波の重ね合わせと定常波 - 干渉の条件・腹と節・固定端と自由端の反射

2 つの波が同じ場所に来たとき、その点の変位は 2 つの変位の和になります。片方が押しのけた分だけ、もう片方が上乗せする。これを重ね合わせの原理といいます。

波どうしは衝突しない。すれ違ったあと、どちらも元の形と速さのまま進んでいく。

以下では、重ね合わせの原理から干渉の条件を出し、逆向きの波が作る定常波の式と腹と節の位置、固定端と自由端での反射の違い、反射波の作図までを扱います。計算例には、経路差から強め合いを判定する手順と、節の間隔から波長を出す手順を置いた。

重ね合わせの原理

ある瞬間、ある点に 2 つの波が来ているとします。その点の変位は、それぞれの波が単独で作る変位を足したもの。

$$y=y_1+y_2$$

足し算なので、符号も込みで扱う。山と山が重なれば高くなり、山と谷が重なれば打ち消し合う。

この原理が成り立つのは、波を支配する式が線形だからです。英語版 Wikipedia の重ね合わせの原理の項目も、線形性が条件だと明記している。

振幅が大きくなりすぎると線形性がくずれ、原理は近似にすぎなくなります。高校で扱う範囲では、いつでも成り立つものとして進めてよい。

波の独立性

重なっている最中は形が変わりますが、通り過ぎたあとは元に戻る。相手にぶつかって減速したり、形がゆがんだりしない。

これを波の独立性といいます。粒子の衝突とは決定的に違うところ。

同じ空気の中を何人もの声が同時に飛び交っても、混ざって別の音になったりしない。それぞれの波が、他をすり抜けて届く。

図の左が山どうし、右が山と谷です。真ん中の段が重なった瞬間で、山どうしなら高さが 2 倍になり、山と谷なら平らになる。

いちばん下の段を見ると、どちらの場合も 2 つのパルスが元の形で出てきています。打ち消し合ったほうも、消えてなくなったわけではない。

平らになった瞬間も、媒質は止まっていません。変位が 0 でも速度は残っていて、エネルギーは運動エネルギーの形で持たれている。

干渉

同じ振動数の波が 2 つの波源から出ていると、場所によって強め合う点と弱め合う点ができます。この模様が動かずに保たれる現象を干渉という。

強め合う点では、2 つの波がいつも同位相で届いています。山が来るタイミングがそろっているので、変位が足し合わされて大きくなる。

弱め合う点では、いつも逆位相で届く。片方が山のときもう片方が谷なので、打ち消し合って振幅が小さくなります。

大切なのは「いつも」というところ。たまたま同位相になる瞬間があるだけでは、模様は動いてしまいます。

そのためには 2 つの波源の振動数が等しく、位相の関係が保たれている必要がある。この条件を満たす 2 波源をコヒーレントな波源といいます。

干渉の条件

どちらが起きるかは、2 つの波源から観測点までの距離の差で決まる。この差を経路差という。

同位相で振動する 2 つの波源から、距離 $L_1$ と $L_2$ の点を考えます。経路差が波長の整数倍なら、山と山が同時に届く。

$$|L_1-L_2|=m\lambda (m=0,1,2,\dots )$$

経路差が半波長の奇数倍なら、片方が山のときもう片方が谷になる。

$$|L_1-L_2|=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda$$

位相差に直すと見通しがよくなる。経路差 $\Delta L$ に対応する位相差は $2\pi \Delta L/\lambda$ で、これが $2\pi$ の整数倍か $\pi$ の奇数倍かで分かれます。

OpenStax の波の干渉の節は、位相差 $\varphi$ だけずれた同じ振幅の 2 波の合成振幅を $2A\cos (\varphi /2)$ と書いている。$\varphi =0$ で $2A$、$\varphi =\pi$ で $0$ になる。

