ノルム空間と距離空間｜単位球の形から完備性・不動点定理までを具体例で解説

${\mathbb{R}}^2$ で「長さがちょうど 1 のベクトル」を全部描くと、円になるとは限りません。ノルムの選び方しだいで、その図形はひし形にも正方形にもなります。

長さの測り方は 1 通りではない、ということです。何を「長さ」と呼んでよいかを決める規則、それがノルムの公理にほかなりません。

ノルム空間は、ベクトル空間に「長さ」の概念を導入したものです。距離空間はより一般的な設定で、2 点間の「距離」が定義された集合です。

ノルムの定義

ベクトル空間 $V$（実数体または複素数体上）に対して、写像 $\Vert \cdot \Vert :V\to \mathbb{R}$ が次の 3 条件を満たすとき、$\Vert \cdot \Vert$ をノルムといいます。

ノルムが定義されたベクトル空間を ノルム空間 といいます。

3 条件はどれも直観に沿っています。長さは負にならず、2 倍に伸ばせば長さも 2 倍になり、遠回りは近道より長い。

とくに三角不等式は、このあと何度も効いてきます。ノルムかどうかを疑うとき、たいてい壊れるのはここです。

距離空間の定義

集合 $X$ に対して、写像 $d:X\times X\to \mathbb{R}$ が次の条件を満たすとき、$d$ を距離関数といいます。まず値は負にならず、$0$ になるのは 2 点が一致するときに限ります。

$$d(x,y)\ge 0,d(x,y)=0\iff x=y$$

次に、測る向きを変えても値は変わりません。対称性と呼ばれる条件です。

$$d(x,y)=d(y,x)$$

最後が三角不等式で、$y$ を経由すると遠回りになる、という要請にあたります。

$$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$$

距離関数が定義された集合を 距離空間 といい、$(X,d)$ と書きます。$X$ に演算は要りません。足し算もスカラー倍もない、ただの集合で構いません。

ノルム空間と距離空間の違い

ノルムは距離より多くを前提にし、そのぶん多くを語ります。距離空間は前提が少ないので、応用範囲がはるかに広い。

文字列の集合、地球の表面、遺伝子の配列。どれもベクトル空間ではありませんが、距離なら入ります。

ノルム空間から距離空間へ

ノルム空間 $(V,\Vert \cdot \Vert )$ には、次の式で自然に距離が定まります。

$$d(x,y)=\Vert x-y\Vert$$

これが距離の公理を満たすことは、ノルムの公理から出ます。$d(x,y)=0$ は $\Vert x-y\Vert =0$、つまり $x=y$ と同値です。

対称性は斉次性から従います。$\Vert y-x\Vert =\Vert (-1)(x-y)\Vert =|-1|\Vert x-y\Vert =\Vert x-y\Vert$ となるからです。

三角不等式は $x-z=(x-y)+(y-z)$ と分解して、ノルムの三角不等式を当てるだけで済みます。

したがって、すべてのノルム空間は距離空間です。以後、ノルム空間といえば、この距離が入ったものとみなします。

逆は成り立たない

距離空間は必ずしもベクトル空間ではないので、逆は成り立ちません。ではベクトル空間の上の距離なら、必ずノルムから来るのでしょうか。

これも違います。ノルム由来の距離は、次の 2 つの性質を必ず持つからです。

どちらも $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$ に代入すれば、すぐ確かめられます。逆にこの 2 条件を満たす距離は、$\Vert x\Vert =d(x,0)$ というノルムから来ます。

例：ノルムから来ない距離

$\mathbb{R}$ の上に $d(x,y)=\min (|x-y|,1)$ と定めます。距離の公理はすべて満たします。

ところが斉次性が壊れます。$d(0,3)=1$ である一方、$3d(0,1)=3$ となり、値が一致しません。

遠いところを一律に「距離 1」で打ち切っているので、スカラー倍に比例しないのです。ベクトル空間の上の距離でも、ノルム由来とは限りません。

${\mathbb{R}}^n$ の 3 つのノルム

${\mathbb{R}}^n$ 上のノルムとして、次のものがよく使われます。

${\ell }^1$ は碁盤の目を歩く距離、${\ell }^2$ は定規で直線を測る距離、${\ell }^{\infty }$ は最悪の成分だけを見る距離です。

