二次関数が X 軸を切りとる線分の長さを求める

次の二次関数が $x$ 軸を切るとき、その線分の長さはどのくらいでしょうか。

$y = x^{2} - 6 x + 7$

期末テストなどで出そうな問題です。二次関数がそもそも $x$ 軸と交わるか確かめてみます。

$Δ = (- 6)^{2} - 4 (1) (7) = 36 - 28 = 8$

$Δ > 0$ なので、ここは OK みたいですね。

線分の長さを求める

解の公式を使って交点の $x$ 座標を求めます。

$x = \frac{- ( - 6 ) \pm 8}{2 ( 1 )} = \frac{6 \pm 8}{2}$

$x = \frac{6 \pm 2 2}{2} = 3 \pm 2$

なので、交点の座標はこうなる。

$x_{1} = 3 + 2, x_{2} = 3 - 2$

二次関数が切りとる線分の長さは、交点の座標の差だから

$(3 + 2) - (3 - 2) = 22$

以上より、二次方程式 $y = x^{2} - 6 x + 7$ が $x$ 軸を切りとる線分の長さは $22$ です。