望遠鏡と顕微鏡のしくみをレンズ 2 枚の倍率から理解する

レンズを 2 枚並べたときの決まりは 1 つだけです。1 枚目が作った像を、2 枚目にとっての物体として扱う。

あとは写像公式を 2 回当てるだけ。全体の倍率は、2 つの倍率の積になる^[2]。

$m = m_{1} \times m_{2}$

望遠鏡も顕微鏡も、この 2 回で説明がつきます。違うのは焦点距離の組み合わせと、物体をどこに置くかだけ。

1 枚目の像を 2 枚目の物体にする

1 枚目のレンズが実像を作ったとします。その実像の位置に物体が置いてあると思って、2 枚目に写像公式を当てる。

2 枚目から見て、この像がレンズの前にあるか後ろにあるかで扱いが変わる。前にあれば、ふつうの物体と同じ。

後ろにできるはずだった像が 2 枚目に届く前にさえぎられる場合は、負の距離として扱う。高校の問題では、まず前にある場合を押さえれば足りる。

倍率は掛け算になる

1 枚目で $m_{1}$ 倍、2 枚目でさらに $m_{2}$ 倍。像の大きさは 2 回かけ算される^[2]。

向きも掛け算です。倒立を 2 回くり返せば、全体では正立に戻る。

例：凸レンズ 2 枚を並べる

焦点距離 $10 cm$ のレンズの $15 cm$ 手前に物体を置きます。

$\frac{1}{15} + \frac{1}{b _{1}} = \frac{1}{10}, b_{1} = 30 cm$

倍率は $m_{1} = \frac{30}{15} = 2$ 倍で、像は倒立。この像は 1 枚目の $30 cm$ 後ろにできる。

2 枚目（焦点距離 $10 cm$ ）を 1 枚目から $50 cm$ の位置に置くと、2 枚目から見た物体距離は $50 - 30 = 20 cm$ 。

$\frac{1}{20} + \frac{1}{b _{2}} = \frac{1}{10}, b_{2} = 20 cm$

$m_{2} = \frac{20}{20} = 1$ 倍。合成すると $2 \times 1 = 2$ 倍で、倒立が 2 回なので正立になります。

例：2 枚目の焦点の内側に像が来る

2 枚目を $35 cm$ の位置へ動かします。物体距離は $35 - 30 = 5 cm$ で、焦点距離より小さい。

$\frac{1}{5} + \frac{1}{b _{2}} = \frac{1}{10}, b_{2} = - 10 cm$

負の値は虚像を意味します。2 枚目の $10 cm$ 手前に、正立の虚像ができる。

$m_{2} = \frac{10}{5} = 2$ 倍なので、合成は $2 \times 2 = 4$ 倍です。虫めがねの使い方と同じ配置になっています。

ルーペの倍率

肉眼で細かいものを見るとき、いちばん近づける距離を明視の距離といいます。ふつう $25 cm$ とします^[1]。

ルーペの倍率は、長さの比ではなく見かけの大きさの比で決めます。目に入る角の比という意味になる。

像を無限遠に作る置き方だと倍率は $\frac{25}{f}$ 、像を明視の距離に作る置き方だと $1 + \frac{25}{f}$ になります^[1]。

後者のほうがわずかに大きいが、目が調節し続けるので疲れる。天体観測では前者を使う。

例：焦点距離 5 cm のルーペ

像を無限遠に置くなら $\frac{25}{5} = 5$ 倍。明視の距離に置くなら $1 + 5 = 6$ 倍です。

$10$ 倍が欲しければ $f = \frac{25}{10 - 1} = 2.8 cm$ が要ります^[1]。倍率を上げるには焦点距離を短くするしかない。

望遠鏡

遠くの星から来る光は、平行光と見なせます。対物レンズを通ると、焦点面に小さな実像ができる^[3]。

この実像を接眼レンズでルーペのように拡大する。接眼の焦点をこの実像に合わせると、出てくる光がふたたび平行になる。

対物の焦点と接眼の焦点が同じ点で重なるので、鏡筒の長さは 2 つの焦点距離の和になります^[3]。

$ℓ = f_{1} + f_{2}$

倍率が焦点距離の比になる理由

物体を見込む角を $θ$ とする。対物の焦点面にできる像の大きさは $h = f_{1} θ$ 。

その像を接眼で見込む角は $θ^{'} = \frac{h}{f _{2}}$ です。比を作ると $h$ が消えます。