別名もあります。${\ell }^1$ はマンハッタン距離、${\ell }^{\infty }$ はチェビシェフ距離と呼ばれます。

例：$x=(3,-4)$ を 3 通りで測る

同じベクトルでも、ノルムが違えば値が違います。$x=(3,-4)$ で計算します。

$$\begin{array}{rl}\Vert x{\Vert }_1& =|3|+|-4|=7\\ \Vert x{\Vert }_2& =\sqrt{3^2+4^2}=5\\ \Vert x{\Vert }_{\infty }& =\max (3,4)=4\end{array}$$

$7>5>4$ と並びました。成分を全部足す ${\ell }^1$ が最大で、最大成分だけを見る ${\ell }^{\infty }$ が最小になります。

この順序は偶然ではありません。$\Vert x{\Vert }_1\ge \Vert x{\Vert }_2\ge \Vert x{\Vert }_{\infty }$ は、どのベクトルでも成り立ちます。

例：$x=(1,1,1,1)$ を測る

成分がそろっているときは、次元の効き方がはっきり見えます。${\mathbb{R}}^4$ で計算します。

$$\begin{array}{rl}\Vert x{\Vert }_1& =1+1+1+1=4\\ \Vert x{\Vert }_2& =\sqrt{4}=2\\ \Vert x{\Vert }_{\infty }& =1\end{array}$$

一般に ${\ell }^1$ は $n$、${\ell }^2$ は $\sqrt{n}$、${\ell }^{\infty }$ は $1$ です。次元を上げるほど、3 つの値は大きく開いていきます。

$n=1000$ なら ${\ell }^1$ と ${\ell }^{\infty }$ の比は 1000 倍になります。高次元でノルムの選び方が問題になるのは、この開きのためです。

図で見る単位球

$\Vert x\Vert \le 1$ を満たす点の集合を単位球、その境界 $\Vert x\Vert =1$ を単位球面といいます。${\mathbb{R}}^2$ で 3 つのノルムの単位球面を重ねて描きます。

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<svg viewBox="0 0 420 240" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" aria-label="3 つのノルムの単位球">
<rect x="0" y="0" width="420" height="240" rx="10" fill="#fafbfc"/>
<line x1="112" y1="110" x2="308" y2="110" stroke="#d7dbe0" stroke-width="1"/>
<line x1="210" y1="22" x2="210" y2="198" stroke="#d7dbe0" stroke-width="1"/>
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<circle cx="210" cy="110" r="72" fill="#e0872f" fill-opacity="0.12" stroke="#e0872f" stroke-width="1.6"/>
<polygon points="210,38 282,110 210,182 138,110" fill="#3468d6" fill-opacity="0.16" stroke="#3468d6" stroke-width="1.6"/>
<g fill="#1b1d22">
<circle cx="282" cy="110" r="3"/>
<circle cx="138" cy="110" r="3"/>
<circle cx="210" cy="38" r="3"/>
<circle cx="210" cy="182" r="3"/>
</g>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="13" paint-order="stroke" stroke="#ffffff" stroke-width="3.5" stroke-linejoin="round">
<text x="176" y="136" fill="#3468d6">ℓ<tspan dy="-5" font-size="9">1</tspan></text>
<text x="146" y="164" fill="#c4772a">ℓ<tspan dy="-5" font-size="9">2</tspan></text>
<text x="112" y="198" fill="#6b7280">ℓ<tspan dy="-5" font-size="9">∞</tspan></text>
</g>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="11" fill="#9aa0a6">
<text x="288" y="126">1</text>
<text x="216" y="34">1</text>
</g>
<text x="210" y="226" font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="12" text-anchor="middle" fill="#1b1d22">外側の球ほど、同じベクトルに与える値が小さい</text>
</svg>
</div>

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.cont svg { width: 100%; max-width: 420px; height: auto; }

内側のひし形が ${\ell }^1$、真ん中の円が ${\ell }^2$、外側の正方形が ${\ell }^{\infty }$ です。値が小さいノルムほど、$1$ 以下に収まる点が増え、球は大きくなります。

3 つの球面は $(\pm 1,0)$ と $(0,\pm 1)$ の 4 点で接します。座標軸の上では、どのノルムも同じ値を返すからです。

「球」と呼びますが、丸いとは限りません。丸いのは ${\ell }^2$ だけです。

${\ell }^p$ ノルム

$1\le p<\infty$ に対して、${\ell }^p$ ノルムを次で定めます。

$$\Vert x{\Vert }_p={\left(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p\right)}^{1/p}$$

