縦波のグラフ - 密になるのは変位が 0 の場所

縦波を横波のように描いたグラフで、いちばん密なのは山でも谷でもありません。変位が $0$ で、グラフが右下がりになっている点。

そこでは左側の媒質が右へ、右側の媒質が左へ寄っています。両側から集まるので、そこだけ詰まる^[2]。

山と谷、つまり変位がいちばん大きい場所では、密度はもとのまま。まわりの媒質がそろって同じ向きへずれているだけで、詰まりもゆるみもしません。

縦波を横波として描く

縦波では、媒質が波の進む向きと同じ向きに振動する。そのまま描くと点が並ぶだけで、形が読めない。

そこで、右向きのずれを上、左向きのずれを下として描き直します。見た目は横波になるが、中身は縦波のまま。

上の点の列を見ていると、混み合う場所が右へ移っていく。下のグラフでその場所を探すと、いつも右下がりの零点。

点の 1 つ 1 つは、その場で左右に振れているだけ。動いているのは疎密のほう。

密になる場所

変位を $y$ とし、右向きを正とします。ある点 $x_0$ で $y=0$、かつグラフが右下がりだとする。

$x_0$ より左では $y>0$ なので、媒質は右へずれている。つまり $x_0$ へ近づいている。

$x_0$ より右では $y<0$ なので、媒質は左へずれる。こちらも $x_0$ へ近づく。

両側から寄ってくるので、$x_0$ のまわりが最も詰まる^[2]。ここが密。

疎になる場所

右上がりの零点では、話がそっくり裏返ります。左側の媒質が左へ、右側が右へ離れていく。

まわりが遠ざかるので、そこだけすいてしまう。これが疎。

山と谷では密度が変わらない

変位が最大の点では、そのまわりの媒質もほぼ同じだけずれています。全体が平行移動しているだけ。

間隔が変わらないので、密度ももとのまま^[1]。いちばん大きく動いている場所が、いちばん変化のない場所になる。

例：グラフから疎密を読む

$y=A\sin \frac{2\pi x}{\lambda }$ の形のグラフを考えます。$x=0$ から $\lambda$ までを見ます。

$x=0$ は右上がりの零点なので疎。$x=\frac{\lambda }{2}$ は右下がりの零点で密。

$x=\frac{\lambda }{4}$ は山、$x=\frac{3\lambda }{4}$ は谷なので、どちらも密度は変わりません。

疎と密は半波長ごとに交互に並ぶ。疎から次の疎までが 1 波長。

4 分の 1 波長ずれる

変位が最大になる場所と、密度が最大になる場所は $\frac{\lambda }{4}$ だけ離れています^[1]。

位相でいえば $\frac{\pi }{2}$ のずれ。変位が正弦なら、密度の変化は余弦の形になる^[2]。

圧力も同じずれ方をする

密になれば圧力は上がり、疎になれば下がる。密度変化と圧力変化は同じ位相^[4]。

だから圧力の変化も、変位から $\frac{\lambda }{4}$ ずれます^[1]。変位の節が圧力の腹、変位の腹が圧力の節。

グラフを 2 段に並べると、山の位置が横に $\frac{\lambda }{4}$ ずれているのが見える。

問題文が「変位のグラフ」と書いているか「圧力のグラフ」と書いているかで、読み方がまるで変わる。まずそこを確かめる。

媒質はどちらへ動くか

密の点では、媒質は波の進む向きへ最も速く動いています^[3]。疎の点では、逆向きに最も速い。

進む向きへ押し込むから密になる、と見ると自然です。押しのけられた先が、次の瞬間の密になる。

例：媒質が動く向きを読む

右へ進む波のグラフで、ある点の媒質がどちらへ動くかを知りたいとします。

グラフをほんの少しだけ右へずらし、その点の値が上がるか下がるかを見ます。上がるなら媒質は右へ、下がるなら左へ動く。

右下がりの零点では、少し右へずらすと値が上がる。だから媒質は右向き、つまり波の進む向きへ動いている。

式で確かめる

正弦波の変位を式に書きます。右へ進む波なら次の形。

$$y=A\sin 2\pi \left(\frac{x}{\lambda }-\frac{t}{T}\right)$$

密度の変化を決めるのは傾きなので、$x$ で微分した量を見ます。

$$\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{2\pi A}{\lambda }\cos 2\pi \left(\frac{x}{\lambda }-\frac{t}{T}\right)$$

