プリズムの最小偏角から屈折率を求める

プリズムに細い光を当て、プリズムをゆっくり回す。曲がり方はだんだん小さくなり、あるところで止まって、そこからまた大きくなる。

いちばん曲がらない瞬間、光はプリズムの中を底面と平行に、左右対称に通っています^[3]。このときの曲がり角を最小偏角という。

$n = \frac{sin \frac{A + δ _{m}}{2}}{sin \frac{A}{2}}$

$A$ が頂角、 $δ_{m}$ が最小偏角。角を 2 つ測るだけで屈折率が出ます。

2 回曲がって出ていく

光はプリズムの入口と出口で 1 回ずつ屈折します。どちらでも同じ向きへ曲がるので、曲がりが足し算になる。

入射角を $i_{1}$ 、入口での屈折角を $r_{1}$ 、出口での入射角を $r_{2}$ 、出射角を $i_{2}$ とします。

四角形の内角から、2 つの屈折角には次の関係が出ます^[3]。

$r_{1} + r_{2} = A$

偏角は 2 回ぶんの曲がりの和。 $(i_{1} - r_{1}) + (i_{2} - r_{2})$ を整理します。

$δ = i_{1} + i_{2} - A$

回すと偏角が変わる

$i_{1}$ を変えれば $r_{1}$ が決まり、 $r_{2} = A - r_{1}$ から $i_{2}$ も決まります。 $δ$ は $i_{1}$ の関数になる。

グラフは下に凸の形になり、谷が 1 つだけできます。谷の底が最小偏角。

最小のとき対称に通る

$i_{1}$ と $i_{2}$ を入れかえても、光の道すじは逆向きにたどれば同じです。だから $δ$ は $i_{1}$ と $i_{2}$ について対称な形をしている。

対称な関数の谷は、2 つが等しいところに来る^[3]。つまり $i_{1} = i_{2}$ 。

このとき $r_{1} = r_{2} = \frac{A}{2}$ になり、光は底面と平行に進みます。

$δ_{m} = 2 i - A, i = \frac{A + δ _{m}}{2}$

入口でスネルの法則を当てる。 $sin i = n sin \frac{A}{2}$ なので、冒頭の式が出る。

例：頂角 60 度、屈折率 1.50

$sin \frac{A}{2} = sin 3 0^{\circ} = 0.500$ です。

$sin i = 1.50 \times 0.500 = 0.750, i = 48. 6^{\circ}$

$δ_{m} = 2 \times 48.6 - 60 = 37. 2^{\circ}$

$37.2$ 度が最小偏角。どんなに角度を変えても、これより小さくは曲がりません。

例：測った角から屈折率を出す

頂角 $6 0^{\circ}$ のプリズムで、最小偏角が $37. 2^{\circ}$ と測れたとします。

$n = \frac{sin \frac{60 + 37.2}{2}}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{sin 48. 6 ^{\circ}}{0.500} = \frac{0.750}{0.500} = 1.50$

角を 2 つ測るだけで屈折率が出ました。プリズム分光器はこの原理で作られている。

例：屈折率が大きいガラス

$n = 1.60$ にすると $sin i = 0.800$ で $i = 53. 1^{\circ}$ 。

$δ_{m} = 2 \times 53.1 - 60 = 46. 2^{\circ}$

屈折率が大きいほど、最小偏角も大きくなります。

色ごとに偏角が違う

屈折率は波長で変わります。短い波長ほど大きく、紫がいちばん大きい^[1]。

クラウンガラスでは、赤い光で $1.512$ 、紫の光で $1.530$ ほど^[1]。この差が偏角の差になる。

例：赤と紫の偏角を出す

頂角 $6 0^{\circ}$ で計算します。赤は $sin i = 1.512 \times 0.500 = 0.756$ から $i = 49. 1^{\circ}$ 。

$δ_{m} (赤) = 2 \times 49.1 - 60 = 38. 2^{\circ}$

紫は $sin i = 1.530 \times 0.500 = 0.765$ から $i = 49. 9^{\circ}$ 。

$δ_{m} (紫) = 2 \times 49.9 - 60 = 39. 8^{\circ}$

差は $1. 6^{\circ}$ 。屈折率の差はわずか $0.018$ ですが、角の差ははっきり出ます。

例：スクリーン上でどれだけ離れるか

プリズムから $2.0 m$ 離れた壁に映します。

$2.0 \times tan 1. 6^{\circ} = 2.0 \times 0.028 = 0.056 m$

$5.6 cm$ ほど。距離を伸ばせばスペクトルはいくらでも広がる^[1]。

頂角が大きすぎると出られない

出口で $r_{2}$ が臨界角を超えると、光は全反射して外へ出られない^[2]。

$r_{1} + r_{2} = A$ なので、 $A$ が大きいほど $r_{2}$ も大きくなりがちです。臨界角を $θ_{c}$ とすると、 $A > 2 θ_{c}$ では出口を通れない場合が現れる。