$p=1$ と $p=2$ が、さきほどの 2 つです。$p$ を大きくしていくと、値は ${\max }_i|x_i|$ に近づきます。

${\ell }^{\infty }$ という記号は、この極限に由来します。無限大は本当に $p\to \infty$ の意味なのです。

例：$x=(3,4)$ で $p$ を動かす

$p$ の変化を数値で追います。$x=(3,4)$ で計算しました。

$$\begin{array}{rl}\Vert x{\Vert }_1& =3+4=7\\ \Vert x{\Vert }_2& =\sqrt{9+16}=5\\ \Vert x{\Vert }_3& =(27+64{)}^{1/3}=91^{1/3}\approx 4.50\\ \Vert x{\Vert }_{10}& =(3^{10}+4^{10}{)}^{1/10}\approx 4.02\\ \Vert x{\Vert }_{\infty }& =\max (3,4)=4\end{array}$$

$p$ が大きいほど、最大成分の $4$ に近づいていきます。$p$ 乗すると大きい成分の寄与が支配的になり、小さい成分が埋もれるからです。

単調に減っている点も見逃せません。$p\le q$ ならば $\Vert x{\Vert }_p\ge \Vert x{\Vert }_q$ が、一般に成り立ちます。

例：$p<1$ では三角不等式が壊れる

$p=1/2$ として、同じ式に $x=(1,0)$ と $y=(0,1)$ を入れてみます。和は $x+y=(1,1)$ です。

$$\Vert x+y{\Vert }_{1/2}={\left(1^{1/2}+1^{1/2}\right)}^2=2^2=4$$

一方 $\Vert x{\Vert }_{1/2}=1$、$\Vert y{\Vert }_{1/2}=1$ なので、三角不等式の右辺は $2$ にすぎません。$4\le 2$ は偽です。

$p<1$ の式はノルムになりません。$p\ge 1$ という条件は飾りではないのです。

単位球の形で言えば、$p<1$ のとき球が凸でなくなることに対応します。三角不等式と凸性は、同じことの言い換えにほかなりません。

ノルムの同値性

2 つのノルム $\Vert \cdot {\Vert }_a$ と $\Vert \cdot {\Vert }_b$ が同値であるとは、正の定数 $c,C$ があって次が成り立つことをいいます。

$$c\Vert x{\Vert }_a\le \Vert x{\Vert }_b\le C\Vert x{\Vert }_a$$

${\mathbb{R}}^n$ の上では、どんな 2 つのノルムも同値になります。有限次元なら、ノルムの選び方は収束の判定に影響しません。

あるノルムで $0$ に近づく点列は、別のノルムでも $0$ に近づきます。定数倍で挟まれている以上、片方が小さくなればもう片方も小さくなるからです。

例：同値性の定数を確かめる

${\ell }^2$ と ${\ell }^{\infty }$ の間には、次の不等式があります。

$$\Vert x{\Vert }_{\infty }\le \Vert x{\Vert }_2\le \sqrt{n}\Vert x{\Vert }_{\infty }$$

左は最大成分だけを取り出した評価、右はすべての成分が最大値に等しいとした最悪の評価です。

$n=3$、$x=(2,2,2)$ で検算します。$\Vert x{\Vert }_{\infty }=2$、$\Vert x{\Vert }_2=\sqrt{12}\approx 3.46$、そして $\sqrt{3}\cdot 2\approx 3.46$。右側で等号が成立しています。

成分がそろっているときに右端、1 成分だけが立っているときに左端に達します。定数 $\sqrt{n}$ はこれ以上小さくできません。

例：${\ell }^1$ と ${\ell }^2$ の定数

同じことを ${\ell }^1$ と ${\ell }^2$ で見ます。

$$\Vert x{\Vert }_2\le \Vert x{\Vert }_1\le \sqrt{n}\Vert x{\Vert }_2$$

右の不等式はコーシー・シュワルツの不等式から出ます。$\sum |x_i|\cdot 1\le \sqrt{\sum |x_i{|}^2}\cdot \sqrt{n}$ とすればよいのです。

$x=(1,1,1,1)$ なら $n=4$ で、$\Vert x{\Vert }_1=4$、$\Vert x{\Vert }_2=2$、$\sqrt{4}\cdot 2=4$。ここでも右で等号が成り立ちます。

