複素数の絶対値の定義と公式

複素数には絶対値という概念があります。複素数z=a+biの絶対値|z|を

$z = a^{2} + b^{2}$

とします。これは複素数平面における複素数と原点の距離を表します。

問題

複素数の絶対値を求めなさい。

$(1) ∣ 3 + 4 i ∣ (2) ∣ 5 - 12 i ∣ (3) ∣ - 2 + i ∣ (4) ∣ - 3 - 5 i ∣ (5) ∣ 9 ∣ (6) ∣ - 3 ∣ (7) ∣ 7 i ∣ (8) ∣ - 8 i ∣$

解答

$(1) ∣ 3 + 4 i ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5 (2) ∣ 5 - 12 i ∣ = 5^{2} + (- 12)^{2} = 13 (3) ∣ - 2 + i ∣ = (- 2)^{2} + 1^{2} = 5 (4) ∣ - 3 - 5 i ∣ = (- 3)^{2} + (- 5)^{2} = 34 (5) ∣ 9 ∣ = 9 (6) ∣ - 3 ∣ = 3 (7) ∣ 7 i ∣ = 7 (8) ∣ - 8 i ∣ = 8$

練習問題から次の性質がわかります。

複素数の絶対値は、その複素数が実数の場合、実数の絶対値に等しい
純虚数の絶対値は、その純虚数からiをとった実数の絶対値になる