複素数の絶対値の定義と公式

複素数には絶対値という概念があります。複素数z=a+biの絶対値|z|を

$$z=\left|\sqrt{a^2+b^2}\right|$$

とします。これは複素数平面における複素数と原点の距離を表します。

問題

複素数の絶対値を求めなさい。

$$\begin{gathered} (1)|3+4i| \\ (2)|5-12i| \\ (3)|-2+i| \\ (4)|-3-5i| \\ (5)|9| \\ (6)|-3| \\ (7)|7i| \\ (8)|-8i| \end{gathered}$$

解答

$$\begin{gathered} (1)|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5 \\ (2)|5-12i|=\sqrt{5^2+(-12{)}^2}=13 \\ (3)|-2+i|=\sqrt{(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{5} \\ (4)|-3-5i|=\sqrt{(-3{)}^2+(-5{)}^2}=\sqrt{34} \\ (5)|9|=9 \\ (6)|-3|=3 \\ (7)|7i|=7 \\ (8)|-8i|=8 \end{gathered}$$

練習問題から次の性質がわかります。

1. 複素数の絶対値は、その複素数が実数の場合、実数の絶対値に等しい
2. 純虚数の絶対値は、その純虚数からiをとった実数の絶対値になる