音色と倍音の合成〜ピアノとバイオリンで同じドが違って聞こえる

ピアノとバイオリンで同じ高さの音を出すと、振動数はまったく同じです。それでも、目をつぶっていても聞き分けられる。

違うのは 1 周期のあいだの波の形です。形を決めているのは、基本の振動に混ざる倍音の割合^[3]。

倍音は基本振動数の整数倍だけが並びます。$f$、$2f$、$3f$、$4f$。どれを強く含むかで、同じ高さのまま音色だけが変わる。

高さと大きさと音色

音の三要素は、高さと大きさと音色です。高さは振動数、大きさは振幅で決まります。

残った音色だけが、1 つの数では表せない。1 周期ぶんの波形そのものが音色にあたる^[3]。

波形は無数にありますが、周期が同じなら決まった作り方があります。基本振動と倍音を足し合わせる、という作り方^[1]。

足しても周期は変わらない

振動数 $f$ の波に、$2f$ の波を足す。$2f$ の波は 1 周期のあいだにちょうど 2 回ふるえるので、$\frac{1}{f}$ ごとに元の位置へ戻る。

$3f$ でも $4f$ でも同じです。整数倍だから、$\frac{1}{f}$ ごとに全員がそろって元へ戻る^[1]。

だから何本足しても、合成波の周期は $\frac{1}{f}$ のまま。高さは変わらず、形だけが変わる。

上の細い線が 1 本ずつの倍音、下の太い線が合成した波です。本数が増えても、山が現れる間隔は変わりません。

例：基本振動 220 Hz

$f=220\mathrm{Hz}$ の音を考える。倍音は $440$、$660$、$880\mathrm{Hz}$ と並ぶ。

$440\mathrm{Hz}$ は 1 オクターブ上、$660\mathrm{Hz}$ はさらに完全 5 度上にあたります。音階の並びが、整数倍から出てきている。

どれをどれだけ含むかは楽器しだいです。$220\mathrm{Hz}$ が最も強い楽器も、$440\mathrm{Hz}$ のほうが強い楽器もある。

聞こえる高さを決めるのは、いちばん強い成分ではなく周期のほうです^[1]。

波形が変わるだけで別の音になる

3 本とも周期は同じです。基本波だけの音は柔らかく、角ばった波ほど硬く聞こえます。

弦と開管はすべての倍音

両端が固定された弦では、$L=n\frac{\lambda }{2}$ を満たす波が立ちます。振動数は $f_1$ の $1$ 倍、$2$ 倍、$3$ 倍と並ぶ。

両端が開いた管も同じです。どちらも整数倍がすべてそろう^[2]。

閉管は奇数倍音だけ

片方が閉じた管では、閉端が節、開端が腹になります。この形に収まるのは $L=(2n-1)\frac{\lambda }{4}$ のときだけ。

振動数は $f_1$ の $1$ 倍、$3$ 倍、$5$ 倍だけになります^[2]。偶数倍が抜け落ちる。

閉端では媒質が動けないので、そこは必ず節。開端は自由に動けるので腹になります。

この境界の条件が、入れる波の形をふるいにかける。だから偶数倍が消える。

例：同じ高さの開管と閉管

音速を $340m/s$ とします。長さ $0.85\mathrm{m}$ の開管の基本振動数を出す。

$$f_1=\frac{V}{2L}=\frac{340}{1.70}=200\mathrm{Hz}$$

倍音は $400$、$600$、$800\mathrm{Hz}$ です。

長さ $0.425\mathrm{m}$ の閉管でも基本振動数は同じ $200\mathrm{Hz}$ になります。

$$f_1=\frac{V}{4L}=\frac{340}{1.70}=200\mathrm{Hz}$$

ただし倍音は $600$、$1000$、$1400\mathrm{Hz}$。同じ高さでも並びが違うので、音色が変わります。

例：長さをそろえると 1 オクターブ違う

同じ $0.85\mathrm{m}$ の閉管なら $f_1=\frac{340}{3.40}=100\mathrm{Hz}$。

開管の半分、つまり 1 オクターブ低くなります^[2]。クラリネットが同じ長さのフルートより低く鳴るのは、この違いによるもの^[4]。

吹き上げたときの飛び方も違います。開管は 1 オクターブ上へ、閉管は 3 倍の音へ跳ぶ^[4]。

矩形波とのこぎり波

奇数倍音だけを $1$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{5}$、$\frac{1}{7}$ の振幅で足していくと、波形は角ばった矩形に近づく^[3]。

すべての倍音を $1$、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$ で足すと、のこぎりの歯のような形になる。

角を立てるには、高い倍音が要ります。急に切り替わる形ほど、細かい成分を多く含む。

クラリネットの音が矩形波に近い形になるのは、閉管として奇数倍音を出しているためです^[4]。

倍音の割合が音色を作る

同じ $200\mathrm{Hz}$ でも、倍音の強さの配り方で聞こえ方が変わる^[3]。

左の配り方はほぼ正弦波で、口笛のような音になります。右は高い成分が残るので、金属的に響く。

例：倍音を 1 本だけ落とす

すべての倍音を含む音から、$2$ 倍音だけをのぞいたとします。

周期は変わらないので、高さは同じまま。ところが波形は左右非対称に崩れ、聞こえ方が変わります。

音色は 1 本の倍音の有無でも動く。楽器の材質や形が音色を決めるというのは、結局この配り方を決めているという話です。

高さと音色の関係も確かめます。

まちがえやすい点

同じ高さで違って聞こえるのは、耳が周期だけでなく形も読んでいるから。整数倍という単純な並びから、楽器の個性が出てきます。

参考文献