薄膜干渉とニュートンリング：位相の反転と暗環の半径

シャボン玉が虹色に見えるのは、膜の表と裏で反射した光が干渉するからです。膜の厚さが場所ごとに違うので、強め合う色も場所ごとに変わる。

ここで効いてくるのは、反射のときに起きる位相の反転です。これを見落とすと、明暗の条件が入れ替わってしまう。

以下では位相の反転から始めて、薄膜の干渉条件、くさび形空気層とニュートンリングまでを扱います。計算例には、シャボン玉が色づく波長を出す手順と、ニュートンリングからレンズの曲率半径を求める手順を置いた。

反射のときに起きる位相の反転

光が境界で反射するとき、位相がそのままの場合と、$\pi$ ずれる場合がある。どちらになるかは、両側の屈折率で決まる。

屈折率の小さい側から大きい側へ向かって反射すると、位相が $\pi$ ずれる。弦の固定端反射と同じ状況。

逆に、大きい側から小さい側へ向かう反射では、位相は変わりません。こちらは自由端反射にあたる。

英語版 Wikipedia の薄膜干渉の項目も、進んできた媒質より屈折率の大きい面で反射するときに $180$ 度の位相のずれが起きるとしている。

透過する光には、この反転がありません。膜を通り抜ける光は、位相をそのまま保って進む。

位相の反転が条件を入れ替える

位相が $\pi$ ずれることは、光路差が半波長だけ増えたことと同じ意味を持つ。$\pi$ のずれは、半波長ぶん遅れて届いた波と見分けがつかない。

そこで計算では、$\pi$ の反転が $1$ 回あるたびに $\lambda /2$ を足すものとして扱います。この読み替えで、覚える条件が $1$ 組で済む。

反転が両方の面で起きる場合は、$\lambda /2$ が $2$ 回加わって $\lambda$ になる。$1$ 波長ぶんはずれていないのと同じなので、条件はもとに戻る。

数える対象は反転の回数です。何回起きたかを先に確かめてから、条件式を立てる。

薄膜干渉の仕組み

厚さ $d$、屈折率 $n$ の膜に、真上から光を当てます。膜の上面で反射する光と、膜の中を往復してから出てくる光の $2$ 本を考える。

$2$ 本目は膜の中を $2d$ だけ余分に進む。膜の中では波長が $\lambda /n$ に縮んでいるので、真空中の波長で数えると $2nd$ 進んだことになる。