同値ではあっても、定数は次元とともに増えます。$n$ が大きい場面で「どのノルムでも同じ」と油断はできません。

内積から来るノルム

内積 $⟨x,y⟩$ があれば、$\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ でノルムが作れます。${\ell }^2$ ノルムはまさにこの形です。

では、どんなノルムも内積から来るのでしょうか。答えは否で、しかも簡単な判定条件があります。

この等式が破れれば、そのノルムは内積から来ません。逆に等式が成り立てばノルムは内積から来る、というのがジョルダン・フォン・ノイマンの定理です。

例：${\ell }^1$ は内積から来ない

$x=(1,0)$、$y=(0,1)$ で試します。$x+y=(1,1)$、$x-y=(1,-1)$ です。

${\ell }^1$ ノルムでは $\Vert x+y{\Vert }_1=2$、$\Vert x-y{\Vert }_1=2$ なので、左辺は $4+4=8$ になります。

右辺は $2\cdot 1^2+2\cdot 1^2=4$ です。$8\ne 4$ で、法則は破れました。

${\ell }^1$ ノルムを与える内積は存在しません。${\ell }^{\infty }$ でも左辺が $1+1=2$、右辺が $4$ となり、やはり破れます。

例：${\ell }^2$ では成り立つ

同じ $x,y$ を ${\ell }^2$ で測ります。$\Vert x+y{\Vert }_2=\sqrt{2}$、$\Vert x-y{\Vert }_2=\sqrt{2}$ です。

左辺は $2+2=4$、右辺も $2\cdot 1+2\cdot 1=4$ で一致します。

${\ell }^2$ が特別扱いされる理由は、この内積構造にあります。角度や直交性を語れるのは ${\ell }^2$ だけで、${\ell }^1$ の世界に直角はありません。

例：行列のフロベニウスノルム

行列もベクトル空間の元なので、ノルムが入ります。成分を全部並べて ${\ell }^2$ ノルムを取ったものが、フロベニウスノルムです。

$$\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{\sum _{i,j}|a_{ij}{|}^2}$$

$2\times 2$ 行列で計算します。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{1+4+9+16}=\sqrt{30}\approx 5.48$$

行列を「$4$ 次元ベクトル」と思っているだけなので、掛け算の構造は見ていません。計算は楽ですが、行列らしさは捨てています。

例：行列の作用素ノルム

行列を「ベクトルを動かす写像」と見ると、別のノルムが出てきます。単位ベクトルをどれだけ引き伸ばせるか、その最大値です。

$$\Vert A{\Vert }_{\mathrm{op}}=\underset{\Vert x{\Vert }_2=1}{\sup }\Vert Ax{\Vert }_2$$

対角行列で試します。

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

$x=(\cos \theta ,\sin \theta )$ を代入すると $\Vert Ax{\Vert }_2^2=9{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta$ で、最大値は $\theta =0$ のときの $9$ です。よって $\Vert A{\Vert }_{\mathrm{op}}=3$ になります。

単位円を楕円に引き伸ばす倍率のうち、いちばん大きいものが作用素ノルムです。同じ行列のフロベニウスノルムは $\sqrt{10}\approx 3.16$ で、値が違います。

例：連続関数の sup ノルム

区間 $[0,1]$ 上の連続関数の全体 $C[0,1]$ も、ベクトル空間です。関数の長さは次で測れます。

$$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{0\le x\le 1}{\max }|f(x)|$$

$f(x)=x^2-x$ で計算します。微分して $2x-1=0$ とすれば、$x=1/2$ が候補になります。

$f(1/2)=-1/4$ で、端点では $f(0)=f(1)=0$。絶対値の最大は $1/4$ なので、$\Vert f{\Vert }_{\infty }=1/4$ です。

sup ノルムは「グラフが横軸から最も離れた高さ」を測ります。関数空間でも、長さの直観はそのまま通用します。

例：積分で測る

同じ関数空間に、別のノルムを入れられます。面積で測るのが $L^1$、2 乗平均で測るのが $L^2$ です。

$$\Vert f{\Vert }_1={\int }_0^1|f(x)|dx,\Vert f{\Vert }_2=\sqrt{{\int }_0^1|f(x){|}^{2}dx}$$

