超音波の使い道と分解能（距離と速さをどう測るか）

$20\mathrm{kHz}$ を超える音は、人の耳には届かない。届かないだけで、性質はふつうの音と変わらない^[1]。

聞こえないことより、波長が短いことのほうが道具として効きます。振動数が高いぶん波長が縮み、細かいものにぶつかって返ってくる。

$$d=\frac{vt}{2}$$

出してから返るまでの時間を測れば距離が出る。$2$ で割るのは、行きと帰りで 2 回ぶん進んでいるためです。

聞こえないだけの音

超音波は、振動数が可聴域の上限を超えた音^[1]。医療で使うのは $1$ から $20\mathrm{MHz}$ の範囲^[2]。

反射も屈折も回折も、聞こえる音とまったく同じように起こる。使えるのはそこ。

体の中では音速がおよそ $1540m/s$ とされます^[3]。空気中の $340m/s$ よりずっと速い。

往復の時間で距離を出す

短いパルスを出し、返ってくるまでの時間を測る。境目ごとに一部が返るので、深さの違う複数の反射が順に届く^[1]。

例：海の深さを測る

海中の音速を $1500m/s$ とします。船から出した音が $0.40$ 秒後に返ってきました。

$$d=\frac{1500\times 0.40}{2}=300\mathrm{m}$$

$300\mathrm{m}$。魚の群れが返せば、その深さも同じ式で出る。

例：空気中の距離センサー

$40\mathrm{kHz}$ の超音波を出す小さなセンサーがあります。$5.0\mathrm{ms}$ 後に返ってきたとする。

$$d=\frac{340\times 5.0\times 10^{-3}}{2}=0.85\mathrm{m}$$

車の駐車センサーが測っているのはこれ。波長は $\frac{340}{40000}=8.5\mathrm{mm}$ になります。

見える細かさは波長で決まる

波を使って何かを調べるとき、波長より細かいものは見えません^[1]。

$$\lambda =\frac{v}{f}$$

振動数を上げれば波長が縮み、細かいものまで返せるようになる^[3]。

例：体の中での波長

$5.0\mathrm{MHz}$ の超音波を、音速 $1540m/s$ の組織に当てます。

$$\lambda =\frac{1540}{5.0\times 10^6}=3.1\times 10^{-4}\mathrm{m}$$

$0.31\mathrm{mm}$。これより小さい構造は、はっきりとは映らない。

例：振動数を上げる

$10\mathrm{MHz}$ にすると $\lambda =0.15\mathrm{mm}$。$2.0\mathrm{MHz}$ なら $0.77\mathrm{mm}$ です。

$7.5\mathrm{MHz}$ のプローブで、実際に $0.2$ から $0.3\mathrm{mm}$ ほどの分解能が得られています^[3]。計算した波長とよく合う。

深さと細かさは両立しない

振動数を上げれば細かく見える。ところが、高い振動数ほど組織に吸われて減っていく^[2]。

届く深さの目安は、波長のおよそ $500$ 倍とされる^[1]。

例：届く深さを見積もる

$5.0\mathrm{MHz}$ なら $500\times 0.31=155\mathrm{mm}$。$15\mathrm{cm}$ ほど。

$10\mathrm{MHz}$ では $500\times 0.15=75\mathrm{mm}$ しかない。$2.0\mathrm{MHz}$ なら $385\mathrm{mm}$ まで届きます。

