水面波の干渉で強め合う条件と節線の数え方

水面に 2 つの波源を並べて同じ振動数で揺らすと、水面がまったく動かない線が何本か現れます。この線を節線という。

節線がどこを走るかは、2 つの波源からの距離の差だけで決まります。差が半波長の奇数倍になる点が、節線の上の点^[1]。

$$|r_1-r_2|=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda (m=0,1,2,\dots )$$

何本できるかも、波源の間隔 $d$ と波長 $\lambda$ だけで決まる。図を描かなくても数えられます。

経路差で決まる

点 P に届く 2 つの波を考える。波源からの距離を $r_1$、$r_2$ とする。

同位相で出た波なら、P での位相の差は距離の差から出ます。この差を経路差という^[3]。

経路差が波長の整数倍なら山と山が重なって強め合う。半波長の奇数倍なら、山と谷が重なって打ち消し合います。

波そのものは外へ広がっていきますが、灰色の帯は同じ場所に居すわります。動かない線があることが、干渉の目印。

節線は双曲線になる

$|r_1-r_2|$ が一定の点を集めた図形は、2 つの波源を焦点とする双曲線になる^[2]。

経路差 $\frac{\lambda }{2}$ の双曲線、$\frac{3\lambda }{2}$ の双曲線、と続いていく。強め合う線も同じ形で、経路差が $0$、$\lambda$、$2\lambda$ の双曲線になる。

経路差 $0$ の線だけは特別で、$S_1{S}_2$ の垂直二等分線という直線になる。

何本できるかを数える

節線が存在するには、その経路差が実際に作れなければならない。

$S_1$ と $S_2$ を結ぶ線分の上では、経路差は $-d$ から $+d$ まで連続に変わります。線分の外へ出ると、経路差は $d$ を超えられない。

だから条件は次のようになります。

$$\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda <d$$

これを満たす $m$ の個数を $N$ とすると、節線は左右対称に並ぶので $2N$ 本^[2]。

強め合う線のほうは $m\lambda <d$ で、$m=0$ の中央の 1 本を別に数える。

例：間隔 5.0 cm、波長 2.0 cm

$d=5.0$、$\lambda =2.0$ を入れる。

$$\left(m+\frac{1}{2}\right)\times 2.0<5.0,m<2.0$$

$m=0,1$ の 2 個。節線は $2\times 2=4$ 本です。経路差でいえば $1.0\mathrm{cm}$ と $3.0\mathrm{cm}$ の線。

強め合う線は $2.0m<5.0$ から $m=0,1,2$。中央の 1 本と、左右に 2 本ずつで合計 5 本になります。

線分の上で数え直す

$S_1{S}_2$ の上では、2 つの波が正面から向かい合います。重なると定常波になる。

同位相の波源なら、線分の中点は必ず腹です。腹と腹の間隔は $\frac{\lambda }{2}$。

線分上の節の個数は、節線が線分と交わる点の個数。だから 2 通りの数え方が同じ答えを出す。

例：2 通りで合わせる

$d=5.0\mathrm{cm}$、$\lambda =2.0\mathrm{cm}$ で確かめる。

中点を原点にとると、腹の位置は $0$、$\pm 1.0$、$\pm 2.0\mathrm{cm}$ の 5 個。$\pm 2.5$ は波源そのものなので数えません。

節の位置は $\pm 0.5$、$\pm 1.5\mathrm{cm}$ の 4 個です。経路差の式から出した 4 本と一致した。

計算がややこしくなったら、線分上に定常波を描いて数え直す。これがいちばん確実な検算になります。

例：波長を半分にする

$\lambda =1.0\mathrm{cm}$ にします。$\left(m+\frac{1}{2}\right)\times 1.0<5.0$ から $m<4.5$。

$m=0$ から $4$ の 5 個なので、節線は 10 本。波長を半分にすると本数はほぼ 2 倍になります^[2]。

線分上でも確かめる。腹の間隔が $0.5\mathrm{cm}$ になるので、節は $\pm 0.25$、$\pm 0.75$、$\pm 1.25$、$\pm 1.75$、$\pm 2.25$ の 10 個。合っています。