2 つの波源が逆位相で振動している場合は、条件がそっくり入れ替わる。経路差が波長の整数倍のところが弱め合いになります。

手順は、経路差を波長で割るだけ。答えが整数なら強め合い、$0.5$ 刻みの半端なら弱め合います。

2 つの波源が作る模様

水面に 2 つの波源を並べると、強め合う点をつないだ線と、弱め合う点をつないだ線が交互に並ぶ。

強め合う線は、2 つの波源からの距離の差が一定の点の集まり。距離の差が一定である点の軌跡は双曲線なので、模様は双曲線の族になる。

真ん中のまっすぐな線は、2 つの波源から等距離にある点の集まりです。経路差が $0$ なので、いつでも強め合う。

そこから外へ行くほど、経路差は $\lambda$、$2\lambda$ と増えていく。強め合う線は外側ほど曲がりが強くなる。

弱め合う点は、隣り合う強め合いの線のあいだに並ぶ。水面の写真では、波立たない筋として見える。

定常波ができる仕組み

振幅も波長も振動数も等しい 2 つの波が、逆向きに進んで重なると、進まない波ができる。これが定常波です。

模様が左右に動かず、その場で伸び縮みするだけ。フランス語版 Wikipedia の定常波の項目も、進行しない振動として定義している。

いちばんよくある作り方は、1 つの波とその反射波を重ねることです。1 本の波源しかなくても、端で跳ね返ってきた波が逆向きの波になる。

弦をはじいたときも、気柱が鳴るときも、中身はこれと同じ。どちらも端での反射が逆向きの波を用意しています。

定常波の式

逆向きに進む 2 つの波を式で書き、足してみます。振幅 $A$、波数 $k$、角振動数 $\omega$ をそろえた 2 波を用意する。

$$y_1=A\sin (kx-\omega t),y_2=A\sin (kx+\omega t)$$

和積の公式 $\sin P+\sin Q=2\sin \frac{P+Q}{2}\cos \frac{P-Q}{2}$ を当てます。

$$y=y_1+y_2=2A\sin kx\cos \omega t$$

OpenStax の定常波と共鳴の節が挙げているのと同じ形です。

この式の見どころは、$x$ と $t$ が別々の因子に分かれたところ。位置が振幅を決め、時刻が全体の伸び縮みを決める。

進行波では $kx-\omega t$ のように 2 つが混ざっていました。混ざっていないので、波形は移動しない。

各点の振幅は $|2A\sin kx|$ で、位置だけで決まります。時刻をどう変えても、この大きさを超えない。

腹と節の位置と間隔

振幅が $0$ になる点を節、最大になる点を腹といいます。節の位置は $\sin kx=0$ から出る。

$$x=0,\frac{\lambda }{2},\lambda ,\frac{3\lambda }{2},\dots$$

腹の位置は $\sin kx=\pm 1$ となるところ。節と節のちょうど真ん中に来る。

$$x=\frac{\lambda }{4},\frac{3\lambda }{4},\frac{5\lambda }{4},\dots$$

図の濃い線が振幅の限界で、薄い線が途中のコマです。黒い点の位置はどのコマでも動かない。

ここから間隔が読めます。節から次の節までが $\lambda /2$、節から隣の腹までは $\lambda /4$。

ドイツ語版 Wikipedia の定常波の項目も、隣り合う節どうしの間隔を半波長としています。

間隔が $\lambda /2$ なので、節を 2 つ見つければ波長が出る。実験で波長を測るときの定石になります。

定常波はエネルギーを運ばない

進行波はエネルギーを先へ送りますが、定常波は送りません。節がその通り道をふさいでいる。

節では変位がいつも $0$ で、媒質が動かない。動かない点を通ってエネルギーが向こう側へ渡ることはありません。

エネルギーは節と節にはさまれた区間に閉じこめられ、その中で形を変えるだけ。腹が最大に振れた瞬間は位置エネルギー、まっすぐになった瞬間は運動エネルギーになります。

中国語版 Wikipedia の駐波の項目も、波形が進まないためエネルギーを伝えられないと書いている。

自由端反射と固定端反射

波が媒質の端に達すると反射します。端の作りによって、跳ね返り方が 2 通りに分かれる。

固定端は、端が動けないように留められている場合です。端の変位はいつも $0$ でなければならない。

そこで反射波は、入射波を上下反転した形で戻ります。2 つを足すと端で必ず $0$ になり、条件が満たされる。

この反転を位相が $\pi$ ずれるといいます。山として届いたパルスは、谷として返ってくる。

