共振曲線と固有振動数（減衰が小さいほど山は鋭くなる）

ブランコを大きく振らせたいとき、強く押すより「合わせて」押すほうが効く。合わせるというのは、押す周期をブランコ自身の周期にそろえること^[1]。

小さな力でも、周期がそろっていれば振れはどんどん大きくなる。ずれていれば、いくら強く押しても伸びません。

この、外から周期的に揺らす動きを強制振動といいます。振幅がとくに大きくなる場合が共振。

固有振動数

物体を一度揺らして手を離すと、決まった速さで振れます。この振動数を固有振動数といいます^[1]。

ばねにつるしたおもりなら、ばね定数と質量で決まる。

$$f_0=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$$

振り子なら糸の長さと重力加速度で決まる。おもりの質量は入ってこない。

$$f_0=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{L}}$$

例：ブランコの周期

くさりの長さを $2.5\mathrm{m}$ とします。

$$T=2\pi \sqrt{\frac{2.5}{9.8}}=3.2\mathrm{s}$$

$3.2$ 秒に 1 回の割で押せばよい。座る人が重くても軽くても、この周期は変わらない。

例：ばね振り子

ばね定数 $40N/m$、質量 $0.10\mathrm{kg}$ の場合を出します。

$$f_0=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{40}{0.10}}=\frac{20}{6.28}=3.2\mathrm{Hz}$$

こちらは質量が効きます。おもりを 4 倍にすれば、固有振動数は半分になる。

例：振り子の長さを 2 倍にする

$1.0\mathrm{m}$ の振り子の周期は $2.0$ 秒。長さを $2.0\mathrm{m}$ にします。

$$T=2\pi \sqrt{\frac{2.0}{9.8}}=2.8\mathrm{s}$$

$2$ 倍ではなく $\sqrt{2}$ 倍になりました。根号の中に長さがいるため。

$4$ 倍の長さにして、ようやく周期が $2$ 倍になる。ブランコを 1 段長くしても、押す間隔はそれほど変わりません。

揺らす振動数を変えていく

外から周期的な力を加えると、物体は加えた側の振動数で振れます。自分の固有振動数では振れない^[1]。

変わるのは振幅のほうです。加える振動数が固有振動数に近いほど、振幅が大きくなる。

振幅を縦軸、揺らす振動数を横軸にとったグラフを共振曲線といいます^[3]。山が 1 つあり、その頂上が固有振動数のあたり。

減衰が浅いほど鋭くなる

摩擦や空気抵抗でエネルギーが失われる度合いを減衰といいます。減衰が小さいほど、山は高く細くなる^[1]。

減衰がとても小さいと、山が細くなって当てるのが難しくなります。ぴたりと合ったときだけ大きく振れる^[3]。

ラジオの選局はこの細さを使う。特定の振動数だけを拾い、隣の放送を落とすには、鋭い山が要る^[1]。

共振の鋭さを数で表す

山の細さは、振幅が最大の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ になるところまでの幅で測ります。この幅を $\Delta f$ とすると、鋭さは次の比で表せる^[1]。

$$Q=\frac{f_0}{\Delta f}$$

$Q$ が大きいほど山が細い。減衰が小さい系ほど $Q$ が大きくなります。

例：ラジオの選局

$80\mathrm{MHz}$ の放送を受けたいとします。隣の局が $0.2\mathrm{MHz}$ 離れている。

隣を落とすには $\Delta f$ が $0.2\mathrm{MHz}$ より小さい必要があります。

$$Q>\frac{80}{0.2}=400$$

$400$ を超える鋭さが要る。ラジオの同調回路が、わざわざ減衰を抑えて作られている理由です^[1]。

例：合っていないときの振れ方

固有振動数の半分で揺らすと、振幅は静かに押さえたときの $1.3$ 倍ほどにしかなりません。

$2$ 倍の振動数で揺らすと、$0.3$ 倍まで落ちます。速すぎる揺さぶりには、物体がついていけない。

ちょうど合わせたときだけ $4$ 倍を超える。山がどれだけ急かが、この 3 つの数から見えます。

揺れの向きも変わる

ゆっくり揺らすと、物体は加える力と同じ向きへ動きます。手で押した向きへ素直についてくる形。

速く揺らすと、逆向きに動くようになる。力を右へ加えているのに、物体は左へ振れています^[3]。

共振はちょうどその境目です。おくれが $4$ 分の $1$ 周期になり、力と速度が同じ向きにそろう^[3]。

押すタイミングは端ではない

共振しているとき、揺れは加える力より 4 分の 1 周期おくれる^[3]。

力がいちばん大きい瞬間に、揺れはちょうど中央を通っている。速度が最大の瞬間です。

だからブランコは、いちばん高く上がった端ではなく、いちばん速く通り過ぎる瞬間に押すのが効きます。進む向きへ押せば、仕事がそのまま加わる。

例：押しかたを変えてみる

端で押すと、力の向きと動く向きが直交しがちで、仕事がほとんど加わらない。

中央で進行方向へ押せば、力と速度が同じ向き。加えたぶんがそのままエネルギーになる。

同じ強さで押しても、タイミングだけで結果が変わる。共振が「合わせる」現象と呼ばれるゆえんです。

音の共鳴も同じこと

気柱や弦にも固有振動数があります。その振動数の音を当てると、大きく振れて鳴り出す^[2]。

音の場合はとくに共鳴と呼びますが、起きていることは強制振動の共振と変わりません。

例：閉管の共鳴

長さ $0.425\mathrm{m}$ の閉管を考えます。音速を $340m/s$ とする。

$$f_0=\frac{V}{4L}=\frac{340}{1.70}=200\mathrm{Hz}$$

$200\mathrm{Hz}$ の音叉を管口で鳴らすと、管が大きく響きます。$180\mathrm{Hz}$ や $220\mathrm{Hz}$ では、ほとんど鳴らない。

奇数倍の $600\mathrm{Hz}$ でも共鳴する。閉管が立てられる形が、その振動数に合うためです^[2]。

例：音叉を 2 つ並べる

同じ振動数の音叉を 2 つ並べ、片方だけを鳴らす。しばらくすると、もう片方も鳴り始める。

空気を伝わった音が、2 つめの音叉にとって周期的な力になっています。振動数がそろっているので、小さな力でも振れが積み上がる。

片方に輪ゴムを巻いて振動数をずらすと、もう鳴りません。合っているかどうかだけが効いている証拠です。

揺れすぎると壊れる

減衰が小さい構造に、固有振動数に近い揺れが加わり続けると、振幅が危険なほど大きくなる^[3]。

歩行者用の橋が、人の歩調と合って大きく揺れた例が知られています^[1]。

対策は 2 つ。固有振動数を、加わる揺れの成分から外すか、減衰を増やして山を低くするか。どちらも共振曲線を動かす操作です。

減衰の効き方も確かめます。

整理

強さではなく、合わせること。小さな力を周期を合わせて積み上げるだけで、ブランコも橋も大きく揺れます。

出典