深いところを見たいときは低い振動数、皮膚のすぐ下なら高い振動数。目的で選び分ける^[3]。

反射が起きるのは境目

超音波が返ってくるのは、性質の違う物質の境目です。差が大きいほど強く返る。

空気と体の組織では、この差がとても大きい。プローブと肌のあいだにわずかでも空気が残ると、そこでほとんどが返ってしまう。

検査でゼリーを塗るのはそのためです。空気を追い出して、超音波を体の中へ入れる。

例：パルスの長さで決まる細かさ

送るのは連続音ではなく、$0.3$ から $0.6$ マイクロ秒ほどの短いパルスです^[3]。

$0.5$ マイクロ秒のあいだに超音波が進む距離を出します。

$$1540\times 0.5\times 10^{-6}=7.7\times 10^{-4}\mathrm{m}$$

$0.77\mathrm{mm}$。往復ぶんを考えると、これより近い 2 つの面は重なって届き、分けられません。

パルスを短くするほど細かく分けられる。短いパルスを作るには高い振動数が要るので、ここでも同じ関係が効いています。

例：画像 1 枚にかかる時間

深さ $15\mathrm{cm}$ まで調べるとします。往復の距離は $0.30\mathrm{m}$。

$$t=\frac{0.30}{1540}=1.9\times 10^{-4}\mathrm{s}$$

$1$ 本の線を作るのに $0.2$ ミリ秒ほど。$128$ 本並べて 1 枚の画像にすると $0.025$ 秒かかる。

$1$ 秒に $40$ 枚。動いている心臓もなめらかに映せる速さです。

深いところまで見ようとすると、この時間が伸びて枚数が減る。深さと速さのあいだにも、同じような取り引きがあります。

動くものはドップラーで

動く反射面に当たった超音波は、振動数が変わって返ってくる。反射面は受けるときが観測者、返すときが音源^[1]。

視線方向の速さを $u$ とすると、返ってくる音の振動数のずれは次のようになる。

$$\Delta f=\frac{2f_{0}u}{V}$$

$2$ が付くのは、受けるときと返すときで 2 回ずれるためです。

例：血流の速さを測る

$f_0=5.0\mathrm{MHz}$、血液の流れる速さを $0.30m/s$、体内の音速を $1540m/s$ とします。

$$\Delta f=\frac{2\times 5.0\times 10^6\times 0.30}{1540}=1.9\times 10^3\mathrm{Hz}$$

$1.9\mathrm{kHz}$。$500$ 万ヘルツのうちの $2000$ ヘルツなので、比でいえば $0.04$ パーセントの変化です。

例：うなりとして聞く

出した音と返った音を重ねると、差の回数でうなりが起こる^[1]。

$1.9\mathrm{kHz}$ はちょうど人の聞こえる範囲。だから血流の音を、そのままスピーカーから出せる。

流れが速いほど高い音になる。検査室で聞こえるあの音は、ドップラーのずれそのものです。

例：もっと遅い流れ

$f_0=2.5\mathrm{MHz}$、流れが $0.20m/s$ の場合を計算します。

$$\Delta f=\frac{2\times 2.5\times 10^6\times 0.20}{1540}=649\mathrm{Hz}$$

$649\mathrm{Hz}$^[1]。低めの音になりますが、まだ十分に聞こえます。

角度がつくと小さくなる

流れの向きと超音波の向きがずれていると、視線方向の成分だけが効く。

$$\Delta f=\frac{2f_{0}u\cos \theta }{V}$$

$\theta =60^{\circ }$ なら $\cos \theta =0.5$ で、ずれは半分になる。真横から当てると $\cos 90^{\circ }=0$ で、流れているのに何も出ません。

血管に対して斜めから当てるのは、この項を大きくするためです。角度が分かっていれば、割り戻して本当の速さが出せる。

例：角度で割り戻す

$f_0=5.0\mathrm{MHz}$、$\theta =60^{\circ }$ で $\Delta f=970\mathrm{Hz}$ が測れたとします。

$$u=\frac{\Delta f\cdot V}{2f_0\cos \theta }=\frac{970\times 1540}{2\times 5.0\times 10^6\times 0.50}=0.30m/s$$

正面から当てたときと同じ $0.30m/s$ が出ました。角度さえ分かれば、斜めからでも困らない。

身のまわりの超音波

洗浄機は、水の中に超音波を送って細かい泡を立てる。泡がつぶれる力で汚れを落とす仕組み。

金属の内部にひびがあれば、そこで超音波が返ります。壊さずに中を調べられるので、検査に使われる。

コウモリやイルカも超音波を出し、返りを聞いて障害物や獲物の位置を知る。人が作った装置と原理は同じ。

分解能のほうも確かめます。

よくあるミス

聞こえるかどうかは、道具としての性能に関係ありません。効いているのは波長の短さだけ。短くすれば細かく見え、そのぶん遠くへ届かなくなります。

参考文献