例：波源を離す

$d=8.0\mathrm{cm}$、$\lambda =2.0\mathrm{cm}$ とします。$m+0.5<4.0$ から $m=0,1,2,3$。

節線は 8 本になります。間隔を広げても本数が増える^[2]。

決めているのは $\frac{d}{\lambda }$ という比です。この比が大きいほど、模様は細かくなります。

例：節線の本数から波長を絞る

波源の間隔が $10\mathrm{cm}$ で、節線が 6 本見えたとします。波長はどの範囲にありますか。

6 本ということは $m=0,1,2$ の 3 個が成り立ち、$m=3$ は成り立たない。2 つの不等式を並べます。

$$2.5\lambda <10,3.5\lambda \ge 10$$

前者から $\lambda <4.0\mathrm{cm}$、後者から $\lambda \ge 2.9\mathrm{cm}$。

本数は飛び飛びにしか変わらないので、逆に解くと範囲になる。1 つの値には決まらない。

例：振動数を上げる

水面波の速さを $20cm/s$、波源の間隔を $5.0\mathrm{cm}$ とします。

振動数 $10\mathrm{Hz}$ なら $\lambda =2.0\mathrm{cm}$ で、節線は 4 本。

$15\mathrm{Hz}$ に上げると $\lambda =1.3\mathrm{cm}$ になり、$m+0.5<3.75$ から $m=0$ から $3$ の 4 個。節線は 8 本に増えます。

つまみを回して振動数を上げると、模様がだんだん細かくなる。水面波の実験で最初に気づくのがこの変化です。

節線が 1 本もできない場合

$m=0$ すら成り立たないことがあります。条件は $\frac{\lambda }{2}<d$ なので、これが崩れるとき。

$$d<\frac{\lambda }{2}$$

波源の間隔が半波長より狭いと、どこをとっても経路差が $\frac{\lambda }{2}$ に届きません。水面全体がどこでも強め合う。

間隔 $1.0\mathrm{cm}$、波長 $3.0\mathrm{cm}$ ならこの場合にあたります。2 つの波源が 1 つの波源のように振る舞う。

逆位相の波源だと

片方の波源を半周期ずらして揺らすと、条件がそっくり入れかわる。

$d=5.0$、$\lambda =2.0$ の逆位相なら、節線は $2.0m<5.0$ から $m=0,1,2$。中央の 1 本と左右 2 本ずつで 5 本です。

同位相のときの強め合う線の本数と、そっくり入れかわりました。

遠くでは直線に近づく

双曲線は、遠ざかるにつれて漸近線に近づきます。波源から十分離れた場所では、節線はほぼ直線と見なせる^[1]。

その向きは、2 つの波源を通る直線となす角 $\theta$ で表せる。遠方では経路差が $d\sin \theta$ に近づくため。

$$d\sin \theta =\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda$$

スリットを 2 つ並べたときの暗線の条件と、まったく同じ形になりました。

例：遠方での節線の向き

$d=5.0\mathrm{cm}$、$\lambda =2.0\mathrm{cm}$ で、垂直二等分線から測った角を出します。

$m=0$ では $\sin \theta =\frac{1.0}{5.0}=0.20$ で $\theta =11.5^{\circ }$。

$m=1$ では $\sin \theta =\frac{3.0}{5.0}=0.60$ で $\theta =36.9^{\circ }$。外側ほど間隔が広がります。

水でも音でも光でも

同じ模様は、2 つのスピーカーからの音でも、2 つのスリットを通した光でも現れる^[1]。

違うのは波長の桁だけ。水面波なら数センチ、音なら数十センチ、光なら数百ナノメートル。

光では波長が小さすぎて $\frac{d}{\lambda }$ が巨大になり、模様が細かくなりすぎます。だからスリットの間隔を $0.1\mathrm{mm}$ ほどまで詰める必要がある。

位相の関係も確かめます。

つまずきやすいところ

数えるのは線ではなく、経路差として作れる値の個数。$\frac{d}{\lambda }$ さえ出せば、図を描く前に答えが決まります。

出典