$n = 1.50$ なら $sin θ_{c} = \frac{1}{1.50} = 0.667$ で $θ_{c} = 41. 8^{\circ}$ 。 $2 θ_{c} = 83. 6^{\circ}$ が境目になります。

例：直角プリズム

頂角 $9 0^{\circ}$ のプリズムは $83. 6^{\circ}$ を超えています。光は側面から出られず、全反射する。

この性質を使うのが双眼鏡やペリスコープです^[2]。鏡と違って反射率が落ちないので、明るいまま向きを変えられる。

分散させたいときは頂角 $6 0^{\circ}$ 、向きを変えたいときは $9 0^{\circ}$ 。同じガラスの塊でも、頂角で役目が変わります。

例：薄いプリズムなら簡単になる

頂角が小さいと角度も小さく、 $sin θ \approx θ$ が使えます。

$δ_{m} \approx (n - 1) A$

$A = 6^{\circ}$ 、 $n = 1.50$ なら $δ_{m} \approx 0.50 \times 6 = 3. 0^{\circ}$ 。正確に計算しても $3. 0^{\circ}$ で、よく合います。

眼鏡のレンズに入れるプリズムはこの範囲です。度数の単位も、この近似を前提に決められている。

頂角 $6 0^{\circ}$ のプリズムで最小偏角が $3 0^{\circ}$ と測れました。屈折率はいくらですか。

$1.50$
$1.41$
$1.73$

__RESULT__

$n = \frac{sin \frac{60 + 30}{2}}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{sin 4 5 ^{\circ}}{0.500} = \frac{0.707}{0.500} = 1.41$ です。 $1.73$ は分子を $sin 6 0^{\circ}$ としてしまった値になります。

光の通り方も確かめます。

最小偏角になっているとき、プリズムの中で光はどう進んでいますか。

入口の面に垂直に進む
底面と平行に進む
頂点へ向かって進む

__RESULT__

$r_{1} = r_{2} = \frac{A}{2}$ となり、光は左右対称に通ります。この向きが底面と平行になる向きです。入口に垂直だと $r_{1} = 0$ で、対称にはなりません。

まちがえやすい点

偏角を屈折角そのものと考える。もとの向きからのずれで、2 回ぶんの和になります。

r_{1} + r_{2}

を

18 0^{\circ}

とする。頂角

A

に等しくなります。

最小偏角の式の分子を

sin A

にする。

sin \frac{A + δ _{m}}{2}

です。

プリズムを回せばいくらでも曲げられると思う。谷が 1 つあり、それより小さくはなりません。

紫より赤のほうが大きく曲がると考える。屈折率は紫のほうが大きいので、紫が大きく曲がります。

頂角を大きくすればよく分散すると思う。大きすぎると全反射して光が出てきません。

角度を 2 つ測るだけで、ガラスの中の光の速さまで決まる。回して谷を探す、というそれだけの操作が、屈折率という量に直結しています。

参考文献

Dispersion. University Physics Volume 3, OpenStax.

Total Internal Reflection. University Physics Volume 3, OpenStax.

*Übungsaufgabe: Das Prisma*. Lernplattform Physik, Universität Göttingen.

プリズムを回していくと曲がり方はいったん小さくなり、あるところで止まってまた大きくなります。谷の底では光が底面と平行に、左右対称に通っている。そこから $n = \sin\frac{A+\delta_m}{2} \div \sin\frac{A}{2}$ が出るので、角を 2 つ測るだけで屈折率が決まります。頂角 60 度、屈折率 1.50 なら最小偏角は 37.2 度。屈折率が波長で変わるぶん、赤は 38.2 度、紫は 39.8 度と分かれ、2.0 m 先の壁で 5.6 cm に広がる。頂角が臨界角の 2 倍を超えると光が出られなくなり、90 度のプリズムが双眼鏡の全反射に使われる理由もここから出ます。