自由端は、端が自由に動ける場合です。反転は起きず、山は山のまま返ってくる。

図は入射波を実線、反射波を点線で描いたものです。上の段では山が山のまま、下の段では山が谷になって戻っている。

この違いが、そのまま端の性質を決めます。固定端は必ず節、自由端は必ず腹になる。

音の場合は、閉じた管の底が固定端、開いた口が自由端にあたります。弦では両端を留めるので、どちらも固定端になる。

反射波の作図

入射波の形が与えられて、反射波や合成波を描く問題は頻出です。手順を決めておけば迷わない。

まず入射波を、壁の向こうまで延長して描く。次に壁を境に左右を折り返し、媒質のある側へ移します。

固定端ならここで上下も反転させる。自由端なら反転させず、そのまま使います。

最後に入射波と反射波を足せば、実際に見える波形になる。定常波の問題では、この足し算まで求められることが多い。

要点は折り返しを 2 回行うところにあります。左右の折り返しは向きを変えるため、上下の反転は端の条件を満たすため。

端が節になるか腹になるか

固定端では、入射波と反射波の変位がいつも打ち消し合います。だから端は節。

自由端では、2 つの変位が同じ向きにそろう。振幅は $2$ 倍になり、端は腹になります。

弦を両端で留めれば、両端が節の定常波しか立ちません。この条件が、鳴る振動数を飛び飛びに絞る。

この問いは、反射のときに位相が $\pi$ ずれることをそのまま言い直したものです。作図で確かめれば、覚える必要もない。

計算例：経路差から強め合いを判定する

同位相で振動する 2 つの波源から、波長 $3.0$ cm の波が出ています。ある点までの距離が $15.0$ cm と $24.0$ cm のとき、この点の様子を調べます。

まず経路差を出す。

$$|L_1-L_2|=24.0-15.0=9.0\mathrm{cm}$$

これを波長で割ります。

$$\frac{9.0}{3.0}=3$$

整数なので強め合う点。波源が同位相なら、経路差が波長の整数倍で山と山がそろいます。

もし距離が $15.0$ cm と $25.5$ cm なら、経路差は $10.5$ cm で $3.5$ 波長ぶん。半端なので弱め合う点になる。

計算例：定常波の式を作る

振幅 $0.10$ m、波長 $0.80$ m、振動数 $5.0$ Hz の波が、逆向きに 2 本進んでいます。合成した定常波の式を作ります。

波数と角振動数を先に出す。

$$k=\frac{2\pi }{0.80}=2.5\pi rad/m,\omega =2\pi \times 5.0=10\pi rad/s$$

これを $y=2A\sin kx\cos \omega t$ に入れます。

$$y=0.20\sin (2.5\pi x)\cos (10\pi t)$$

腹での振幅は $0.20$ m で、もとの波の $2$ 倍。節は $\sin (2.5\pi x)=0$ から $x=0$、$0.40$ m、$0.80$ m と並びます。

節の間隔は $0.40$ m で、波長 $0.80$ m の半分になった。式から出した位置と、間隔の規則が合っています。

計算例：節の間隔から波長と速さを出す

弦に定常波を立てたところ、隣り合う節の間隔が $0.15$ m でした。弦を振動させている振動数は $40$ Hz。波長と速さを求めます。

節の間隔は半波長にあたる。

$$\lambda =2\times 0.15=0.30\mathrm{m}$$

速さは $v=f\lambda$ から出ます。

$$v=40\times 0.30=12m/s$$

定常波の写真からは、波長を直接読みとれません。節の間隔を測って 2 倍する、という一手間が入る。

腹の間隔を測っても同じ値になります。腹どうしの間隔も $\lambda /2$ だから。

計算例：反射波を描いて定常波にする

固定端に向かって、山のパルスが進んでいるとします。反射後の合成波を作図で求めます。

入射波を壁の向こうまで延ばし、壁を境に左右を折り返す。ここまでは自由端と共通の操作になります。

固定端なので、続けて上下を反転させます。山だったパルスが谷になり、これが反射波。

入射波と反射波を足すと、壁のところで変位が $0$ になっています。固定端の条件が満たされていることの確認になる。

正弦波を送り続けた場合は、この足し算が定常波になります。壁が節、そこから $\lambda /4$ の位置が最初の腹。

よくある誤り

作図の手順を決めておけば、反射がからむ問題はほとんど落とせます。左右を折り返し、固定端なら上下も反転する、この 2 段だけ。

参考文献