傾きが最も負になるのは、余弦が $-1$ になるところ。そのとき正弦は $0$ なので、変位も $0$ です。

グラフで読んだ結論と、式から出た結論が一致しました。密は「変位 $0$ かつ傾きが最も負」の点。

例：疎密の間隔を出す

振動数 $500\mathrm{Hz}$ の音を、音速 $340m/s$ の空気の中で考えます。

$$\lambda =\frac{340}{500}=0.68\mathrm{m}$$

密から次の密までが $0.68\mathrm{m}$、密から隣の疎までがその半分の $0.34\mathrm{m}$。

変位が最大の点から最も密な点までは、さらにその半分の $0.17\mathrm{m}$ になります。これが $\frac{\lambda }{4}$ のずれ。

圧力の振幅と変位の振幅

圧力の変化の大きさは、変位の振幅だけでは決まりません。振動数と媒質の性質も効きます^[2]。

$$\Delta p_{\max }=\rho v\omega s_{\max }$$

$\rho$ が空気の密度、$v$ が音速、$\omega$ が角振動数、$s_{\max }$ が変位の振幅。$\omega$ が入っているので、高い音ほど同じ変位で強い圧力になる。

例：会話の音の圧力

$500\mathrm{Hz}$、変位の振幅 $1.0\times 10^{-8}\mathrm{m}$ の音を考えます。空気の密度は $1.2kg/{\mathrm{m}}^3$。

$\omega =2\pi \times 500=3.1\times 10^{3}rad/s$ を入れます。

$$\Delta p_{\max }=1.2\times 340\times 3.1\times 10^3\times 1.0\times 10^{-8}=1.3\times 10^{-2}\mathrm{Pa}$$

大気圧 $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ の $1000$ 万分の $1$ ほど。空気の分子は原子の大きさの数十倍しか動いていません。

それでも耳はこの差を拾う。聞こえているのは、この $10^{-2}\mathrm{Pa}$ の上下です。

例：振動数だけ 2 倍にする

同じ変位の振幅のまま $1000\mathrm{Hz}$ にすると、$\omega$ が 2 倍になります。

圧力の振幅も 2 倍の $2.6\times 10^{-2}\mathrm{Pa}$。高い音のほうが、同じ揺れ幅でも強く聞こえる理由がここにある。

逆にいえば、低い音を同じ強さで出すには、空気を大きく動かす必要があります。低音用のスピーカーが大きいのはそのため。

定常波では節と腹が入れかわる

気柱の中では、行きの波と返りの波が重なって定常波ができる。ここでも変位と圧力のずれが効く。

閉じた端は壁があるので、媒質が動けません。だから変位の節であり、同時に圧力の腹になります。

開いた端は外の空気とつながっているので、圧力が大気圧から変われない。だから圧力の節であり、変位の腹になります。

例：閉管の圧力分布

長さ $L$ の閉管の基本振動を考えます。閉端が変位の節、開端が変位の腹。

管の長さは $\frac{\lambda }{4}$ にあたるので、$\lambda =4L$ です。

圧力で見ると、閉端が腹で開端が節。変位の図をそのまま裏返した形になります。

耳で聞く音は圧力の変化なので、閉端に近いほど大きく響く。管の底に耳を当てたくなるのは、理にかなっています。

例：開管の圧力分布

両端が開いた管では、どちらの端も変位の腹になります。基本振動では管の中央が変位の節。

管の長さは $\frac{\lambda }{2}$ にあたるので、$\lambda =2L$ です。

圧力で見ると、両端が節で中央が腹。閉管とちょうど逆の形になります。

管の外へ音が漏れる強さは、端での変位の大きさで決まる。開管が閉管より大きく鳴るのは、両端が腹だからです。

定常波でも確かめます。

つまずきやすいところ

変位そのものではなく、となりとの差を見る。グラフの傾きだけを追えば、疎密も圧力も気柱の共鳴も、同じ 1 枚の図から読めます。

参考文献