

同じ値になりました。コアとクラッドの差が小さいほど、受け入れられる角度は狭くなる。

問題 10：逃げ水が見える角度

よく晴れた日、地面の近くの空気が熱せられて屈折率が小さくなっています。上空の屈折率を $1.000280$、地表のすぐ上を $1.000230$ とする。

上空から地面へ向かう光が、途中で向きを変えて上へ戻るのは、光線が水平から何度以内のときですか。

解答 10

空気を水平な薄い層に分け、境界ごとにスネルの法則を当てます。鉛直からの角を $\theta$ とすると、どの境界でも次が成り立つ。

$$n\sin \theta =\text{一定}$$

下へ進むほど $n$ が小さくなるので、$\sin \theta$ は大きくなる。$\theta$ が $90^{\circ }$ に届いたところで光線は水平になり、そこから上へ戻る。

その条件を書く。

$$n_1\sin {\theta }_1=n_2\times 1$$

$$\sin {\theta }_1=\frac{1.000230}{1.000280}=0.999950$$

${\theta }_1=89.43^{\circ }$ です。鉛直から測って $89.43^{\circ }$ ということは、水平から $0.57^{\circ }$。

これより急な角度で下りてくる光は、地面に当たって終わる。戻ってこられるのは、ほとんど水平に近い光だけ。

だから逃げ水は足もとには現れず、遠くの路面にだけ見えます。角度の条件が、見える距離を決めている。

まちがえやすい点

10 問に共通しているのは、公式そのものではなく当て方です。誰が観測者か、何が変わったのか、どの量を差でとるのか。ここが決まれば、あとは代入で終わります。

参考文献