でした。この高さは、何回はずんでも になりません。
が より小さいので はどんどん小さくなりますが、掛け算をくり返しているだけですから、ちょうど になることはありません。
ということは、はずむ回数は無限です。 回目にも 回目にも、ボールはわずかに浮き上がります。
それなのに、本物のボールは目の前で止まります。無限にはずむのに止まる。この 2 つをどうやって両立させるのかが、この講義です。
時間のほうを数えます。まず落ちるのにかかる時間です。 を解いて です。
回目にはずんだあとは、高さ まで上がって戻ってきます。上りと下りは同じ時間ですから、往復で です。
ですから、根号の中の が外へ出て となります。高さは 倍でしたが、時間は 倍です。
回目も同じで、 です。1 回はずむごとに、時間も決まった比 で縮んでいきます。
止まるまでの時間は、これを全部足したものです。 となります。
項は無限にあります。ですが、後ろへ行くほど小さくなります。図の帯を見てください。1 本ずつ足していっても、右端が伸びきらずにある線へ近づいていきます。
足しているのは等比級数です。公比が で、 は より小さい。こういう級数は無限に足しても有限の値になります。 です。
項の数が無限であることと、和が無限になることは、別のことでした。ここがこの講義の勘どころです。
代入します。 で、括弧の中を通分すると になります。
まとめると です。無限にはずむのに、止まるまでの時間は有限でした。
を に近づけていくと、分母が に近づいて は際限なく伸びます。図のグラフがそれです。 なら永遠にはずみ続けます。エネルギーが減らないのですから当然です。
シミュレーターの式のパネルに、この がそのまま出ています。落とす高さと を変えて、止まるまでの時間と見比べてみてください。