円の上を回るものの速さを、進んだ距離で測ることもできます。ただ、それだと 1 周ぶんの長さが半径によって変わってしまい、内側と外側を比べにくくなります。回るものには、もっと素直なものさしがあります。回った角です。
秒あたりに何ラジアン回るか。これを角速度といい、 と書きます。時間 のあいだに角 だけ回ったなら です。半径がいくつでも、 周すれば です。
距離のほうも角で書けます。半径 の円の、中心角 の弧の長さは でした。これを時間で割れば速さですから、 となります。同じ で回っていても、外側にいるほど速い、ということがこの式に出ています。
周ぶんの角 を で割れば、 周にかかる時間、つまり周期 が出ます。 と と は、どれか つと半径が決まれば残りも決まります。
等速円運動という名前がついていますが、一定なのは速さだけです。速度のほうは変わり続けています。速度は大きさと向きの両方を持っていて、円の上を回っているあいだ、向きは片時も止まっていないからです。
加速度とは、速度がどれだけの割合で変わるかでした。速さが変わることだけを指すのではありません。ですから、速さが変わらない等速円運動にも加速度があります。
どちらを向いているかを、図で確かめます。少し前の速度 と、いまの速度 を、円の中心へ持ってきて始点をそろえました。長さは同じですが向きが違うので、先と先のあいだに隙間ができます。この隙間を埋める矢印が速度の変化 です。
と は長さが同じですから、この 本は二等辺三角形をつくります。その底辺にあたる は、いつも円の中心のほうを向いています。速度が中心向きに変えられている、ということです。だから加速度も中心を向きます。
向きが分かったので、大きさを出します。速度の矢印は長さ のまま、角 だけ向きを変えました。長さ の矢印の先が角 ぶん動くのですから、その先が動いた距離は です。これが の大きさです。
あとは時間で割るだけです。 となります。 を入れれば 、 を入れれば です。同じものを 通りに書いただけで、使いやすい形を選べばかまいません。
図の 本の矢印は、いつも直角に交わっています。速度は接線の向き、加速度は半径の向きだからです。
これが等速のまま回り続けられる理由でもあります。進む向きと直角にはたらく加速度は、速さを変えることができません。向きだけを変えて、そのぶん進む先を曲げていきます。もし加速度に接線の向きの成分があれば、そのぶんだけ速さも変わって、等速円運動ではなくなります。
の は分母にいます。同じ速さで回るなら、半径が小さいほど加速度が大きい、ということです。
図の つは、同じ中心のまわりを同じ速さで回っています。内側の半径は外側の半分です。同じ速さのまま半分の円をたどるには、向きを 倍の速さで変えなければなりません。だから加速度も 倍になります。矢印の長さがそのまま 倍で描いてあります。
角速度のほうも 倍です。 で が同じなのですから、 が半分なら は倍です。図でも、内側のおもりが 周するあいだに外側は 周しかしません。
車で急なカーブがきついのは、これが理由です。速さは同じでも、曲がりが急なほど が小さく、体が受ける加速度は大きくなります。同じ道でも、内側の車線を通るほうがきつく感じます。