$\frac{θ ^{'}}{θ} = \frac{f _{1} θ / f _{2}}{θ} = \frac{f _{1}}{f _{2}}$

対物を長く、接眼を短くするほど倍率が上がる^[2]。中間像は倒立なので、見える像も倒立になります。

例：焦点距離 800 mm の望遠鏡

接眼レンズの焦点距離を $20 mm$ とします。

$M = \frac{800}{20} = 40 倍$

鏡筒の長さは $800 + 20 = 820 mm$ 。月の見かけの直径は約 $0. 5^{\circ}$ なので、 $40$ 倍では $2 0^{\circ}$ に広がる。

腕をいっぱいに伸ばした手のひらが $2 0^{\circ}$ ほど。視野いっぱいに月が入る計算になる。

例：接眼レンズを替える

同じ望遠鏡で接眼を $10 mm$ にすると $M = 80$ 倍、長さは $810 mm$ です。

$40 mm$ にすれば $M = 20$ 倍、長さは $840 mm$ 。倍率を変えるのに、対物を替える必要はない。

倍率を上げるほど像は暗く、揺れも大きく見える。実際の観測では、いちばん高い倍率が使いやすいとは限らない。

顕微鏡

近くの小さなものを見る場合、対物レンズの焦点のすぐ外側に物体を置きます。すると大きな実像が離れた位置にできる^[2]。

この実像を、接眼レンズでルーペのように拡大する。組み立ては望遠鏡と同じで、置く位置だけが違う。

倍率は、対物が作る実像の倍率と、接眼のルーペとしての倍率の積です^[2]。

$M = m_{対物} \times M_{接眼}$

鏡筒の長さを $16 cm$ とする標準的な組み立てでは、 $M = \frac{16 \times 25}{f _{1} f _{2}}$ という形にまとめられます^[2]。

例：対物 10 倍、接眼 10 倍

倍率はそのまま掛け算で $10 \times 10 = 100$ 倍。

対物レンズに「 $10 \times$ 」、接眼に「 $10 \times$ 」と刻んであるのは、それぞれの倍率。掛けたものが実際の見え方になります。

例：写像公式で追いかける

対物の焦点距離を $10 mm$ 、物体を $11 mm$ のところに置きます。

$\frac{1}{11} + \frac{1}{b _{1}} = \frac{1}{10}, b_{1} = 110 mm$

$m_{1} = \frac{110}{11} = 10$ 倍。焦点のすぐ外に置いたので、遠くに大きな像ができました。

接眼の焦点距離を $50 mm$ とし、その焦点が中間像に重なるように置きます。接眼の倍率は $\frac{250}{50} = 5$ 倍^[1]。

合成は $10 \times 5 = 50$ 倍。レンズの間隔は $110 + 50 = 160 mm$ になる。

望遠鏡と顕微鏡の違い

望遠鏡

物体は無限に遠い。対物の焦点面に像ができ、倍率は焦点距離の比

顕微鏡

物体は対物の焦点のすぐ外。像は遠くに大きくでき、倍率は 2 つの積

どちらも接眼はルーペとしてはたらく^[3]。望遠鏡では対物の焦点距離を長く、顕微鏡では短くとる。

対物の焦点距離が $50 cm$ もあれば望遠鏡、 $4 mm$ なら顕微鏡。同じ 2 枚組でも、桁が 2 つ違います。

接眼を凹レンズにすると

対物の焦点の手前に凹レンズを置く組み立てもあります。ガリレオが使った形で、いまのオペラグラスがこれ。

中間像ができる前に光をつかまえるので、像は正立のまま見えます。鏡筒も $f_{1} - ∣ f_{2} ∣$ と短くなる。

倍率の式は同じ $\frac{f _{1}}{∣ f _{2} ∣}$ です。ただし視野が狭く、高い倍率には向かない^[3]。

焦点距離 $600 mm$ の対物レンズに、焦点距離 $15 mm$ の接眼レンズを組み合わせました。倍率と鏡筒の長さはいくらですか。

$40$ 倍、 $585 mm$
$40$ 倍、 $615 mm$
$9000$ 倍、 $615 mm$

__RESULT__

倍率は $600 \div 15 = 40$ 倍、長さは $600 + 15 = 615 mm$ です。 $585 mm$ は引き算をした値で、これはガリレオ式のときの長さになります。