$$\text{光路差}=2nd$$

上面での反射は、空気から膜へ向かう反射です。膜のほうが屈折率が大きいので、位相が $\pi$ ずれる。

下面での反射は膜から空気へ向かうので、位相は変わりません。反転が片方だけ起きる形になる。

薄膜の干渉条件

反転が片方だけなので、光路差に $\lambda /2$ を足したものが実質の差になる。それが波長の整数倍のとき、強め合う。

$$2nd+\frac{\lambda }{2}=(m+1)\lambda$$

整理すると、教科書でよく見る形が出ます。

$$2nd=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda$$

弱め合う条件は、光路差そのものが波長の整数倍のとき。

$$2nd=m\lambda$$

条件が逆転して見えるところが、この単元のつまずきどころです。位相の反転を数え忘れると、明暗をそっくりとり違える。

斜めに入るとき

真上からではなく斜めに当てる場合、膜の中を進む距離が変わる。膜の中の屈折角を $r$ とすると、光路差は次の形。

$$2nd\cos r$$

$r=0$ のとき $\cos r=1$ となり、垂直入射の式に戻る。見る角度を変えるとシャボン玉の色が変わるのは、この $\cos r$ が動くから。

シャボン玉と油膜が色づく理由

白色光を当てると、膜の厚さに応じて強め合う波長が決まる。その波長の色だけが強く反射され、色づいて見える。

膜の厚さは場所によって少しずつ違う。だから場所ごとに強め合う色が変わり、虹のような模様になります。

シャボン玉が割れる直前に黒く見えることがある。膜が極端に薄くなり $2nd$ がほぼ $0$ になると、位相の反転だけが残ってどの波長も弱め合うからです。

水たまりの油膜も同じ仕組み。油の膜が薄く広がり、厚さの違いが色の帯になって現れる。

反射防止膜

レンズの表面には、反射を減らす膜が塗られています。ここでは反転が $2$ 回起きるので、条件がひっくり返る。

膜の屈折率をガラスより小さく、空気より大きく選ぶ。すると上面でも下面でも「小さいほうから大きいほうへ」の反射になり、どちらも位相が $\pi$ ずれる。

反転が $2$ 回なので差し引き $0$。弱め合う条件は、光路差が半波長の奇数倍のときです。

$$2nd=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda$$

いちばん薄い膜は $m=0$ のときで、$d=\lambda /(4n)$ になる。膜の厚さを波長の $4$ 分の $1$ に合わせる、という設計の由来がここにある。

式の形は同じで、意味だけが入れ替わっています。反転の回数を数えるところが、そのまま答えを分ける。

くさび形空気層

$2$ 枚の平らなガラス板を重ね、片方の端に薄い紙をはさむ。板のあいだにくさび形の空気層ができる。

上の板の下面での反射は、ガラスから空気へ向かうので位相が変わりません。下の板の上面での反射は空気からガラスへ向かうので、$\pi$ ずれる。

反転は片方だけ。空気層なので $n=1$ で、光路差は $2d$ になる。

$$2d=m\lambda (\text{暗線}),2d=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda (\text{明線})$$

