複素数に大小はないのに絶対値があるのはなぜか？原点からの距離として測る

$z=a+bi$ の絶対値は、点 $z$ と原点の距離で決めます。

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

複素数どうしに大小の順序はありませんが、距離のほうは実数なので比べられる。$|z|$ は $z$ の大きさを表す実数です。

実数のときと地続き

$b=0$ なら $z=a$ で、定義に入れると根号の中が $a^2$ になります。

$$|a|=\sqrt{a^2}$$

これは実数の絶対値そのもの。$|-7|=\sqrt{49}=7$ で、数直線上の原点からの隔たりと一致する。

数直線での距離を、平面での距離へ広げた形。$|3|=3$ も $|3+4i|=5$ も、同じ 1 つの決め方から来ています。

例：三平方の定理で読む

$z=3+4i$ なら、横に $3$、縦に $4$ 進んだ点。原点からの距離が直角三角形の斜辺になる。

$$|3+4i|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

基本の性質

距離として決めたぶん、次の 3 つはそのまま読みとれる。

1 本目は距離が負にならないところ。原点との距離が $0$ なら、その点は原点そのものです。

2 本目は、$\overline{z}$ が実軸について、$-z$ が原点について $z$ と対称な点だから。鏡に映しても原点からの隔たりは変わらない。

3 本目は $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ からで、根号を消したいときに使う形。

かけ算と割り算は通り抜ける

絶対値は積と商をまたいでも形を変えない。

$$|zw|=|z||w|,\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|},|z^n|=|z{|}^n$$

極形式で書けば、かけ算のときに絶対値どうしがかけ算になるという話そのもの。$w\ne 0$ の断りは、割る側にいります。

展開してから測っても同じ値に着きますが、先にほどくほうが根号が小さくて済みます。

足し算だけは等号にならない

$|z+w|$ は $|z|+|w|$ と一致しないことのほうが多く、不等号でつながります。

$$|z+w|\le |z|+|w|$$

原点、点 $z$、点 $z+w$ を結ぶと三角形になり、1 辺の長さが残り 2 辺の和を超えないという関係。等号が成り立つのは 3 点が一直線に並ぶとき、つまり $z$ と $w$ が原点から見て同じ向きにあるときです。

$z=1$、$w=i$ なら左辺が $\sqrt{2}$、右辺が $2$。$z=1$、$w=2$ なら左辺も右辺も $3$ で等号になります。

$|z|=r$ が表す点

$|z|=r$ は原点から距離 $r$ の点を集めたもの、つまり中心が原点で半径 $r$ の円。

$|z|=1$ なら単位円。この上の点は $z\overline{z}=1$ を満たすので、共役が逆数と一致します。

絶対値は $z$ を実数へ写す道具で、写したあとは大小を比べたり、方程式に入れたりできます。$z$ そのものには順序がないところを、距離が引き受けている。