ノルム空間と距離空間

ノルム空間は、ベクトル空間に「長さ」の概念を導入したものです。距離空間はより一般的な設定で、2点間の「距離」が定義された集合です。

ノルムの定義

ベクトル空間 $V$（実数体または複素数体上）に対して、写像 $\Vert \cdot \Vert :V\to \mathbb{R}$ が次の3条件を満たすとき、$\Vert \cdot \Vert$ をノルムといいます。

ノルムが定義されたベクトル空間を ノルム空間 といいます。

距離空間の定義

集合 $X$ に対して、写像 $d:X\times X\to \mathbb{R}$ が次の4条件を満たすとき、$d$ を距離関数といいます。

$$d(x,y)\ge 0,d(x,y)=0\iff x=y$$

$$d(x,y)=d(y,x)\text{（対称性）}$$

$$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\text{（三角不等式）}$$

距離関数が定義された集合を 距離空間 といいます。

ノルム空間から距離空間へ

ノルム空間 $(V,\Vert \cdot \Vert )$ には、$d(x,y)=\Vert x-y\Vert$ によって自然に距離が定まります。したがって、すべてのノルム空間は距離空間です。

逆は成り立ちません。距離空間は必ずしもベクトル空間ではないからです。

典型的な例

${\mathbb{R}}^n$ 上のノルムとして次のものがよく使われます。

これらはすべて異なるノルムですが、${\mathbb{R}}^n$ 上では同値であることが知られています。つまり、収束の概念は一致します。