接触している端では $d=0$ なので、そこは暗くなる。光路差が $0$ でも、位相の反転だけが残るためです。

くさび形の縞の間隔

板の長さを $L$、はさんだ紙の厚さを $D$ とします。接触端から $x$ の位置での空気層の厚さは、比例配分で出る。

$$d=\frac{D}{L}x$$

暗線の条件 $2d=m\lambda$ に入れると、暗線の位置が求まる。

$$x=\frac{m\lambda L}{2D}$$

隣り合う暗線の間隔は、$m$ を $1$ つ増やしたときの差。

$$\Delta x=\frac{\lambda L}{2D}$$

縞が等間隔に並ぶのは、厚さが $x$ に比例しているからです。傾きが一定なら、同じ厚さの増分ごとに縞が現れる。

紙を厚くすると $D$ が増え、縞は詰まる。ガラスの平面性を調べる検査に使われるのは、少しの凹凸で縞が曲がるため。

ニュートンリング

平凸レンズを平面ガラスの上に置くと、接触点を中心とした同心円の縞が現れる。ニュートンリングと呼ばれる模様。

くさび形との違いは、空気層の厚さが位置の $2$ 乗で増えるところ。だから縞の間隔は外側ほど詰まる。

反射の事情はくさび形と同じです。上のレンズの下面では位相が変わらず、下の平面ガラスの上面で $\pi$ ずれる。

空気層の厚さと半径の関係

レンズの曲率半径を $R$、中心からの距離を $r$ とします。空気層の厚さは幾何学から出る。

$$d=R-\sqrt{R^2-r^2}$$

$r$ が $R$ に比べてずっと小さいので、近似が使える。

$$d\approx \frac{r^2}{2R}$$

中国語版 Wikipedia のニュートンリングの項目も、厚さを $R-\sqrt{R^2-r^2}$ と書いている。

暗環の半径

暗環の条件 $2d=m\lambda$ に、近似した厚さを入れます。

$$2\cdot \frac{r^2}{2R}=m\lambda \Rightarrow \frac{r^2}{R}=m\lambda$$

$$r=\sqrt{m\lambda R}$$

ドイツ語版 Wikipedia のニュートンリングの項目も、$r=\sqrt{k\lambda R}$ という同じ式を挙げている。

半径が $m$ の平方根に比例するので、外側ほど間隔が詰まる。$1$ 番目と $2$ 番目の差より、$9$ 番目と $10$ 番目の差のほうが小さい。

中心では $r=0$、つまり $d=0$ です。光路差が $0$ でも位相の反転が残るので、中心は暗い点になる。

厚さが $0$ なのに暗い、というところがこの模様の要点。位相の反転を数えていなければ、説明がつかない。

反射光と透過光で明暗が逆になる

ここまでは反射して戻ってくる光を見ていました。下から透かして見ると、明暗がそっくり入れ替わる。

透過する光には位相の反転がないためです。反射で $\pi$ ずれた分が効かなくなり、条件が反対になる。

エネルギーの保存から考えても筋が通る。反射で弱め合った光は、どこかへ消えるのではなく透過側へ回っている。

計算例：シャボン玉が強く反射する波長

厚さ $100$ nm、屈折率 $1.33$ のシャボン玉の膜に、白色光が垂直に当たります。もっとも強く反射される波長を求めます。

強め合いの条件に $m=0$ を入れる。

$$2nd=\frac{\lambda }{2}\Rightarrow \lambda =4nd$$

$$\lambda =4\times 1.33\times 100=532\mathrm{nm}$$

緑にあたる波長です。この膜は緑を強く返し、その色に見える。

厚さが変われば強め合う色も変わる。シャボン玉の表面で色が移り変わるのは、膜の厚さがゆっくり変化しているからです。

計算例：反射防止膜の厚さ

屈折率 $1.38$ の膜をガラスの表面に塗り、波長 $550$ nm の光の反射をもっとも小さくしたい。膜の最小の厚さを求めます。

反転が $2$ 回なので、弱め合いの条件は半波長の奇数倍。$m=0$ をとる。

$$2nd=\frac{\lambda }{2}\Rightarrow d=\frac{\lambda }{4n}$$

$$d=\frac{550}{4\times 1.38}\approx 100\mathrm{nm}$$

膜の中の波長の $4$ 分の $1$ という厚さになりました。カメラのレンズが薄く色づいて見えるのは、この膜が付いているから。

計算例：くさび形の縞の間隔

長さ $10$ cm のガラス板の端に、厚さ $0.030$ mm の紙をはさみます。波長 $600$ nm の光を当てたときの縞の間隔を求めます。

式に代入する。単位はメートルにそろえます。

$$\Delta x=\frac{\lambda L}{2D}=\frac{600\times 10^{-9}\times 0.10}{2\times 3.0\times 10^{-5}}$$

$$\Delta x=1.0\times 10^{-3}\mathrm{m}=1.0\mathrm{mm}$$

$1$ mm 間隔の縞が並ぶ。紙を厚くすれば $D$ が増え、縞はさらに詰まります。

計算例：ニュートンリングの半径

曲率半径 $2.0$ m の平凸レンズを使い、波長 $600$ nm の光を当てる。$5$ 番目の暗環の半径を求めます。

式にそのまま入れる。

$$r=\sqrt{m\lambda R}=\sqrt{5\times 600\times 10^{-9}\times 2.0}$$

$$r=\sqrt{6.0\times 10^{-6}}\approx 2.4\times 10^{-3}\mathrm{m}=2.4\mathrm{mm}$$

$1$ 番目なら $1.1$ mm。番号の平方根で増えるので、外へ行くほど間隔が狭まっていきます。

計算例：半径からレンズの曲率半径を出す

波長 $600$ nm の光で、$10$ 番目の暗環の半径が $3.5$ mm だった。レンズの曲率半径を求めます。

式を $R$ について解く。

$$R=\frac{r^2}{m\lambda }=\frac{(3.5\times 10^{-3}{)}^2}{10\times 600\times 10^{-9}}$$

$$R=\frac{1.225\times 10^{-5}}{6.0\times 10^{-6}}\approx 2.0\mathrm{m}$$

$2$ m という値が出ました。定規では測りにくい大きな曲率半径が、mm 単位の縞から求まる。

レンズの検査でこの方法が使われるのは、この感度のためです。表面がわずかにゆがんでいれば、環の形が崩れて見える。

よくある誤り

手順はいつも同じです。反転の回数を数え、光路差を書き、$\lambda /2$ を足すかどうかを決める。この $3$ 段で条件が立ちます。

参考文献