√2 は q/p と表すことができません。これは背理法というやり方で証明します。
方針
√2 を q/p と表したときに矛盾が出てくることを示す。
ルート 2 を分数にできないことの証明
√2 = q/p とかけるとする。ここで p と q は互いの素の整数である。分数は分子と分母が互いに素になるまで約分できる。
両辺を二乗すると下のように変形できる。
root-1
q2 は偶数になる。奇数の二乗は奇数になるので q も偶数になる。すると q = 2n とかける。
q を 2n にすると
root-2
となり、p2 は偶数になる。q のときと同じ理由で p も偶数になる。
p と q は両方とも偶数になることがわかった。これは最初の「p と q は互いに素とする」という仮定に矛盾している。
以上から √2 を q/p と表すことはできないとわかりました。この問題は数学Ⅰの定期試験（中間・期末試験）によく出るので、証明を何度か書いて覚えてみましょう。
root
メモ
この問題のポイントは
- 両辺を二乗する
- 奇数の二乗は奇数になる
という点にあります。上の証明で「二乗して偶数になる数は偶数である」とありますが、大学受験ではこれを証明する必要はありません。