2 枚組の計算も確かめます。

焦点距離 $12 cm$ のレンズの $18 cm$ 手前に物体を置き、1 枚目から $60 cm$ の位置に焦点距離 $8 cm$ の 2 枚目を置きました。全体の倍率はいくらですか。

$2$ 倍
$1$ 倍
$4$ 倍

__RESULT__

1 枚目は $\frac{1}{18} + \frac{1}{b _{1}} = \frac{1}{12}$ から $b_{1} = 36 cm$ 、 $m_{1} = 2$ 倍です。2 枚目から見た物体距離は $60 - 36 = 24 cm$ で、 $b_{2} = 12 cm$ 、 $m_{2} = 0.5$ 倍。積は $1$ 倍になり、倒立が 2 回なので向きはもとに戻ります。

実像になるか虚像になるか

2 枚目から見た物体距離 $a_{2}$ と、2 枚目の焦点距離 $f_{2}$ の大小だけで決まります。

$a_{2} > f_{2}$ なら実像、 $a_{2} < f_{2}$ なら虚像。ちょうど $a_{2} = f_{2}$ のときは、出ていく光が平行になって像は無限遠へ飛びます。

a_{2} > 2 f_{2}

。縮小した倒立の実像ができる。

a_{2} = 2 f_{2}

。同じ大きさの倒立の実像ができる。

f_{2} < a_{2} < 2 f_{2}

。拡大した倒立の実像ができる。

a_{2} = f_{2}

。像は無限遠。平行光になって出ていく。

a_{2} < f_{2}

。拡大した正立の虚像ができる。

望遠鏡も顕微鏡も、いちばん下から 2 番めの配置を使います。目が調節しないで見られるためです。

例：中間像を接眼の焦点に合わせる

対物が作った中間像が、接眼の焦点にちょうど乗っているとします。

このとき接眼から出る光は平行なので、目は遠くを見る形のままでよい。長く覗いても疲れない。

ピント合わせのつまみは、この位置をわずかにずらす仕掛けです。近視や遠視の人が合わせられるようになっている。

例：口径が大きいと何が変わるか

倍率は焦点距離だけで決まり、レンズの直径には関係しません。直径が効くのは明るさのほう。

口径 $80 mm$ の対物レンズと、直径 $7 mm$ の瞳を比べます。

$(\frac{80}{7})^{2} = 131$

集める光の量は面積に比例するので、 $130$ 倍ほど。肉眼で見えない暗い星が見えるのは、倍率ではなく口径のはたらきです。

つまずきやすいところ

2 枚目の物体距離を、1 枚目からの距離のまま使う。レンズの間隔から

b_{1}

を引きます。

倍率を足し算する。長さの比なので、積にします。

虚像のとき

b

の符号を落とす。負のまま計算し、倍率では大きさだけをとります。

望遠鏡の長さを焦点距離の差にする。ケプラー式では和です。

顕微鏡で対物の焦点のちょうど上に物体を置く。焦点にあると像が無限遠に飛びます。

ルーペの

\frac{25}{f}

の

25

をセンチメートル以外の単位で使う。明視の距離は

25 cm

です。

レンズが 2 枚あっても、新しい公式は 1 つも要りません。1 枚目の像を物体と呼び直すだけで、望遠鏡も顕微鏡も同じ道具で解けます。

出典

The Simple Magnifier. University Physics Volume 3, OpenStax.

Microscopes and Telescopes. University Physics Volume 3, OpenStax.

*Das Kepler-Fernrohr*. Lernplattform Physik, Universität Göttingen.

新しい公式は 1 つも要りません。1 枚目が作った像を 2 枚目の物体として扱い、写像公式を 2 回当てるだけ。倍率は積になり、倒立が 2 回なら正立に戻る。望遠鏡は無限遠の物体を対物の焦点面に写し、接眼でルーペとして見るので $M = f_1/f_2$、鏡筒は $f_1 + f_2$ です。焦点距離 800 mm に接眼 20 mm なら 40 倍で、見かけ 0.5 度の月が 20 度に広がる。顕微鏡は対物の焦点のすぐ外に物体を置き、対物の倍率と接眼の倍率を掛け合わせます。明視の距離 25 cm、ルーペの $25/f$ と $1 + 25/f$ の違い、口径が倍率ではなく明るさに効く理由まで。