二次関数が X 軸を切りとる線分の長さを求める

次の二次関数が $x$ 軸を切るとき、その線分の長さはどのくらいでしょうか。

$$y=x^2-6x+7$$

期末テストなどで出そうな問題です。二次関数がそもそも $x$ 軸と交わるか確かめてみます。

$$\Delta =(-6{)}^2-4(1)(7)=36-28=8$$

$\Delta >0$ なので、ここは OK みたいですね。

線分の長さを求める

解の公式を使って交点の $x$ 座標を求めます。

$$x=\frac{-(-6)\pm \sqrt{8}}{2(1)}=\frac{6\pm \sqrt{8}}{2}$$

$$x=\frac{6\pm 2\sqrt{2}}{2}=3\pm \sqrt{2}$$

なので、交点の座標はこうなる。

$$x_1=3+\sqrt{2},x_2=3-\sqrt{2}$$

二次関数が切りとる線分の長さは、交点の座標の差だから

$$(3+\sqrt{2})-(3-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$$

以上より、二次方程式 $y=x^2-6x+7$ が $x$ 軸を切りとる線分の長さは $2\sqrt{2}$ です。