sin を 4 回積分するともとに戻る（三角関数の積分公式で符号がどう回るか）

$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ です。両辺の符号をひっくり返すと $(-\cos x{)}^{\prime }=\sin x$ になり、$\sin x$ の原始関数が $-\cos x$ だと分かります。

$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$

積分の公式は、微分の公式を裏返した形です。中身は微分の側にそろっている。

分かれ目は符号の位置になります。$\sin$ を積分すると $-$ がつき、$\cos$ を積分するとつかない。どちらに符号が寄るかで、4 つの公式が並びます。

4 つの基本形

数学 III で使う三角関数の不定積分は次の 4 つが重要です。$C$ は積分定数。

右の列を微分すれば左の中身に戻ります。

符号は 4 回で 1 周する

$\sin x$ を積分し続けると、4 回目でもとに戻ります。

もう 1 回積分すると $\sin x$ に戻る。$\cos x$ から始めても同じ長さで 1 周します。

微分は逆回りです。$\sin x$ を微分すると $\cos x$、もう一度で $-\sin x$。積分と微分で、同じ環を反対向きに動いています。

例 1：$\tan x$ の積分

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ と書き直します。分子の $\sin x$ は、分母の $\cos x$ を微分して符号を変えたもの。

$$\int \tan xdx=\int \frac{-(\cos x{)}^{\prime }}{\cos x}dx=-\log |\cos x|+C$$

$\cos x$ は正にも負にもなるため、絶対値をつけたまま残します。

$0\le x<\frac{\pi }{2}$ のように $\cos x>0$ と分かっている範囲でだけ、$-\log (\cos x)$ と書ける。

例 2：$\frac{1}{\tan x}$ の積分

こちらは $\frac{\cos x}{\sin x}$ で、分子が分母の微分そのものです。

$$\int \frac{dx}{\tan x}=\int \frac{(\sin x{)}^{\prime }}{\sin x}dx=\log |\sin x|+C$$

$\tan$ のときと違って $-$ がつきません。$\cos$ を微分すると符号が変わり、$\sin$ を微分しても変わらないためです。

中が 1 次式のとき

$\sin (ax+b)$ を微分すると、合成関数の微分で $a$ が前に出ます。積分ではその逆に $\frac{1}{a}$ がつく。

$$\int \sin (ax+b)dx=-\frac{1}{a}\cos (ax+b)+C$$

$\cos$ でも $\frac{1}{{\cos }^2}$ でも同じで、中が 1 次式なら $\frac{1}{a}$ を前に置くだけです。

例 3：$\sin 3x$ と $\cos (2x-1)$

$$\int \sin 3xdx=-\frac{1}{3}\cos 3x+C$$

$$\int \cos (2x-1)dx=\frac{1}{2}\sin (2x-1)+C$$

微分して確かめます。${\left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right)}^{\prime }=-\frac{1}{3}\times (-\sin 3x)\times 3=\sin 3x$ で、もとに戻りました。

中が $x^2$ のような 2 次式だと、この手は通りません。$\int \sin (x^2)dx$ は高校で扱う関数では書けない積分です。

面積として読む

${\int }_0^{\pi }\sin xdx$ は、$\sin$ の山と $x$ 軸ではさまれた部分の面積です。

$${\int }_0^{\pi }\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{\pi }=1+1=2$$

高さが $1$、横が $\pi$ の山の面積が、ちょうど $2$。長方形 $\pi \times 1\fallingdotseq 3.14$ の 6 割ほどにあたります。

例 4：1 周ぶんの定積分

$${\int }_0^{2\pi }\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{2\pi }=-1+1=0$$

前半の山と後半の谷が同じ大きさで、符号だけが逆。足すと消えます。

$\cos$ でも同じで、${\int }_0^{2\pi }\cos xdx=0$。1 周ぶんの積分は、$\sin$ も $\cos$ も $0$ になる。

例 5：$\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ の定積分

$${\int }_0^{\pi /4}\frac{dx}{{\cos }^{2}x}=[\tan x{]}_0^{\pi /4}=1-0=1$$

上端を $\frac{\pi }{2}$ に近づけると $\tan x$ がいくらでも大きくなり、値が決まりません。$\cos x$ が $0$ になる点をまたぐ積分は、そのままでは計算できない。

例 6：$\tan x$ の定積分

$${\int }_0^{\pi /3}\tan xdx=[-\log |\cos x|{]}_0^{\pi /3}=-\log \frac{1}{2}+\log 1=\log 2$$

$\log 2\fallingdotseq 0.693$ です。$0$ から $\frac{\pi }{3}$ の範囲で $\cos x>0$ だから、絶対値はそのまま外せます。

例 7：$\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ の定積分

$${\int }_{\pi /4}^{\pi /2}\frac{dx}{{\sin }^{2}x}={\left[-\frac{1}{\tan x}\right]}_{\pi /4}^{\pi /2}=0-(-1)=1$$

$\tan \frac{\pi }{2}$ そのものは定まりません。逆数の $\frac{1}{\tan x}$ のほうは $0$ に近づくため、端の値が決まります。例 5 と同じ点でも、式の形しだいで結果が分かれる。

微分して確かめる

答えを微分してもとの式に戻るかどうかは、その場で見られます。

$\int \sin xdx=-\cos x+C$ なら、$(-\cos x{)}^{\prime }=-(-\sin x)=\sin x$。戻りました。

符号を逆に書いていた場合は $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ となり、$\sin x$ に戻りません。1 行で判定できます。

$\sin 3x$ の $\frac{1}{3}$ を落とした $-\cos 3x$ なら、微分すると $3\sin 3x$ になって係数が合わない。$\tan x$ の積分を $\log |\tan x|$ と書いた場合も、微分すれば別の式になります。

微分の公式を裏返し、$-$ がつくのは $\sin$ がらみの 2 つだと押さえる。中に 1 次式が入ったら $\frac{1}{a}$ を前に置き、最後は微分して見比べます。