$f(x)=x$ で 3 つを比べます。

$$\begin{array}{rl}\Vert f{\Vert }_1& ={\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}\\ \Vert f{\Vert }_2& =\sqrt{{\int }_0^1{x}^{2}dx}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0.577\\ \Vert f{\Vert }_{\infty }& =1\end{array}$$

${\mathbb{R}}^n$ のときと不等号の向きが逆になりました。$\Vert f{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_2\le \Vert f{\Vert }_{\infty }$ の順です。

長さ 1 の区間で平均を取っているので、$p$ が大きいほど値も大きくなります。成分を足し上げる ${\mathbb{R}}^n$ とは事情が違うのです。

例：無限次元では同値でない

有限次元では、すべてのノルムが同値でした。関数空間では、この定理が崩れます。

$f_n(x)=x^n$ を考えます。$x=1$ で値が $1$ なので、$\Vert f_n{\Vert }_{\infty }=1$ は $n$ によらず一定です。

いっぽう $L^1$ ノルムは、次のように $0$ へ落ちていきます。

$$\Vert f_n{\Vert }_1={\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}\to 0$$

$c\Vert f{\Vert }_{\infty }\le \Vert f{\Vert }_1$ を満たす定数 $c>0$ は存在しません。$n$ を大きくすれば左辺は $c$ のまま、右辺はいくらでも小さくなるからです。

2 つのノルムは同値ではありません。$L^1$ の意味で $f_n\to 0$ でも、sup ノルムの意味では $f_n$ は $0$ に近づかないのです。

図で見る $x^n$

$n$ を大きくしたときのグラフの変化を描きます。

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<svg viewBox="0 0 420 248" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" aria-label="x の n 乗のグラフと面積の変化">
<rect x="0" y="0" width="420" height="248" rx="10" fill="#fafbfc"/>
<polygon points="60,200 228,199.9 256,199.5 284,195.5 298,188.1 312,170.3 326,129.6 334,84.2 340,40 340,200" fill="#2a55c8" fill-opacity="0.10"/>
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<line x1="60" y1="200" x2="60" y2="30" stroke="#c8ccd2" stroke-width="1"/>
<polyline points="60,200 340,40" fill="none" stroke="#aab8d4" stroke-width="1.8"/>
<polyline points="60,200 88,198.4 116,193.6 144,185.6 172,174.4 200,160 228,142.4 256,121.6 284,97.6 312,70.4 340,40" fill="none" stroke="#8aa0d8" stroke-width="1.8"/>
<polyline points="60,200 88,200 116,199.7 144,198.7 172,195.9 200,190 228,179.3 256,161.6 284,134.5 312,95 340,40" fill="none" stroke="#6a88de" stroke-width="1.8"/>
<polyline points="60,200 172,199.9 200,199.4 228,197.3 256,190.8 284,173.2 298,156.4 312,131.1 326,93.9 340,40" fill="none" stroke="#4a70dc" stroke-width="1.8"/>
<polyline points="60,200 228,199.9 256,199.5 284,195.5 298,188.1 312,170.3 326,129.6 334,84.2 340,40" fill="none" stroke="#2a55c8" stroke-width="2"/>
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<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="11.5" fill="#6b7280">
<line x1="76" y1="52" x2="94" y2="52" stroke="#aab8d4" stroke-width="2"/>
<text x="100" y="56">n = 1</text>
<line x1="76" y1="70" x2="94" y2="70" stroke="#8aa0d8" stroke-width="2"/>
<text x="100" y="74">n = 2</text>
<line x1="76" y1="88" x2="94" y2="88" stroke="#6a88de" stroke-width="2"/>
<text x="100" y="92">n = 4</text>
<line x1="76" y1="106" x2="94" y2="106" stroke="#4a70dc" stroke-width="2"/>
<text x="100" y="110">n = 8</text>
<line x1="76" y1="124" x2="94" y2="124" stroke="#2a55c8" stroke-width="2"/>
<text x="100" y="128">n = 16</text>
</g>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="11" fill="#9aa0a6">
<text x="52" y="44" text-anchor="end">1</text>
<text x="52" y="204" text-anchor="end">0</text>
<text x="340" y="216" text-anchor="middle">1</text>
</g>
<text x="344" y="30" font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="11.5" text-anchor="end" fill="#1b1d22" paint-order="stroke" stroke="#ffffff" stroke-width="3" stroke-linejoin="round">どの n でも高さは 1</text>
<text x="210" y="236" font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="12" text-anchor="middle" fill="#1b1d22">高さは 1 のまま、面積は 1/(n+1) → 0 に落ちる</text>
</svg>
</div>

