微分方程式
微分方程式とは、未知関数とその導関数を含む方程式のことです。物理学や工学、経済学など、時間とともに変化する現象を記述するために広...
微分方程式は、大きく**常微分方程式**（ODE: Ordinary Differential Equation）と**偏微分方...
微分方程式を解こうとするとき、そもそも解が存在するのか、存在するとして何個あるのか、という問いは本質的に重要です。この問いに答え...
変数分離形は、最も基本的で解きやすい微分方程式の形です。その名の通り、$x$ と $y$ を左辺と右辺に分離して、それぞれ積分す...
同次形微分方程式は、変数分離形に直接は当てはまらないものの、適切な変数変換によって変数分離形に帰着できる重要なタイプです。 同次...
1階線形微分方程式は、応用上最も重要な微分方程式の一つです。電気回路、化学反応、経済モデルなど、幅広い分野で現れます。積分因子を...
ベルヌーイの微分方程式は、一見すると非線形ですが、適切な変数変換によって1階線形微分方程式に帰着できます。この手法は、非線形方程...
完全微分方程式は、ある関数の全微分がゼロになるという形の方程式です。この形を見抜けば、元の関数（ポテンシャル）を復元するだけで解...
クレローの微分方程式は、$y = xy' + f(y')$ という特殊な形をもつ方程式です。一般解として直線群が得られ、さらに特...
2階線形微分方程式は、物理学で最も頻繁に現れる方程式の一つです。振動、波動、電気回路など、自然界の多くの現象がこの形で記述されま...
係数が定数の2階同次線形微分方程式は、指数関数 $e^{\lambda x}$ を解として仮定することで、代数方程式（特性方程式...
特性方程式は、定数係数線形微分方程式を代数方程式に変換する魔法の道具です。2階だけでなく、任意の $n$ 階方程式にも同じアイデ...
非同次方程式の特殊解を求める方法として、未定係数法があります。右辺の関数形に応じて解の形を予想し、係数を決定するというシンプルな...
定数変化法（パラメータ変化法）は、任意の右辺 $R(x)$ に対して特殊解を求められる汎用的な手法です。同次解の「定数」を「関数...
オイラーの微分方程式（コーシー＝オイラー方程式）は、変数係数でありながら、変数変換によって定数係数に帰着できる特殊な形の方程式で...
ラプラス変換は、微分方程式を代数方程式に変換する強力な手法です。特に初期値問題や、不連続な入力を含む問題に威力を発揮します。 ラ...
べき級数解法は、解を無限級数として表す方法です。初等関数で表せない解も扱え、特殊関数の定義にも使われます。 基本的な考え方 微分...
フロベニウスの方法は、微分方程式が正則特異点をもつ場合に使う拡張されたべき級数解法です。ベッセル関数やルジャンドル関数など、多く...
連立微分方程式は、複数の未知関数が互いに影響し合うシステムを記述します。線形代数の知識を活かすことで、行列とベクトルの言葉で統一...
行列の指数関数 $e^{At}$ は、連立微分方程式の解を美しく表現する道具です。スカラーの指数関数の自然な拡張であり、制御理論...
偏微分方程式（PDE）は、複数の独立変数をもつ未知関数についての方程式です。2階線形偏微分方程式は、その係数に応じて3つのタイプ...
熱方程式は、熱伝導や拡散現象を記述する放物型偏微分方程式です。フーリエがこの方程式を解くために発明したフーリエ級数は、現代解析学...
波動方程式は、弦の振動、音波、電磁波など、振動・波動現象を記述する双曲型偏微分方程式です。ダランベールの公式により、解が明示的に...
ラプラス方程式は、定常状態や平衡状態を記述する楕円型偏微分方程式です。電磁気学の静電場、流体力学のポテンシャル流れ、定常熱分布な...
フーリエ級数は、周期関数を三角関数の無限和として表す手法です。偏微分方程式の変数分離法と組み合わせることで、熱方程式や波動方程式...
ラプラス方程式 $\Delta u = 0$ は「源のない場」を記述しますが、現実の物理現象では電荷や質量、熱源などの「源」が存...
微分方程式の問題は大きく分けて初期値問題と境界値問題の 2 種類があります。初期値問題では、ある一点での関数値と導関数値を指定し...
ラプラス変換は、微分方程式を代数方程式に変換する強力な道具です。この記事では、ラプラス変換と逆変換の定義を確認したうえで、計算の...
前回の記事で扱ったラプラス変換の基本公式は、$e^{at}$, $\sin(\omega t)$, $t^n$ といった滑らかな...
前回の記事で扱ったラプラス変換の基本公式は、$e^{at}$, $\sin(\omega t)$, $t^n$ といった滑らかな...
非同次線形微分方程式の特殊解を求める方法として、未定係数法と定数変化法の 2 つを学びました。理論を理解していても、実際に手を動...
変数分離法は偏微分方程式を解くための最も基本的な手法です。「偏微分方程式を常微分方程式に帰着させる」という発想自体は明快ですが、...
ラプラス変換の基本性質と公式を学んだところで、いよいよ微分方程式を実際に解いていきます。ラプラス変換による解法の最大の強みは、初...
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