ノルム空間は、ベクトル空間に「長さ」の概念を導入したものです。距離空間はより一般的な設定で、2点間の「距離」が定義された集合です。
ノルムの定義
ベクトル空間 （実数体または複素数体上）に対して、写像 が次の3条件を満たすとき、 をノルムといいます。
正値性
すべての に対して であり、
斉次性
すべての とスカラー に対して
三角不等式
すべての に対して
ノルムが定義されたベクトル空間を ノルム空間 といいます。
距離空間の定義
集合 に対して、写像 が次の4条件を満たすとき、 を距離関数といいます。
距離関数が定義された集合を 距離空間 といいます。
ノルム空間から距離空間へ
ノルム空間 には、 によって自然に距離が定まります。したがって、すべてのノルム空間は距離空間です。
逆は成り立ちません。距離空間は必ずしもベクトル空間ではないからです。
典型的な例
上のノルムとして次のものがよく使われます。
| ノルム | |
| ノルム | （ユークリッドノルム） |
| ノルム |
これらはすべて異なるノルムですが、 上では同値であることが知られています。つまり、収束の概念は一致します。