.cont { margin: 0; text-align: center; }
.cont svg { width: 100%; max-width: 420px; height: auto; }

どの曲線も右端で高さ $1$ に達します。だから sup ノルムは $1$ のまま、びくとも動きません。

しかし $n$ が大きくなるほど曲線は横軸に貼りつき、下の面積は消えていきます。いちばん濃い $n=16$ の下を塗ってありますが、ほとんど残っていません。

$L^1$ ノルムが $0$ に向かうとは、この面積が消えることです。「近い」の意味がノルムごとに違う、という事実が目に見えています。

有限次元と無限次元の違い

関数解析が「どの空間で考えるか」に神経を使うのは、この違いのためです。空間とノルムをセットで指定しないと、収束すら定まりません。

${\mathbb{R}}^n$ ではノルムを気にせず議論できました。その気楽さは、有限次元という強い仮定に支えられていたのです。

例：数列空間の包含

無限次元では、包含関係も有限次元と逆向きになります。数列 $x=(x_1,x_2,\dots )$ に対し、${\ell }^p$ は $\sum |x_i{|}^p$ が収束するもの全体です。

$a_n=1/n$ を見ます。$\sum 1/n$ は発散するので $a\notin {\ell }^1$ ですが、$\sum 1/n^2={\pi }^2/6$ は収束するので $a\in {\ell }^2$ です。

つまり ${\ell }^1⊊{\ell }^2$ で、${\ell }^2$ のほうが広い。$p$ が大きいほど、条件がゆるくなります。

有限次元では ${\ell }^1$ と ${\ell }^2$ は集合として一致し、ノルムの値が違うだけでした。無限次元では、住人そのものが違います。

例：${\ell }^2$ にも入らない数列

$a_n=1/\sqrt{n}$ を見ます。2 乗すると $1/n$ で、$\sum 1/n$ は発散します。

したがって $a\notin {\ell }^2$ です。ところが $|a_n|\le 1$ で有界なので、${\ell }^{\infty }$ には入り、$\Vert a{\Vert }_{\infty }=1$ となります。

${\ell }^1⊊{\ell }^2⊊{\ell }^{\infty }$ という真の包含が、具体的な数列 2 つで確かめられました。

距離だけがある集合

ここまではベクトル空間の話でした。ここからは足し算のない世界に入ります。

原点がないので「長さ」は測れません。それでも 2 点の隔たりさえ測れれば、収束も連続も定義できます。それが距離空間の主張です。

以下、ベクトル空間ではない距離空間や、ノルムから来ない距離を並べます。

例：離散距離

任意の集合 $X$ に、次の距離が入ります。$x=y$ のとき $d(x,y)=0$、$x\ne y$ のとき $d(x,y)=1$ と定めるだけです。

三角不等式は場合分けで確かめられます。$x\ne z$ なら左辺は $1$ ですが、右辺は $y$ が $x$ と $z$ の少なくとも一方と異なるので、$1$ 以上になります。

