今度は面のほうを傾けます。板の上にものを置いて、板をゆっくり起こしていく。どこかで必ずすべり出しますが、それがどの角なのかを求めます。
はたらいている力は水平のときと変わりません。重力は相変わらず真下を向いています。変わったのは、ブロックが動ける向きのほうです。動けるのは面に沿った向きだけになりました。
そこで重力を 2 つに分けます。面に沿う向きと、面に垂直な向きです。図のとおり、面に沿う成分は 、垂直な成分は になります。
傾けていくと、この 2 本は反対に動きます。 は大きくなり、 は小さくなる。すべらせようとする力が増え、面を押しつける力が減っていく。この食い違いが、すべり出しを決めます。
前の講義で、摩擦の限界は だと分かりました。では斜面での は何でしょうか。
面を押しているのは、重力そのものではありません。面に垂直な成分だけです。斜面に沿う成分は面を押しておらず、ブロックを下へ引いているだけです。だから となります。
水平な床で だったのは、 で が 1 だったからにすぎません。特別な場合を覚えていたわけです。
図で傾けていくと、押しつける成分と押し返す垂直抗力が、そろって縮んでいきます。限界の目印も一緒に近づいてきます。摩擦の限界は ですから、 が減れば限界も減ります。傾けるほど、すべりを止める力は弱くなっていきます。
材料がそろいました。すべらせようとするのが 、止められる限界が です。
傾けていくと、前者は伸び、後者は縮む。反対に動くのですから、どこかで必ず追いつきます。追いつくまでは摩擦がすべてを受け止めるので、図の 2 本は同じ長さで向かい合ったままです。追い越された瞬間、ブロックは下りはじめます。
すべり出す条件は です。ここで両辺を見てください。どちらにも が入っています。 は正ですから、両辺をこれで割ってしまえます。
割ると 、つまり です。 も も消えました。残ったのは、傾きと、面の組み合わせを表す だけです。
が消えたということは、重さがすべり出す角に関わらないということです。図の 2 つは大きさがまるで違いますが、同じ瞬間に動きはじめ、そのあとも並んで下ります。
消える理由もはっきりしています。重くすれば、すべらせようとする は大きくなります。ところが面を押す も同じだけ大きくなり、限界の も同じだけ上がる。両方が同じ割合で増えるので、勝負がつく角は動きません。
すべり出す境目の角を摩擦角といい、 で決まります。板を傾けていって、ものが動き出した角を測る。それだけで が求まるということでもあります。定規もばねばかりも要りません。
すべり出したあとは摩擦が動摩擦へ落ちるので、加速していきます。その加速度は で、やはり質量を含みません。図の 2 つが並んだまま下っていくのは、そのためです。