こんどはボールを高さ から落とします。相手は床で、壁と同じく動きません。
まず床に着くときの速さです。落ちているあいだ仕事をするのは重力だけですから、力学的エネルギーが保存します。ジェットコースターの講義で使ったのと同じ式です。
を解いて となります。質量が消えました。重いボールも軽いボールも、同じ高さから落とせば同じ速さで着きます。
図では落ちるボールに速度の矢印を添えてあります。高さが減るにつれて伸びていきます。
床に触れた瞬間の話は、壁とまったく同じです。相手が動かないので、決まるのはボールの速度だけです。
。速さは 倍になり、向きが上に変わります。
ここで運動量は保存しません。床が、そして床につながった地球が、その差を受け取っています。前の講義で見たとおりです。
図では床のところで矢印が向きを変えます。上向きの矢印は、下向きより短くなっています。その比が です。
はね返ったあとは、また重力だけの運動です。ですから上がる高さも、同じエネルギー保存で出ます。
に を入れます。 ですから、 です。
そして はもとの高さ でした。まとめると となります。
速さは 倍、高さは 倍。2 乗になるのは、高さが速さの 2 乗で決まるからです。 なら速さは 8 割ですが、高さは 6 割 4 分までしか戻りません。
2 回目のはずみも、まったく同じ話です。高さ から落ちて、 まで上がります。
ですから となります。同じことをくり返すだけなので、 回目は です。
等比数列になりました。1 回はずむごとに、決まった比 を掛けるだけです。落とした高さがいくつでも、比のほうは変わりません。
ここから を測ることもできます。 ですから、はずんだ高さともとの高さを測って、その比の平方根を取れば が出ます。物差し 1 本でできる測り方です。