どんな集合でも距離空間にできる、という点が重要です。犬と猫と鳥の集合にすら、距離は入ります。

この距離では、半径 $1/2$ の開球は 1 点だけです。すべての点が孤立して、互いに近づけません。

例：ハミング距離

長さ $n$ のビット列の集合に、異なる位置の個数で距離を入れます。

$x=10110$、$y=01100$ なら、1 番目・2 番目・4 番目が食い違うので $d(x,y)=3$ です。

符号理論では、この距離が誤り訂正の能力を決めます。符号語どうしの最小距離が $2t+1$ 以上あれば、$t$ 個までの誤りを直せます。

ビット列は ${\mathbb{F}}_2^n$ というベクトル空間でもありますが、係数体が実数でも複素数でもないので、ノルム空間の枠には収まりません。

例：編集距離

文字列の集合には、別の距離も入ります。1 文字の挿入・削除・置換を何回すれば一方が他方になるか、その最小回数です。

kitten と sitting の間は 3 です。k を s に置換、e を i に置換、末尾に g を挿入、という 3 手で移れます。

長さの違う文字列どうしでも測れるので、ハミング距離より柔軟です。スペルチェッカーや DNA 配列の比較で使われます。

三角不等式は定義から出ます。$x$ から $z$ への最小手数は、$y$ を経由する手順より短いか等しいからです。

例：球面上の距離

地球の表面上の 2 点の距離は、大円に沿った弧の長さで測ります。測地距離と呼ばれるものです。

球面はベクトル空間ではありません。2 点を足しても、球面の上に留まらないからです。

東京とロンドンを結ぶ直線は地中を貫いてしまい、意味を持ちません。飛行機が大円に沿って飛ぶのは、それが球面上の距離だからです。

例：フランス国鉄距離

平面の上に、変わった距離を入れます。$x$ と $y$ が原点を通る同じ直線の上にあるときは、通常の距離 $\Vert x-y{\Vert }_2$ とします。

そうでないときは、いったん原点を経由します。

$$d(x,y)=\Vert x{\Vert }_2+\Vert y{\Vert }_2$$

パリを中心に鉄道網が放射状に伸びるフランスでは、隣町へ行くのにいったんパリへ出る、という事態が起こります。名前はそこから来ています。

距離の公理は満たしますが、平行移動不変性は壊れます。原点という特別な点があるので、この距離はノルムから来ません。

例：$p$-進距離

整数の集合に、素数 $p$ を使った距離を入れます。$x\ne y$ のとき、差 $x-y$ が $p$ で何回割り切れるかを $v$ として、$d(x,y)=p^{-v}$ と定めます。

$p=2$ とします。$8-0=8$ は $2$ で 3 回割れるので、$d(0,8)=2^{-3}=1/8$ です。

$3-0=3$ は $2$ で 1 回も割れないので、$d(0,3)=2^0=1$。$8$ のほうが $3$ より $0$ に近いことになります。

「$p$ で何回割れるか」が近さの尺度です。$2$ 進の世界では、$1024$ は $0$ のすぐ隣にあります。

例：すべての三角形が二等辺

$p$-進距離は、三角不等式より強い次の不等式を満たします。

$$d(x,z)\le \max \left(d(x,y),d(y,z)\right)$$

ここから奇妙な結論が出ます。3 点のうち 2 辺の長さが異なれば、残りの 1 辺は必ず長いほうと等しくなるのです。

つまり、どんな三角形も二等辺三角形になります。$2$ 進距離で $x=0$、$y=1$、$z=2$ とすれば、$d(x,y)=1$、$d(y,z)=1$、$d(x,z)=1/2$ で、たしかに 2 辺が等しくなっています。

ユークリッド的な直観は、ここでは通用しません。距離の公理を満たすことと、平面の三角形のように振る舞うことは別なのです。

ノルム、距離、位相

距離が入れば、開球 $B(x,r)=\{y:d(x,y)<r\}$ が定義できます。開球が定義できれば、開集合も収束も連続も定義できます。

構造は次のように積み上がっています。

下へ行くほど前提が弱くなり、扱える対象が増えます。逆に上へ行くほど道具が増え、言えることが強くなります。

距離空間論が広い応用を持つのは、この階段の下のほうに位置しているからです。

例：収束の定義

点列 $x_k$ が $x$ に収束するとは、$d(x_k,x)\to 0$ となることです。ノルム空間なら $\Vert x_k-x\Vert \to 0$ と書けます。

${\mathbb{R}}^2$ で $x_k=(1/k,1/k)$ は $(0,0)$ に収束します。${\ell }^1$ で測れば $2/k$、${\ell }^{\infty }$ で測れば $1/k$ で、どちらも $0$ に向かうからです。

有限次元ではノルムが同値なので、どの測り方でも結論は変わりません。収束はノルムの選び方に依存しないのです。

例：離散距離での収束

離散距離では、収束の様子ががらりと変わります。距離の値が $0$ か $1$ しかないためです。

$d(x_k,x)\to 0$ とするには、ある番号から先で $d(x_k,x)=0$ でなければなりません。$1/2$ より小さくなった時点で、$0$ に等しくなるからです。

収束列は、途中から定数列になるしかありません。$x_k=1/k$ は通常の距離では $0$ に収束しますが、離散距離では $d(x_k,0)=1$ のままで収束しないのです。

同じ集合でも、距離を変えれば収束の意味が変わる。この例がそれを端的に示しています。

コーシー列と完備性

点列 $x_k$ がコーシー列であるとは、番号を大きくすると項どうしが近づくことをいいます。$k,l\to \infty$ で $d(x_k,x_l)\to 0$ となる、ということです。

収束列は必ずコーシー列になります。逆にコーシー列が必ず収束する距離空間を、完備であるといいます。

完備性とは「行き先が空間の中にある」ことの保証です。近づいているのに行き先がない、という事態を排除します。

例：有理数は完備でない

$\mathbb{Q}$ に通常の距離を入れ、$\sqrt{2}$ の小数展開を切り詰めた数列を考えます。

$$1,1.4,1.41,1.414,1.4142,\dots$$

どの項も有理数で、項どうしはいくらでも近づきます。コーシー列です。

しかし行き先の $\sqrt{2}$ は有理数ではありません。$\mathbb{Q}$ の中に極限がないので、完備ではないのです。

$\mathbb{R}$ は、この穴を埋めて作られます。完備化という操作の原型が、ここにあります。

例：sup ノルムの $C[0,1]$ は完備

連続関数の列が sup ノルムでコーシー列なら、それは一様収束します。一様収束の極限は連続なので、行き先も $C[0,1]$ の中にあります。

したがって sup ノルムの $C[0,1]$ は完備で、バナッハ空間になります。

「一様収束の極限は連続」という定理が、そのまま完備性の証明になっています。

例：$L^1$ ノルムでは完備でない

同じ $C[0,1]$ に $L^1$ ノルムを入れると、完備性が壊れます。階段関数に近づく連続関数の列を作ればよいのです。

$g_n$ を、$[0,1/2]$ で $0$、$[1/2+1/n,1]$ で $1$、その間を直線でつないだ関数とします。どの $g_n$ も連続です。

$\Vert g_n-g_m{\Vert }_1$ は幅 $1/n$ 程度の細い三角形の面積なので、$0$ に向かいます。$L^1$ ノルムで $g_n$ はコーシー列です。

ところが行き先は、$x=1/2$ で飛ぶ階段関数です。連続関数ではないので、$C[0,1]$ の中に極限がありません。

同じ空間でも、ノルムを変えれば完備性が変わります。$L^1$ で完備にするには可測関数まで空間を広げる必要があり、それがルベーグ積分の要る理由の 1 つです。

理解の確認

距離と完備性だけで解が出る

完備距離空間には、強力な定理が住んでいます。バナッハの不動点定理です。

$(X,d)$ を完備距離空間、$T:X\to X$ を縮小写像とします。縮小写像とは、ある $0\le q<1$ があって、すべての $x,y$ で $d(Tx,Ty)\le qd(x,y)$ となる写像のことです。

このとき $T$ は不動点をただ 1 つ持ちます。$Tx=x$ となる $x$ が、必ず 1 つだけ存在するのです。

証明は素朴です。任意の点から始めて $T$ を繰り返し当て、その列がコーシー列になることを示せば、完備性から極限が手に入ります。

例：不動点を実際に探す

$\mathbb{R}$ の上で $T(x)=x/2+1$ を考えます。$|T(x)-T(y)|=|x-y|/2$ なので、$q=1/2$ の縮小写像です。

$x_0=0$ から始めます。$x_1=1$、$x_2=1.5$、$x_3=1.75$、$x_4=1.875$ と進み、$2$ に近づいていきます。

不動点は $x=x/2+1$ を解いて $x=2$。どこから出発しても、同じ $2$ にたどり着きます。

縮小写像が微分方程式を解く

不動点定理の威力は、$X$ を関数空間に取ったときに現れます。

微分方程式 $y^{\prime }=f(x,y)$、$y(x_0)=y_0$ は、積分方程式に書き換えられます。

$$y(x)=y_0+{\int }_{x_0}^{x}f(t,y(t))dt$$

右辺を $y$ に対する写像 $T$ と見ます。$C[a,b]$ に sup ノルムを入れれば完備であり、$f$ がリプシッツ条件を満たせば $T$ は縮小写像になります。

不動点定理から、解がただ 1 つ存在することが従います。これがピカール・リンデレーフの定理です。

「長さ」を測る道具から出発して、微分方程式の解の存在にまでたどり着きました。ノルムと距離が解析学の土台と呼ばれるのは、この射程の広さゆえです。